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【名师伴你行】2016高考数学二轮专题复习 提能增分篇 突破一 数学思想方法的贯通应用 专项突破训练2 文



专项突破训练(二)
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)

数形结合思想

(时间:45 分钟 分数:80 分)

1. (2015·东北三省四市联考)已知集合 A={x|-1≤x≤1}, B={x|x -2x≤0}, 则 A∩B =( ) A. [-1,0] C. [0,1] 答案:C 解析:由 x -

2x≤0? 0≤x≤2,∴B={x|0≤x≤ 2}.
2

2

B. [-1,2] D. (-∞,1]∪[2,+∞)

通过画数轴,可知 A∩B=[0,1].故选 C. 2.(2015·福建福州质检)执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为( )

A.-1 C.0 答案:C

B.1 D.-2 014

解析:由程序框图可知,第一次循环,S=-1,n=2; 第二次循环,S=0,n=3;第三次循环,S=-1,n=4; 第四次循环,S=0,n=5;……;当 n=2015 时是第 2014 次循环,于是输出 S=0.故选 C. 3. (2015·贵州遵义联考)为了解某校今年新入学的高一某班学生的体重情况, 将所得的
1

数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知高一某班学生人数为 48 人,图中从左到右 的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3,则第 2 小组的人数为( )

A.16 B.14 答案:C

C.12 D.11

解析:设从左到右第 1 小组的频率为 x,则由题意可得 x+2x+3x+(0.013+0.037)×5 =1, ∴x=0.125,∴第 2 小组的人数为 0.125×2×48=12(人).

x-3y+2≤0, ? ? 4.(2015·内蒙古呼和浩特模拟)变量 x,y 满足约束条件?x+y-6≤0, ? ?x-y≥0
2y+m≤0 恒成立,则实数 m 的取值范围为( A.[0,+∞) C.(-∞,3] 答案:D ) B.[1,+∞) D.(-∞,0]

时,x-

解析:由题意作出可行域,如图阴影部分所示,不等式 x-2y+m≤0 表示直线 x-2y+m =0 及其上方的部分.

2

由?

?y=6-x, ? ?x=3y-2, ?

解得?

?x=4, ? ?y=2, ?

所以 4-2×2+m≤0,解得 m≤0.故选 D. 5. (2015·湖北七市联考)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0, ω >0, -π <φ <π ) 的部分图象如图所示,为了得到 g(x)= 3sin 2x 的图象,只需将 f(x)的图象( )

2π A.向左平移 个单位长度 3 π B.向左平移 个单位长度 3 2π C.向右平移 个单位长度 3 π D.向右平移 个单位长度 3 答案:B 解析:由图象,得 A= 3,周期 T=2? 象过点?

?5π -π ?=π ,则 ω =2π =2;又函数 f(x)的图 3? π ? 6 ?

?π ,0?,得 sin?2π +φ ?=0,则 φ =-2π ,得 f(x)= 3sin?2x-2π ?= 3sin ? ? 3 ? ? 3 ? 3 ?3 ? ? ? ? ?

π ? π? 2?x- ?,即把 f(x)的图象向左平移 个单位长度得 g(x)的图象.故选 B. 3 3 ? ? 6.(2015·江西南昌一模)已知过定点 P(2,0)的直线 l 与曲线 y= 2-x 相交于 A,B 两 点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取到最大值时,直线 l 的倾斜角为( A.150° C.120° 答案:A B. 135° D.不存在 )
2

3

解析:解法一:设 OD=a,AD=b,如图所示,S△AOB=ab≤

a2+b2
2

=1,当且仅当 a=b=1

时等号成立,又∵OP=2,∴∠DOP=30°.∴直线 l 的倾斜角为 150°. 解法二:由题意可知,本题为过点 P 的直线与半圆 x +y =2(y≥0)相交问题.
2 2

S△ABO= |OB||OA|sin∠AOB,sin∠AOB 最大时,S△ABO 有最大值,∠AOB=90°,|AB|= OA2+OB2=2,由△AOB 为等腰直角三角形,所以点 O 到 AB 的距离为 1.
设直线 l 斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x-2),d= 3 ,∴直线 l 的倾斜角为 150°. 3
2 2 2

