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2015-2016学年浙江省绍兴一中高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年浙江省绍兴一中高三(上)期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分.) 2 1. (3 分)若全集 U=R,集合 A={x|x ﹣4≥0},则?UA=( A. (﹣2,2)

) D. (﹣∞, ﹣ ]∪[ ,

B. (﹣ , ) C. (﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)

+∞) 2 2. (3 分)函数 y=3﹣2sin x 的最小正周期为( A. B.π C.2π D.4π
2 2



3. (3 分)若直线 x﹣y+1=0 与圆(x﹣a) +y =2 有公共点,则实数 a 取值范围是( A.[﹣3,﹣1] B.[﹣1,3] C.[﹣3,1] D. (﹣∞,﹣3]∪[1,+∞) 4. (3 分)对两条不相交的空间直线 a 和 b,则( ) A.必定存在平面 α,使得 a? α,b? α B.必定存在平面 α,使得 a? α,b∥α C.必定存在直线 c,使得 a∥c,b∥c D.必定存在直线 c,使得 a∥c,b⊥c 5. (3 分)若| A. B. |=| C. |=2| |,则向量 + 与 的夹角为( D.
2





6. (3 分)已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=﹣(x﹣1) +1,满足 f[f(a)]= 的 实数 a 的个数为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 7. (3 分)以 BC 为底边的等腰三角形 ABC 中,AC 边上的中线长为 6,当△ABC 面积最大

时,腰 AB 长为(



A.6 B.6 C.4 D.4 8. (3 分)到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹,被过一直线与另一直线垂直的 平面所截,截得的曲线为( ) A.相交直线 B.双曲线 C.抛物线 D.椭圆弧 二、填空题(每小题 4 分,共 28 分.)

1

9. (4 分)已知 f(x)=lg(2x﹣4) ,则方程 f(x)=1 的解是 集是 .

,不等式 f(x)<0 的解 , S9= .

10. (4 分) 设数列{an}为等差数列, 其前 n 项和为 Sn, 已知 a1+a4+a10=27, 则 a5= 11. (4 分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积等于 .

12. (4 分)已知实数 a>0,且 a≠1,函数 f(x)=loga|x|在(﹣∞,0)上是减函数,函数 的大小关系为 .

13. (4 分)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=abx+y(a>0,b>0)的最

大值为 35,则 a+b 的最小值为

. ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在右支 .

14. (4 分)已知 F1、F2 分别为双曲线

上存在点 A,使得点 F2 到直线 AF1 的距离为 2a,则该双曲线的离心率的取值范围是 15. (4 分)边长为 2 的正三角形 ABC 内(包括三边)有点 P, 范围 . ? =1,求 ?

的取值

三、解答题(本大题共 5 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (8 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2cos(B﹣C)=4sinB?sinC ﹣1. (1)求 A; (2)若 a=3,sin = ,求 b.

17. (10 分)数列{an}满足 a1=1,

(n∈N+) .

(1)证明:数列

是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式 an; (3)设 bn=n(n+1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 18. (10 分)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1B1B 是边长为 2 的正方形,点 C 在平面 AA1B1B 上的射影 H 恰好为 A1B 的中点,且 CH= ,设 D 为 CC1 中点,
2

(Ⅰ)求证:CC1⊥平面 A1B1D; (Ⅱ)求 DH 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值.

19. (10 分) 已知抛物线 y =2px, 过焦点且垂直 x 轴的弦长为 6, 抛物线上的两个动点 A (x1, y1)和 B(x2,y2) ,其中 x1≠x2 且 x1+x2=4,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C. (1)求抛物线方程; (2)试证线段 AB 的垂直平分线经过定点,并求此定点; (3)求△ABC 面积的最大值. 20. (10 分)已知函数 f(x)=x|x﹣a|+bx (Ⅰ)当 a=2,且 f(x)是 R 上的增函数,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)当 b=﹣2,且对任意 a∈(﹣2,4) ,关于 x 的程 f(x)=tf(a)有三个不相等的实数 根,求实数 t 的取值范围.

