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江苏省赣榆县海头高级中学2014-2015学年高二下学期周末训练数学(理)试题(14)



江苏省海头高级中学 2014-2015 学年第二学期周末训练(14)

高二数学试题(选修物理)
(考试时间 120 分钟,总分 160 分) 一、填空题 1.若复数 (1 ? bi)(2 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位, b 是实数)则 b = 2.矩阵 A ? ?

? 3 2? ? 的逆矩阵为____________.

?2 1?

3、 883 ? 6 被 49 除所得的余数是
4.用数学归纳法证明“ 2 ? n ? 1 对于 n ≥ n0 的自然数 n 都成立”时,第一步证明中的起
n 2

始值 n0 应取________. 5.5 本不同的书全部分给 4 人,每人至少 1 本,不同的分配方法种数 答) 6.已知 ?ABC 的三内角 A、B、C 满足条件 .(用数字作

sin 2 A ? (sin B ? sin C ) 2 ? 1 ,则角 A = sin B sin C

7.口袋内放有大小相同的 2 个红球和 1 个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{ an } 为 an ? ?

?? 1, 第n次摸到红球

?1, 第n次摸到白球

.如果 S n 为数列{ an }的前 n 项和,则 S 7 ? 3 的概率为

8.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 1, S8 ? 4 ,则 a13 ? a14 ? a15 ? a16 ?
9. 若直线 y ? mx 是 y ? ln x +1 的切线,则 m ?

.

10.复数 z1,z2 满足|z1|=|z2|=|z2-z1|=2,则|z1+z2|= . 11.如图,把1,3,6,10,15,?这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正 三角形,则第七个三角形数是______

12.在等差数列中,若已知两项 ap 和 aq,则等差数列的通项公式 an=ap+(n-p) 的, 在等比数列中, 若已知两项 ap 和 aq (假设 p q) , 则等比数列的通项公式 an=

.类似 .

13.已知 t 为实常数, f ( x ) ? x ? 3 x ? t ? 1 在区间 ? ?2 ,1? 上的最大值为 2,则 t ?
3
3 2 2 14.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处有极值 10,则 a ? b =

.

二、解答题 15. 已知曲线 C 的方程 y 2 ? 3x 2 ? 2 x3 ,设 y ? tx , t 为参数,求曲线 C 的参数方程.

16.设 a,b∈R,若矩阵 A= ? 求 a,b 的值.

? a 0? ? 把直线 l:2x+y 一 7=0 变换为另一直线 l ? :9x+y 一 91=0,试 ? ?1b ?

17.在 ? x ?

? ?

1 ? ? 的展开式中,前三项系数成等差数列,求 2? 4 x ?

n

(1)展开式中所有项的系数之和; (2)展开式中的有理项 ; (3)展开式中系数最大的项

0 18、已知 F1 , F2 是椭圆的焦点, P 为椭圆上一点, ?F 1PF 2 ? 60 .

(1)求椭圆离心率的取值范围;

(2)求证: ?F 1PF 2 的面积只与椭圆的短轴长有关.

19. 已 知 集 合 A ? x x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 , x ? N? , 集 合 B ? x x ? 3 ? 3 , x ? N? , 集 合

?

?

?

?

M ? ??x, y ? x ? A, y ? B?
(1)求从集合 M 中任取一个元素是 ?3,4? 的概率; (2)从集合 M 中任取一个元素,求 x ? y ? 10 的概率; (3)设 ? 为随机变量, ? ? x ? y ,写出 ? 的概率分布,并求 E?

20、 底面 ABCD 为矩形的四棱锥 P ? ABCD 中,AB ? 3 ,BC ? 1 ,PA ? 2 , 侧棱 PA ? 底面 ABCD , E 为 PD 的中点 (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC ,并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离

P

E

D

C

O
A

B

21. 椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点到直线 x ? y ? 0 的距离为 2 2 a b

2 ,若 D 是椭圆 C 的右顶点, AP 为过 O 点的弦,直线 AD 、 PD 的斜率分别为 k1 、k2 , 2 ?1? 求出椭圆的方程;

? 2 ? 求证: k1 ? k2 为定值,并求出其定值; ? 3? 若直线 AD 、 PD 交直线 x ? 3 于 E 、 F 两点,求 EF 的最小值。
P O

y

E x D A 19题图 F

22.已知函数 f ( x) ? ? x ? ? x , g ( x) ? ? x ? ln x , h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,其中 ? ? R ,且
2

? ? 0.
⑴当 ? ? ?1 时,求函数 g ( x) 的最大值; ⑵求函数 h( x) 的单调区间; ⑶设函数 ? ( x) ? ?