1 2

|2k|

k2+1

=1,

因为 k<0,所以 k=-

解法三:曲线 y= 2-x ,即 x +y =2(y≥0),表示以原点为圆心,半径为 2的上半 圆.设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x-2),即 kx-y-2k=0.令原点 O 到直 线 l 的距离 d= 有 A 选项符合. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 7. 任意一个三角形 ABC 的面积为 S, D 为△ABC 内任取的一个点, 则△DBC 的面积和△ADC 的面积都大于 的概率为________. 3 1 答案: 9

|2k|

k2+1

= 2,可得直线与曲线相切时斜率 k=-1,数形结合知-1<k<0,只

S

4

解析:如图,在 AB 上任取三等分点 E,F,过点 E 作 EM∥BC 交 AC 于 M,过点 F 作 FN∥

S AC 交 BC 于 N,则当点 D 在△AEM 内时,满足 S△DBC> ,
3 当点 D 在△EFN 内时,满足 S△DAC> .设 EM 与 FN 的交点为 G,则当点 D 在△EFG 内时,同 3

S

S S S△EFG 1 时满足 S△DBC> ,S△DAC> ,∴所求概率 P= = . 3 3 S△ABC 9
?3 -1,x≤1, ? 8.(2015·重庆一模)已知函数 f(x)=? ?f?x-1?+2,x>1, ?
x

则方程 f(x)=2x 在[0,2 015]内的根的个数是________. 答案:2 016 解析:画出 y=f(x)与 y=2x 的图象如图所示,

由图象可得,方程 f(x)=2x 在[0,2 015]内的根分别是 x=0,1,2,3,…,2 015,共 2 016 个. 9.(2015·黑龙江哈尔滨三中一模)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合, 16 12 若 M 关于 C 的两焦点的对称点分别为 P, Q, 线段 MN 的中点在 C 上, 则|PN|+|QN|=________. 答案:16 解析:如图所示,设椭圆的两焦点分别为 F1,F2,线段 MN 的中点为 D,连接 DF1,DF2.
5

x2

y2

由已知条件可知,DF1,DF2 分别是△MPN,△MQN 的中位线,

所以|PN|+|QN|=2|DF1|+2|DF2|. 又根据椭圆的定义,|DF1|+|DF2|=2a=8, 所以|PN|+|QN|=2×8=16. 10.(2015·甘肃兰州诊断)已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a 的取 值范围是________.

? 1? 答案:?0, ? ? 2?
解析:由函数 f(x)=x(ln x-ax),

?1 ? 则 f′(x)=ln x-ax+x? -a?=ln x-2ax+1, ?x ?
令 f′(x)=ln x-2ax+1=0,得 ln x=2ax-1,因为函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个 极值点,所以 f′(x)=ln x-2ax+1 有两个零点,等价于函数 y=ln x 与 y=2ax-1 的图象 有两个交点,在同一个坐标系中作出它们的图象,过点(0,-1)作 y=ln x 的切线,设切点 1 1 x0 为(x0,y0),则切线的斜率 k= ,切线方程为 y= x-1. 切点在切线上,则 y0= -1=0,

x0

x0

x0

又切点在曲线 y=ln x 上,则 ln x0=0? x0=1,即切点为(1,0),则切线方程为 y=x-1, 再 由直线 y=2ax-1 与曲线 y=ln x 有两个交点,知直线 y=2ax-1 位于两直线 y=0 和 y=x

? 1? -1 之间,其斜率 2a 满足:0<2a<1,解得实数 a 的取值范围是?0, ?. ? 2?
三、解答题(每题 15 分,共 30 分) 11.(2015·东北三校一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知动圆过点(2,0),且被 y 轴所 截得的弦长为 4. (1) 求动圆圆心的轨迹 C1 的方程; (2) 过点 P(1,2)分别作斜率为 k1,k2 的两条直线 l1,l2,交 C1 于 A,B 两点(点 A,B 异 1 2 2 于点 P),若 k1+k2=0,且直线 AB 与圆 C2:(x-2) +y = 相切,求△PAB 的面积. 2
6

解: (1) 设动圆圆心坐标为(x,y),半径为 r,
??x-2? +y =r , ? 由题可知? 2 2 2 ?2 +x =r , ?
2 2 2 2

消去 r,得 y =4x,

2

所以动圆圆心的轨迹方程为 y =4x. (2) 设直线 l1 斜率为 k,则 l1:y-2=k(x-1);

l2:y-2=-k(x-1).
点 P(1,2)在抛物线 y =4x 上,
?y =4x, ? 所以? ?y-2=k?x-1? ?
2 2

? ky -4y+8-4k=0.
2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),Δ >0 恒成立,即(k-1) >0,有 k≠1. 8-4k 所以 y1yP= .