2

3

2015-2016 学年浙江省绍兴一中高三(上)期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分.) 2 1. (3 分) (2011?安徽模拟)若全集 U=R,集合 A={x|x ﹣4≥0},则?UA=( A. (﹣2,2) B. (﹣ , ) C. (﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)



D. (﹣∞, ﹣ ]∪[ ,

+∞) 【分析】所有不属于 A 的元素组成的集合就是我们所求,故应先求出集合 A.再求其补集 即得. 【解答】解:A={x|x≥2 或 x≤﹣2}, 易知 C∪A={x|﹣2<x<2}, 故选 A. 【点评】本题考查了补集的运算、一元二次不等式,属于基础运算. 2. (3 分) (2015 秋?越城区校级期中)函数 y=3﹣2sin x 的最小正周期为( A. B.π C.2π D.4π
2



【分析】利用降幂法化简函数 y,即可求出它的最小正周期. 【解答】解:∵函数 y=3﹣2sin x=3﹣2? ∴函数 y 的最小正周期为 T= =π.
2

=2+cos2x,

故选:B. 【点评】本题考查了三角函数的化简以及求三角函数最小正周期的应用问题,是基础题目. 3. (3 分) (2012?安徽)若直线 x﹣y+1=0 与圆(x﹣a) +y =2 有公共点,则实数 a 取值范 围是( ) A.[﹣3,﹣1] B.[﹣1,3] C.[﹣3,1] D. (﹣∞,﹣3]∪[1,+∞) 2 2 【分析】根据直线 x﹣y+1=0 与圆(x﹣a) +y =2 有公共点,可得圆心到直线 x﹣y+1=0 的 距离不大于半径,从而可得不等式,即可求得实数 a 取值范围. 【解答】解:∵直线 x﹣y+1=0 与圆(x﹣a) +y =2 有公共点 ∴圆心到直线 x﹣y+1=0 的距离为 ∴|a+1|≤2 ∴﹣3≤a≤1 故选 C. 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径, 建立不等式.
2 2 2 2

4

4. (3 分) (2012?湛江一模)对两条不相交的空间直线 a 和 b,则( ) A.必定存在平面 α,使得 a? α,b? α B.必定存在平面 α,使得 a? α,b∥α C.必定存在直线 c,使得 a∥c,b∥c D.必定存在直线 c,使得 a∥c,b⊥c 【分析】 根据空间直线的位置关系、 直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系的性质 与判定,对各个选项依次加以判别,即可得到 B 项是正确的,而 A、C、D 都存在反例而不 正确. 【解答】解:对于 A,若两条直线 a、b 是异面直线时,则不存在平面 α 使得 a? α 且 b? α 成立,故 A 不正确; 对于 B,因为 a、b 不相交,所以 a、b 的位置关系是平行或异面: ①当 a、b 平行时,显然存在平面 α,使得 a? α 且 b∥α 成立; ②当 a、b 异面时,设它们的公垂线为 c,在 a、b 上的垂足分别为 A、B.则经过 A、B 且 与 c 垂直的两个平面互相平行, 设过 A 的平面为 α,过 B 的平面为 β,则 α∥β,且 a、b 分别在 α、β 内,此时存在平面 α, 使得 a? α 且 b∥α 成立. 故 B 正确; 对于 C,若两条直线 a、b 是异面直线时,则不存存在直线 c,使得 a∥c 且 b∥c 成立,故 C 不正确; 对于 D,当 a、b 所成的角不是直角时,不存在直线 c,使得 a∥c 且 b⊥c 成立,故 D 不正 确. 综上所述,只有 B 项正确. 故选:B 【点评】本题给出空间直线不相交,要我们判定几个命题的真假性,考查了空间直线的位置 关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系等知识,属于基础题.