? f ( x), x ? 0, 若对任意给定的非零实数 x ,存在非零实数 t ( t ? x ) ,使得 ? g ( x), x ? 0.

? '( x) ? ? '(t ) 成立,求实数 ? 的取值范围.

参考答案
1. 2 2.

? ? 1 ? 2? ? ? 2 ? 3? ? ?
10. 2

3. 0

4. 5

5. 240
n – p

6. 60°

7. C 7 ( ) ( ) 14. -44

2

2 3

2

1 3

5

8. 27

9. 1

11. 28

12.

ap

13. 1

15 解:将 y ? tx 代入 y 2 ? 3x 2 ? 2 x3 ,得 t 2 x 2 ? 3x 2 ? 2 x3 ,即 2 x3 ? (3 ? t 2 ) x2 . 当 x=0 时,y=0; 当 x ? 0 时, x ?
3 ? t2 . 2

从而 y ?

3t ? t 3 . 2

? 3 ? t2 x ? , ? ? 2 ∵原点 (0, 0) 也满足 ? , 3 ? y ? 3t ? t ? ? 2 ? 3 ? t2 x? , ? ? 2 ( 为参数) ∴曲线 C 的参数方程为 ? . t 3 ? y ? 3t ? t ? ? 2

16 解:取 l 上两点(0,7)和(3.5,0) ,

? a 0? ?0? ? 0 ? ? a 0? ?3.5? ? 3.5a ? 则? ?? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ? ?, ?? 1 b? ?7? ?7b? ?? 1 b? ? 0 ? ?? 3.5?
由题意知 (0,7b), (3.5a,?3.5) 在直线 l ' :9x+y-91=0 上, ∴?
?7b ? 91 ? 0 ?31.5a ? 3.5 ? 91 ? 0

解得 a ? 3, b ? 13

1 2 17.由题意知, 2 ? Cn ? 1 ? Cn ? ? ? n ? 8 n ? 1舍

1 2

?1? ? 2?

2

?

?

? 3 ? 6561 ?展开式中所有的二项式 系数为 ? ? ? 256 ? 2?
1 ? ? (2) n ? 8 时, ? x ? 4 ? 的第 r ?1 项 Tr ?1 ? C8r 2? x ? ?
0 ? r ? 8 ? r ? 0,4,8
8

8

? x?

8? r

? 1 ? ? 1 ? 4? r ? 4 ? ? C8r ? ? x 4 ?2? ? 2? x ?

r

r

3

r ? 0 时, T1 ? x 4 ; r ? 4时, T5 ?

35 1 ?2 x ; r ? 8时, T9 ? x 8 256

(3)展开式中系数最大的项为 T3 ? 7 x 2 和 T4 ? 7 x 4 18.(1) ? ,1?

5

7

?1 ? ?2 ?

(2)

3 2 b 3

19.解: (1) A ? ? 1,2,3,4,5,6? , B ? ? 1,2,3,4,5,6?, ? M 中共有 36 个元素

? P?从集合 M中任取一个元素是 ?3,4?? ?

1 36

(2) x ? y ? 10的所有的可能情形为: ?4,6?、 ?5,5?、 ?6,4?、 ?5,6?、 ?6,5?、 ?6,6?

? P? x ? y ? 10 ? ?

6 1 ? 36 6

(3) ? 的概率分布表如下:

?

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

P

1 36

1 18

1 12

1 9

5 36

1 6

5 36

1 9

1 12

1 18

1 36

计算得 E? ? 7 20(1)建立直角坐标系

1 B( 3,0,0) 、 C( 3,1,0) 、 D(0,1, 0) 、 P(0, 0, 2) 、 E (0, ,1) , 2
从而 AC ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0,?2). 设 AC与PB 的夹角为 ? , cos ? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14

∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 7 14

(Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为 ( x, 0, z ) ,则

1 NE ? (? x, ,1 ? z ) ,由 NE ? 面 PAC 可得, 2
? ? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0. 1 ? ? z ? 1 ? 0, ?(? x, 2 ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? ? 即? 化简得? 1 ? 3 x ? ? 0. ?(? x, 1 ,1 ? z ) ? ( 3 ,1,0) ? 0. ? 2 ? ? 2 ?

