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1.3.1 单调性与最大(小)值 第2课时 课件(人教A必修1)


第一章

集合与函数概念

第2课时

函数的最大(小)值

第一章

集合与函数概念

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学习目标

重点难点 题.

重点:求一些简单函数的最值.

难点:利用函数的最值解决有关实际应用问

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第一章

集合与函数概念

新知初探思维启动
最大值和最小值

条件

结论 几何 意义

最大值 最小值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 任意 的x∈I,都有 存在实数M满足:对于_____ ≤ ≥ f(x)______ M f(x)______ M f ( x0 ) = M 存在x0∈I,使得___________ 称M是函数y=f(x)的 称M是函数y=f(x)的 最大值 最小值 高 低 f(x)图象上最______ f(x)图象上最______ 点的纵坐标 点的纵坐标

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第一章

集合与函数概念

想一想 所有的单调函数都有最值吗?

提示:不一定,如y=2x+1没有最值.

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第一章

集合与函数概念

做一做
1.函数y=2x-3在区间[-1,2]上的最小值与最 大值分别为( A.-2,-1 B.-5,1 )

C.-1,2
D.-4,1 答案:B

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第一章

集合与函数概念

2.函数y=-x2+2x的最大值是________. 答案:1

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第一章

集合与函数概念

典题例证技法归纳
题型探究
题型一 例1 利用图象求函数最值 已知函数f(x)=|x+1|+|x-1|.

(1)画出f(x)的图象; (2)根据图象写出f(x)的最小值.

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第一章

集合与函数概念

【 解 】

(1)f(x) = |x + 1| + |x - 1| =

- 2x, x≤- 1, ? ? 其图象如图所示. ?2,-1<x<1, ? ?2x, x≥1,

(2)由图象,得函数 f(x)的最小值为 2.

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第一章

集合与函数概念

【名师点评】
骤:

图象法求函数y=f(x)最值的步

(1)画出函数y=f(x)的图象;
(2)依据函数最值的几何意义,借助图象写出 最值.

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集合与函数概念

变式训练
1.如图为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象,指 出它的最大值、最小值.

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集合与函数概念

解:观察函数图象可以知道,图象上位置最 高的点是(3,3),最低的点是(-1.5,-2), 所以当x=3时取得最大值,最大值是3; 当x=-1.5时取得最小值,最小值是-2.

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集合与函数概念

题型二 利用函数单调性求函数最值

例2 求函数 f(x)=x+4在 x∈[1,2]上的最大值与
x 最小值.

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第一章

集合与函数概念

【解】

设 1≤x1<x2≤ 2, 4 4 则 f(x1)- f(x2)= x1+ -x2- x1 x2 4? x2- x1? = (x1-x2)+ x1x2 x1x2- 4 = (x1-x2) x1x2 ∵ 1≤ x1<x2≤2, ∴ x1-x2<0,1<x1x2<4,

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集合与函数概念

∴ x1x2- 4<0, x1x2>0, ∴ f(x1)- f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2). 4 ∴ f(x)= x+ 在 [1,2]上是减函数. x 从而函数的最大值是 f(1)=1+4=5, 最小值是 f(2) = 2+ 2= 4.

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集合与函数概念

【名师点评】

函数的最值与单调性的关系

若函数在闭区间 [a , b] 上是减函数,则 f(x) 在

[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b);
若函数在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x)在 [a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).

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第一章

集合与函数概念

互动探究
2 .本例中,若所给区间是 [1,4] ,则函数最值
又是什么? 解:按例题的证明方法,易证 f(x) 在区间 [2,4] 上是增函数,又函数在[1,2]上是减函数,所以 函数f(x)的最小值是4.又f(4)=5=f(1),所以函 数的最大值是5.

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集合与函数概念

题型三 函数最值的实际应用

例3

(本题满分 12 分 )某公司生产一种电子仪

器的固定成本为 20000 元, 每生产一台仪器需增加 投入 100 元,已知总收益满足函数: 1 2 ? ?400x-2x R(x)=? ? ?80000 ?0≤ x≤ 400? ?x>400?

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第一章

集合与函数概念

其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数f(x);

(2) 当月产量为何值时,公司所获利润最大?
最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润) 【思路点拨】 先将利润表示成x的函数,再

利用函数的单调性求最值.

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集合与函数概念

【解】 (1)月产量为 x 台, 则总成本为(20000+100x)元, 从而 f(x)=

? ? ??0≤x≤400? ? ?60000-100x?x>400?
名师微博

1 2 - x + 300x-20000 2 .6 分

这是关键也是得分点.