5. (3 分) (2014?宣城三模)若| A. B. C. D.

|= |

|=2| |,则向量 + 与 的夹角为(



【分析】将已知式子平方可得 围可得答案. 【解答】解:∵ ∴ 可得 化简可得 设向量 =0, 与 的夹角为 θ =

=0,代入向量的夹角公式可得其余弦值,结合夹角的范

, ,两边平方 ,

5

则可得 cosθ=

=

=

= ,又 θ∈[0,π],故 θ=

故选 B. 【点评】本题考查数量积与向量的夹角,涉及向量的模长公式,属中档题. 6. (3 分) (2012?荆州模拟)已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=﹣(x﹣1) +1, 满足 f[f(a)]= 的实数 a 的个数为( A.2 B.4 C.6 D.8 )
2

【分析】令 f(a)=x,则 f[f(a)]= 转化为 f(x)= .先解 f(x)= 在 x≥0 时的解, 再利用偶函数的性质,求出 f(x)= 在 x<0 时的解,最后解方程 f(a)=x 即可. 【解答】解:令 f(a)=x,则 f[f(a)]= 变形为 f(x)= ; 当 x≥0 时,f(x)=﹣(x﹣1) +1= ,解得 x1=1+ ∵f(x)为偶函数, ∴当 x<0 时,f(x)= 的解为 x3=﹣1﹣ 综上所述,f(a)=1+ 当 a≥0 时, f(a)=﹣(a﹣1) +1=1+ f(a)=﹣(a﹣1) +1=1﹣ f(a)=﹣(a﹣1) +1=﹣1﹣ f(a)=﹣(a﹣1) +1=﹣1+
2 2 2 2 2

,x2=1﹣



,x4=﹣1+ ,﹣1+

; ;

,1﹣

,﹣1﹣

,方程无解; ,方程有 2 解; ,方程有 1 解; ,方程有 1 解;

故当 a≥0 时,方程 f(a)=x 有 4 解,由偶函数的性质,易得当 a<0 时,方程 f(a)=x 也 有 4 解, 综上所述,满足 f[f(a)]= 的实数 a 的个数为 8, 故选 D. 【点评】 本题综合考查了函数的奇偶性和方程的解的个数问题, 同时运用了函数与方程思想、 转化思想和分类讨论等数学思想方法, 对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高, 是高 考的热点问题.

6

7. (3 分) (2015 秋?越城区校级期中)以 BC 为底边的等腰三角形 ABC 中,AC 边上的中线

长为 6,当△ABC 面积最大时,腰 AB 长为( A.6 B.6 C.4 D.4



【分析】设 D 为 AC 中点,由已知及余弦定理可求 cosA= 弦定理可求 2a +b =144,利用配方法可得 S= ah= 函数的图象和性质即可得解当△ABC 面积最大时,腰 AB 长. 【解答】解:如下图所示,设 D 为 AC 中点, 由余弦定理,cosA= = ,
2 2

,在△ABD 中,由余 ,利用二次

在△ABD 中,BD =b +( ) ﹣2× 可得:2a +b =144, 所以,S= ah= =
2 2 2

2

2

2



= ,
2

=

所以,当 a =32 时,S 有最大值,此时,b =144﹣2a =80,解得:b=4 故选:D.

2

,即腰长 AB=4



【点评】本题主要考查了余弦定理,二次函数的图象和性质在解三角形中的应用,考查了配 方法的应用,考查了数形结合思想和转化思想的应用,属于中档题.

7

8. (3 分) (2015 秋?越城区校级期中)到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹,被 过一直线与另一直线垂直的平面所截,截得的曲线为( ) A.相交直线 B.双曲线 C.抛物线 D.椭圆弧 【分析】建立空间直角坐标系,则两条异面直线的方程可得,设空间内任意点设它的坐标是 (x,y,z)根据它到两条异面直线的距离相等,求得 z 的表达式,把 z=0 和 y=0 代入即可 求得轨迹. 【解答】 解: 如图所示, 建立坐标系, 不妨设两条互相垂直的异面直线为 OA, BC, 设 OB=a, P(x,y,z)到直线 OA,BC 的距离相等, 2 2 2 2 ∴x +z =(x﹣a) +y , 2 2 ∴2ax﹣y +z ﹣1=0 2 2 若被平面 xoy 所截,则 z=0,y =2ax﹣1;若被平面 xoz 所截,则 y=0,z =﹣2ax+1 故选 C.