k

4-2k 因为 yP=2,所以 y1= .

k

?k-2? 代入直线方程可得 x1= . 2

2

k

?2+k? 4+2k 同理可得 x2= ,y2= . k2 -k 4+2k 4-2k - -k k y2-y1 kAB= = =-1. 2 x2-x1 ?k+2? -?k-2?2

2

k2
不妨设 lAB:y=-x+b. |b-2| 2 因为直线 AB 与圆 C 相切,所以 = , 2 2 解得 b=3 或 1, 当 b=3 时, 直线 AB 过点 P,舍去. 当 b=1 时, 由?
? ?y=-x+1, ?y =4x ?
2

? x -6x+1=0,

2

Δ =32,|AB|= 1+1· 32=8.

P 到直线 AB 的距离为 d= 2,△PAB 的面积为 4 2.
12.(2015·东北四市联考已知函数 f(x)=x -ax ,常数 a∈R. (1)若 a=1,过点(1,0)作曲线 y=f(x)的切线 l,求 l 的方程; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=x-1 只有一个交点,求实数 a 的取值范围. 解:函数求导得 f′(x)=3x -2ax. (1)当 a=1 时,有 f′(x)=3x -2x.
7
2 2 3 2

设切点 P 为(x0,y0),则 k=f′(x0)=3x0-2x0, 则 P 处的切线方程为 y=(3x0-2x0)(x-x0)+x0-x0. 该直线经过点(1,0), 所以有 0=(3x0-2x0)(1-x0)+x0-x0, 化简得 x0-2x0+x0=0, 解得 x0=0 或 x0=1, 所以切线方程为 y=0 和 y=x-1. (2)解法一:由题意得方程 x -ax -x+1=0 只有一个根, 设 g(x)=x -ax +x+1,则 g′(x)=3x -2ax-1, 因为 Δ =4a +12>0, 所以 g′(x)有两个零点 x1,x2,即 3xi-2axi-1=0(i=1,2), 3xi-1 且 x1x2<0,a= , 2xi 不妨设 x1<0<x2,所以 g(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)单调递增,在(x1,x2)单调递减,
2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2

2

g(x1)为极大值,g(x2)为极小值,
方程 x -ax -x+1=0 只有一个根等价于 g(x1)>0 且 g(x2)>0,或者 g(x1)<0 且 g(x2) <0, 3xi-1 2 1 xi 3 2 3 又 g(xi)=xi-axi-xi+1=xi- xi-xi+1=- x3 i- +1(i=1,2), 2xi 2 2 1 3 x 3 2 1 设 h(x)=- x - +1,所以 h′(x)=- x - <0,所以 h(x)为减函数, 2 2 2 2 又 h(1)=0,所以 x<1 时 h(x)>0,x>1 时 h(x)<0, 所以 xi(i=1,2)大于 1 或小于 1,由 x1<0<x2 知,xi(i=1,2)只能小于 1, 所以由二次函数 g′(x)=3x -2ax-1 性质可得 g′(1)=3-2a-1>0,所以 a<1. 解法二:曲线 y=f(x)与直线 y=x-1 只有一个交点, 等价于关于 x 的方程 ax =x -x+1 只有一个实根. 1 1 显然 x≠0,所以方程 a=x- + 2只有一个实根.
2 3 2 2 3 2

x x

8

1 1 设函数 g(x)=x- + 2,

x x x

1 2 x +x-2 则 g′(x)=1+ 2- 3= . 3

3

x

x

设 h(x)=x +x-2,h′(x)=3x +1>0,h(x)为增函数,又 h(1)=0. 所以当 x<0 时,g′(x)>0,g(x)为增函数; 当 0<x<1 时,g′(x)<0,g(x)为减函数; 当 x>1 时,g′(x)>0,g(x)为增函数; 所以 g(x)在 x=1 时取极小值 1. 又当 x 趋向于 0 时,g(x)趋向于正无穷; 又当 x 趋向于负无穷时,g(x)趋向于负无穷; 又当 x 趋向于正无穷时,g(x)趋向于正无穷. 所以 g(x)图象大致如图所示, 1 1 所以方程 a=x- + 2只有一个实根时,实数 a 的取值范围为(-∞,1).

3

2

x x

9



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