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第一章

集合与函数概念

1 (2)当 0≤ x≤ 400 时, f(x)=- (x-300)2+ 25000, 2 当 x= 300 时, f(x)max= 25000.9 分 当 x>400 时, f(x)= 60000-100x 是减函数, f(x)<60000-100×400=20000<25000. ∴当 x=300 时, f(x)max= 25000.11 分 即每月生产 300 台仪器时利润最大,最大利润为 25000 元.(12 分 )

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集合与函数概念

【名师点评】

(1) 解决实际问题,首先要理

解题意,然后建立数学模型转化成数学问题

解决.
(2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数 关系式的关键.

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第一章

集合与函数概念

变式训练
3.将进货单价为40元的商品按50元一个出售 时,能卖出500个,已知这种商品每涨价1 元,其销售量就减少10个,为得到最大利 润,售价应为多少元?最大利润是多少?

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集合与函数概念

解:设售价为x元,利润为y元,单个涨价(x-
50)元,销量减少10(x-50)个.

∴y=(x-40)(1000-10x)
=-10(x-70)2+9000≤9000. 故当x=70时,ymax=9000. 所以售价为70元时,利润最大为9000元.

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集合与函数概念

备选例题
x2+2x+ 3 1.已知函数 f(x)= (x∈ [2,+∞ )). x (1)求 f(x)的最小值; (2)若 f(x)>a 恒成立,求 a 的取值范围.

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第一章

集合与函数概念

解:(1)任取 x1,x2∈ [2,+∞ ),且 x1<x2,f(x)=x 3 3 + + 2,则 f(x1)-f(x2)= (x1-x2)(1- ). x x1x2 ∵ x1<x2,∴ x1-x2<0. 3 又∵x1≥ 2, x2>2,∴ x1x2>4,1- >0. x1x2

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第一章

集合与函数概念

∴ f(x1)- f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 故 f(x)在[2,+∞)上是增函数. 11 ∴当 x= 2 时, f(x)有最小值,即 f(2)= . 2 11 (2)∵ f(x)最小值为 f(2)= , 2 11 ∴ f(x)>a 恒成立,只需 f(x)min>a,即 a< . 2

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集合与函数概念

2.建造一个容积为6400立方米,深为4米的
长方体无盖蓄水池,池壁的造价为每平方米 200元,池底的造价为每平方米100元.

(1)把总造价y元表示为池底的一边长x米的函
数; (2)由于场地原因,蓄水池的一边长不能超过 40米,问蓄水池的这个底边长为多少时总造 价最低?总造价最低是多少?

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第一章

集合与函数概念

6400 解:(1)由已知池底的面积为 = 1600 平方米, 4 1600 底面的另一边长为 米, x 则池壁的面积为 1600 2×4×(x+ )平方米. x 所以总造价: 1600 y= 1600(x+ )+ 160000(元),x∈ (0,+∞). x

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第一章

集合与函数概念

(2)由题意知 1600 y= 1600(x+ )+ 160000(0<x≤ 40), x 设 0<x1<x2≤ 40,则 1600 1600 y1- y2=1600(x1+ )- 1600(x2+ ) x1 x2 1600? x2- x1? = 1600[(x1-x2)+ ] x1x2 1600 = 1600(x1-x2)(1- ). x1x2

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第一章

集合与函数概念

1600 ∵ 0<x1<x2≤ 40, x1- x2<0,1- <0, x1x2 得 y1-y2>0,即 y1>y2. 从而这个函数在 (0,40]上是减函数, 故当 x= 40 时, ymin= 288000. 所以当池底是边长为 40 米的正方形时,总造价最 低为 288000 元 .

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集合与函数概念

方法感悟
方法技巧 函数最值的理解 (1) 定义中 M 首先是一个函数值,它是值域的 一个元素,如函数 f(x) =- x2(x ∈ R) 的最大值 为0,有f(0)=0.

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集合与函数概念

(2) 最大 ( 小 ) 值定义中的“任意”是说对每一个
值都必须满足不等式,即对于定义域内全部元 素,都有 f(x)≤M(f(x)≥M) 成立,也就是说, y =f(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方. (3) 最大 ( 小 ) 值定义中的“存在”是说定义域中

至少有一个实数满足等式,也就是说y= f(x) 的
图象与直线y=M至少有一个交点.

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集合与函数概念

失误防范 1.求函数的最大 (小 )值时,通常要先确定函数的 单调性,同时要注意函数的定义域. 2.函数的值域是一个集合,函数的最值属于这个 集合.即 M 首先是一个函数值,它是值域的一个 元素.函数的值域一定存在,但函数并不一定有 最大(小)值.

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知能演练轻松闯关

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