【点评】本题主要考查了抛物线的方程.考查了学生分析归纳和推理的能力. 二、填空题(每小题 4 分,共 28 分.) 9. (4 分) (2015 秋?越城区校级期中) 已知 f (x) =lg (2x﹣4) , 则方程 f (x) =1 的解是 7 , 不等式 f(x)<0 的解集是 (2,2.5) . 【分析】由 f(x)=1,利用对数方程,可得结论;由 f(x)<0,利用对数不等式,即可得 出结论. 【解答】解:∵f(x)=1,∴lg(2x﹣4)=1, ∴2x﹣4=10,∴x=7; ∵f(x)<0, ∴0<2x﹣4<1, ∴2<x<2.5, ∴不等式 f(x)<0 的解集是(2,2.5) . 故答案为:7; (2,2.5) . 【点评】本题考查对数方程、对数不等式,比较基础. 10. (4 分) (2015 秋?越城区校级期中)设数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4+a10=27,则 a5= 9 ,S9= 81 .
8

【分析】 等差数列的性质可得: a1+a4+a10=27=3a5, 解得 a5, 再利用 S9= 可得出. 【解答】解:由等差数列的性质可得:a1+a4+a10=27=3a5,解得 a5=9, ∴S9= =9a5=81.

=9a5. 即

故答案分别为:9;81. 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 11. (4 分) (2015 秋?越城区校级期中)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积等于 4 .

【分析】由三视图可知:该几何体为四棱锥 P﹣ABCD,其中:侧面 PAB⊥底面 BACD,底 面为矩形 ABCD. 【解答】解:由三视图可知:该几何体为四棱锥 P﹣ABCD, 其中:侧面 PAB⊥底面 BACD,底面为矩形 ABCD. ∴该几何体的体积 V= 故答案为:4. =4,

【点评】本题考查了四棱锥的三视图及其体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题. 12. (4 分) (2015 秋?越城区校级期中)已知实数 a>0,且 a≠1,函数 f(x)=loga|x|在(﹣ ∞,0)上是减函数,函数 <g(﹣3)<g(4) . 的大小关系为 g(2)

9

【分析】由已知中函数 f(x)=loga|x|在(﹣∞,0)上是减函数,我们根据复合函数的单 调性,可求出 a 与 1 的关系,进而判断出函数 的奇偶性及单调区间,再根据

偶函数函数值大小的判断方法,即可得到结论. 【解答】解:∵函数 f(x)=loga|x|在(﹣∞,0)上是减函数, 令 u=|x|,则 y=logau, 由 u=|x|在(﹣∞,0)上是减函数,及复合函数同增异减的原则 可得外函数 y=logau 为增函数,即 a>1 又∵函数 为偶函数

且函数在[0,+∞)上单调递增,在(﹣∞,0]上单调递减 且|2|<|﹣3|<|4| ∴g(2)<g(﹣3)<g(4) 故答案为:g(2)<g(﹣3)<g(4) 【点评】本题考查的知识点是指数函数单调性的应用,其中利用复合函数的单调性性质,确 定底数 a 的取值范围是解答本题的关键.

13. (4 分) (2013?文昌模拟)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=abx+y

(a>0,b>0)的最大值为 35,则 a+b 的最小值为 8 . 【分析】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件

,画出满足约束条件的可行域,再根据目标函数 z=abx+y(a>0,b>0)的

最大值为 35,求出 a,b 的关系式,再利用基本不等式求出 a+b 的最小值.

【解答】解:满足约束条件

的区域是一个四边形,如图

4 个顶点是(0,0) , (0,1) , (

,0) , (2,3) ,

由图易得目标函数在(2,3)取最大值 35, 即 35=2ab+3∴ab=16, ∴a+b≥2 =8,在 a=b=4 时是等号成立, ∴a+b 的最小值为 8. 故答案为:8

10

【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是 关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约 束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可 得到目标函数的最优解.

14. (4 分) (2014?西陵区校级模拟)已知 F1、F2 分别为双曲线



=1(a>0,b>0)

的左、右焦点,若在右支上存在点 A,使得点 F2 到直线 AF1 的距离为 2a,则该双曲线的离 心率的取值范围是 .