? 3 ?x ? ∴? 6 ?z ? 1 ?

即 N 点的坐标为 (

3 3 ,0,1) ,从而 N 点到 AB 和 AP 的距离分别为 1, 6 6

? c 1 ? a?2 ? a?2 ? ? x2 y 2 c 2 ? 21 解: ?1? 由题意得: ? 得 ?b ? 3 ,椭圆的方程为 ? ? 1。 ? 4 3 2 2 ? c ?1 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ? ? 2 ? 由 ?1? 得: D ? 2,0? 。设 P ? x1, y1 ? ,则 A? ?x1, ? y1 ? ,
? k1 ? y1 ? y1 , k2 ? ,???6 分 2 ? x1 2 ? x1
P O D A 19题图 F y

? x12 ? ? 3 ?1 ? ? 4 ? ? y12 3 ? ? k1 ? k2 ? ? ?? , 2 2 4 ? x1 4 ? x1 4 3 ? k1 ? k2 为定值 ? 。???10 分 4 ? 3? ? AD : y ? k1 ? x ? 2? ? E ?3, k1 ? ,同理: F ?3, k2 ? ,

E x

? EF ? k1 ? k2 ,???12 分
? k1 ? k2 ? 0 ? EF ? k1 ? k2 ? k1 ? k2 ? 2 k1 ? k2 ? 3 ,

? EF 的最小值为 3 。
1 1? x ?1 ? , ( x ? 0) x x 令 g ?( x) ? 0 ,则 x ? 1 , ∴ g ( x) ? ln x ? x 在 (0, 1) 上单调递增,在 (1, +?) 上单调递减 ∴ g ( x)max ? g (1) ? ?1
22 解:⑴当 ? ? ?1 时, g ( x) ? ln x ? x,( x ? 0) ∴ g ?( x) ?

1 2? x 2 ? 2? x ? 1 ? , (x ? 0) x x ∴当 ? ? 0 时, h '( x) ? 0 ,∴函数 h( x) 的增区间为 (0, ??) ,
⑵ h( x) ? ? x ? 2? x ? ln x , h '( x) ? 2? x ? 2? ?
2

当 ? ? 0 时 , h '( x) ?

2? ( x ?

?? ? ? 2 ? 2? ?? ? ? 2 ? 2? )( x ? ) ?? ? ?2 ? 2 ? 2? 2? ,当 x? 时, 2? x
? ? ? ? 2 ? 2? 时, h '( x ) ? 0 ,函数 h( x) 是增函 2?

h ' (x )? 0 ,函数 h( x) 是减函数;当 0 ? x ?

数. 综 上 得 , 当 ? ? 0 时 , h( x) 的 增 区 间 为 (0, ??) ;
(0, ? ? ? ? 2 ? 2? ?? ? ? 2 ? 2? ) ,减区间为 ( , ??) 2? 2?

当 ? ? 0 时 , h( x ) 的 增 区 间 为

1 在 (0, ??) 上是减函数,此时 ? '( x ) 的取值集合 A ? (? , ??) ; x 当 x ? 0 时, ? '( x) ? 2? x ? ? , 若 ? ? 0 时, ? '( x ) 在 (??, 0) 上是增函数,此时 ? '( x ) 的取值集合 B ? (??, ? ) ; 若 ? ? 0 时, ? '( x ) 在 (??, 0) 上是减函数,此时 ? '( x ) 的取值集合 B ? (? , ??) . 对任意给定的非零实数 x , ①当 x ? 0 时,∵ ? '( x ) 在 (0, ??) 上是减函数,则在 (0, ??) 上不存在实数 t ( t ? x ) ,使得
⑶当 x ? 0 , ? '( x) ? ? ?

? '( x) ? ? '(t ) ,则 t ? (?? ,0) ,要在 (??, 0) 上存在非零实数 t( t ? x ) ,使得 ? '( x) ? ? '(t ) 成立,必定有 A ? B ,∴ ? ? 0 ;
②当 x ? 0 时, ? '( x ) ? 2? x ? ? 在 (??, 0) 时是单调函数,则 t ? (0, ??) ,要在 (0, ?? ) 上 存在非零实数 t ( t ? x ) ,使得 ? '( x) ? ? '(t ) 成立,必定有 B ? A ,∴ ? ? 0 .综上得,实 数 ? 的取值范围为 (??, 0) .

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