【分析】设 A 点坐标为(m,n) ,则直线 AF1 的方程为 (m+c)y﹣n(x+c)=0,求出右焦 点 F2(c,0)到该直线的距离,可得直线 AF1 的方程为 ax﹣by+ac=0,根据 A 是双曲线上 4 4 的点,可得 b ﹣a >0,即可求出双曲线的离心率的取值范围. 【解答】解:设 A 点坐标为(m,n) ,则直线 AF1 的方程为 (m+c)y﹣n(x+c)=0, 右焦点 F2(c,0)到该直线的距离 =2a,

所以 n= (m+c) , 所以直线 AF1 的方程为 ax﹣by+ac=0, 与 ﹣ =1 联立可得(b ﹣a )x ﹣2a cx﹣a c ﹣a b =0,
4 4 4 4 2 4 4 2 2 4

因为 A 在右支上,所以 b ﹣a >0, 2 2 所以 b ﹣a >0, 2 2 所以 c ﹣2a >0, 即 e> . 故答案为: . 【点评】本题考查双曲线的几何性质,考查点到直线距离公式的运用,考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题.

11

15. (4 分) (2015 秋?越城区校级期中)边长为 2 的正三角形 ABC 内(包括三边)有点 P, ? =1,求 ? 的取值范围 [3﹣2 ? ,5﹣ ] .
2 2

【分析】先建立坐标系,根据 的数量积得到 即可求出 ? ? =﹣x﹣

=1,得到点 P 在(x﹣1) +y =2 的半圆上,根据向量 y=t, 根据直线和圆的位置关系额判断 t 的范围,

y+4, 设 x+

的取值范围.

【解答】解:以 B 为原点,BC 所在的直线为 x 轴,建立如图所示的坐标系, ∵正三角形 ABC 边长为 2, ∴B(0,0) ,A(1, ) ,C(2,0) , 设 P 的坐标为(x,y) , (0≤x≤2,0≤y≤ ∴ ∴ =(﹣x,﹣y) , ?
2

) ,

=(2﹣x,﹣y) ,

=x(x﹣2)+y =1,
2 2

即点 P 在(x﹣1) +y =2 的半圆上, ∵ ∴ =(﹣1,﹣ ? =﹣x﹣ ) y+4,

设 x+ y=t, 则直线 x+ y﹣t=0 与圆交点, ∴d= ≤ ,

解得 0≤t≤2 +1, 当直线 x+ y﹣t=0 过点 D( ∴ ﹣1=t, 即 t≥ ﹣1, ∴ ﹣1≤t≤2 +1, ∴3﹣2 ≤4﹣t≤5﹣ , 故 ? 的取值范围为[3﹣2 ,5﹣

﹣1,0)时开始有交点,

,5﹣ ].

].

故答案为:[3﹣2

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【点评】 本题考查了数量积运算, 直线和圆的位置关系, 培养了学生的运算能力和转化能力, 属于中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (8 分) (2014?湖北模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2cos (B﹣C)=4sinB?sinC﹣1. (1)求 A; (2)若 a=3,sin = ,求 b. 【分析】 (1)由已知利用两角和的余弦公式展开整理,cos(B+C)=﹣ .可求 B+C,进而 可求 A (2)由 sin ,可求 cos = ,可求 b 【解答】解: (1)由 2cos(B﹣C)=4sinBsinC﹣1 得, 2(cosBcosC+sinBsinC)﹣4sinBsinC=﹣1,即 2(cosBcosC﹣sinBsinC)=﹣1. 从而 2cos(B+C)=﹣1,得 cos(B+C)=﹣ . ∵0<B+C<π ∴B+C= ,故 A= . …6 分 …4 分 ,代入 sinB=2sin cos 可求 B,然后由正弦定理

(2)由题意可得,0<B< π ∴ 由 sin , ,得 cos = . , …10 分

∴sinB=2sin cos =

13

由正弦定理可得

,∴



解得 b=



…12 分.

【点评】本题主要考查了两角和三角公式的应用,由余弦值求解角,同角基本关系、二倍角 公式、正弦定理的应用等公式综合应用.

17. (10 分) (2016?洛阳四模)数列{an}满足 a1=1,

(n∈N+) .

(1)证明:数列

是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式 an; (3)设 bn=n(n+1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【分析】 (I)由已知中 (n∈N+) ,我们易变形得: ,即

,进而根据等差数列的定义,即可得到结论;

(II)由(I)的结论,我们可以先求出数列

的通项公式,进一步得到数列{an}的通项

公式 an; (Ⅲ)由(II)中数列{an}的通项公式,及 bn=n(n+1)an,我们易得到数列{bn}的通项公式, 由于其通项公式由一个等差数列与一个等比数列相乘得到, 故利用错位相消法, 即可求出数 列{bn}的前 n 项和 Sn. 【解答】解: (Ⅰ)证明:由已知可得 ,







∴数列

是公差为 1 的等差数列(5 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知



14



(8 分)
n

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 bn=n?2 2 3 n Sn=1?2+2?2 +3?2 ++n?2 2 3 n n+1 2Sn=1?2 +2?2 +…+(n﹣1)?2 +n?2 (10 分) 相减得: 分) ∴Sn=(n﹣1)?2 +2 【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式及数列求各,其中(I)中利用递推公式,得 到数列 是等差数列并求出其通项公式是解答本题的关键.
n+1

=2

n+1

﹣2﹣n?2

n+1

(12

18. (10 分) (2009?温州二模)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1B1B 是边长为 2 的正 方形, 点 C 在平面 AA1B1B 上的射影 H 恰好为 A1B 的中点, 且 CH= , 设 D 为 CC1 中点, (Ⅰ)求证:CC1⊥平面 A1B1D; (Ⅱ)求 DH 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值.

【分析】方法一:常规解法 (I)由已知中,棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1B1B 是边长为 2 的正方形,易得 CC1⊥ A1B1, 取 A1B1 中点 E, 可证出 DE⊥CC1, 结合线面垂直的判定定理可得 CC1⊥平面 A1B1D; (II)取 AA1 中点 F,连 CF,作 HK⊥CF 于 K,结合(I)的结论,我们可得 DH 与平面 AA1C1C 所成角为∠HDK,解 Rt△CFH 与 Rt△DHK,即可得到 DH 与平面 AA1C1C 所成角 的正弦值. 方法二:向量法 (I)以 H 为原点,建立空间直角坐标系,分别求出向量 的坐标,根据

坐标的数量积为 0,易得到 CC1⊥A1D,CC1⊥B1D,进而根据线面垂直的判定定理得到 CC1 ⊥平面 A1B1D; (II)求出直线 DH 的方向向量及平面 AA1C1C 的法向量,代入向量夹角公式,即可求出 DH 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值. 【解答】证明:方法一: (Ⅰ)因为 CC1∥AA1 且正方形中 AA1⊥A1B1,所以 CC1⊥A1B1,

15

取 A1B1 中点 E,则 HE∥BB1∥CC1 且

,又 D 为 CC1 的中点,

所以 ,得平行四边形 HEDC, 因此 CH∥DE,又 CH⊥平面 AA1B1B, 得 CH⊥HE,DE⊥HE,所以 DE⊥CC1∴CC1⊥平面 A1B1D(6 分) 解: (Ⅱ)取 AA1 中点 F,连 CF,作 HK⊥CF 于 K 因为 CH∥DE,CF∥A1D,所以平面 CFH∥平面 A1B1D,由(Ⅰ)得 CC1⊥平面 A1B1D, 所以 CC1⊥平面 CFH, 又 HK? 平面 CFH, 所以 HK⊥CC1, 又 HK⊥CF, 得 HK⊥平面 AA1C1C, 所以 DH 与平面 AA1C1C 所成角为∠HDK(10 分) 在 Rt△CFH 中, , (14 分)

在 Rt△DHK 中,由于 DH=2,

方法二: (向量法) 证明: (Ⅰ)如图,以 H 为原点,建立空间直角坐标系, 则 C(0,0, 所以 ∴ , ) ,C1( , , ) ,A1( ) ,B1(0, , , 0) ,

因此 CC1⊥平面 A1B1D; (6 分) 解: (Ⅱ)设平面 AA1C1C 的法向量 ,由于

16

则 得 又

, ,所以 ,所以 (10 分) (14 分)

【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定,其中方法一的 关键是熟练掌握空间直线与平面关系的判定、 性质及定义, 方法二的关键是建立空间坐标系, 将线面夹角问题转化为向量夹角的问题. 19. (10 分) (2015 秋?越城区校级期中) 已知抛物线 y =2px, 过焦点且垂直 x 轴的弦长为 6, 抛物线上的两个动点 A(x1,y1)和 B(x2,y2) ,其中 x1≠x2 且 x1+x2=4,线段 AB 的垂直 平分线与 x 轴交于点 C. (1)求抛物线方程; (2)试证线段 AB 的垂直平分线经过定点,并求此定点; (3)求△ABC 面积的最大值. 【分析】 (1)由题意,2p=6,即可得出抛物线方程为 y =6x; (2)设线段 AB 的中点为 M(x0,y0) ,求出线段 AB 的垂直平分线的方程由此能求出直线 AB 的垂直平分线经过定点 C(5,0) . (3)直线 AB 的方程为 y﹣y0= (x﹣2) ,代入 y =6x,由此利用两点间距离公式和点到
2 2 2

直线距离公式能求出△ABC 面积的表达式,利用均值定理能求出 ABC 面积的最大值. 【解答】 (1)解:由题意,2p=6,∴抛物线方程为 y =6x.…(2 分) (2)设线段 AB 的中点为 M(x0,y0) , 则 x0=2,y0= ,kAB= = .
2

线段 AB 的垂直平分线的方程是 y﹣y0=﹣

(x﹣2) ,①

由题意知 x=5,y=0 是①的一个解, 所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点, 且点 C 坐标为(5,0) . 所以直线 AB 的垂直平分线经过定点 C(5,0) .…(4 分) (2)由①知直线 AB 的方程为 y﹣y0= (x﹣2) ,①

即 x=

(y﹣y0)+2,②
2 2 2 2

②代入 y =6x 得 y =2y0(y﹣y0)+12,即 y ﹣2y0y+2y0 ﹣12=0,③ 依题意,y1,y2 是方程③的两个实根,且 y1≠y2,
17

所以△>0,﹣2 |AB|=

<y0<2

. = . .…(8 分) ? ≤ .

定点 C(5,0)到线段 AB 的距离 h=|CM|= ∴S△ABC= (3)由(2)知 S△ABC= ?

= 当且仅当 即 y0= 所以,△ABC 面积的最大值为 =24﹣2 ,

,…(11 分)

.…(13 分)

【点评】本题考查直线的垂直平分线经过定点的证明,考查三角形面积的表达式的求法,考 查三角形面积的最大值的求法,解题时要认真审题,注意均值定理的合理运用. 20. (10 分) (2015 秋?越城区校级期中)已知函数 f(x)=x|x﹣a|+bx (Ⅰ)当 a=2,且 f(x)是 R 上的增函数,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)当 b=﹣2,且对任意 a∈(﹣2,4) ,关于 x 的程 f(x)=tf(a)有三个不相等的实数 根,求实数 t 的取值范围. 【分析】 (Ⅰ)去绝对值号得 递增等价于这两段函数分别递增,从而解得; (Ⅱ) 数的单调区间,从而求实数 t 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ) 因为 f(x)连续, 所以 f(x)在 R 上递增等价于这两段函数分别递增, , ,tf(a)=﹣2ta,讨论 a 以确定函 ,f(x)在 R 上

所以



解得,b≥2; (Ⅱ) ,tf(a)=﹣2ta,

18

当 2≤a≤4 时, f(x)在(﹣∞, 所以 f 极大(x)=f(



≤a, ,a)上递减,在(a,+∞)上递增,

)上递增,在( )= ﹣a+1,

f 极小(x)=f(a)=﹣2a,

所以

对 2≤a≤4 恒成立,

解得:0<t<1, 当﹣2<a<2 时, f(x)在(﹣∞, 所以 f 极大(x)=f( f 极小(x)=f( 所以﹣ )=﹣ <a< , , )上递减,在( ,+∞)上递增,

)上递增,在( )= ﹣a+1,

﹣a﹣1, ﹣a+1 对﹣2<a<2 恒成立,

﹣a﹣1<﹣2ta<

解得:0≤t≤1, 综上所述,0<t<1. 【点评】 本题考查了函数的性质的判断与应用, 同时考查了数形结合的数学思想, 属于难题.

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