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湖北省武汉二中2014年高二上学期期末考试数学(理)试题及答案



湖北省武汉市第二中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试数学(理)试题 考试时间:2015 年 2 月 4 日 上午 一、选择题:本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 试卷满分:150 分

x2 y 2 1. 过椭圆 ? ? 1 的左焦点 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点 , F2 是右焦点 , 则 ?ABF2 的周长是 16

9
( )

A.6
2

B.8


C.12

D.16

2.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是(

A.(1, 0)

B.(2, 0)

C.(0, 1 3

1 ) 16

1 D.(0, ) 8


3.设随机变量 ? 的分布列为 P (? ? i ) ? a ( )i , i ? 1, 2,3 , 则实数 a 的值为(

A.1

B.

9 13

C.

11 13

D.

27 13

4.某服装加工厂某月生产甲、乙、丙三种产品共 4000 件, 为了保证产品质量, 进行抽样检验, 根据分 层抽样的结果, 企业统计员制作了如下统计表格. 由于不小心, 表格甲、丙中产品的有关数据已被 污染得看不清楚, 统计员记得甲产品的样本容量比丙产品的样本容量多 10, 根据以上信息, 可得丙 的产品数量是( ) 产品类别 产品数量/件 样本容量/件 甲 乙 2300 230 丙

B.800 C.90 D.900 5.正四面体 ABCD 中, M, N 分别是棱 BC 、 AD 的中点, 则异面直线 AM , CN 所成角的余弦值为
( )

A.80

2 A. ? 3 1 x

B.

1 4

C.

2 3

D. ?

1 4


6.若 ( x ? a ) 2 ( ? 1)5 的展开式中的常数项为 ?1 , 则实数 a 的值为(

A.1

B.99

C. ? 1或-9

D.1或9


7.已知随机变量 X 服从正态分布 N (3,1) , 且 P (2 ? x ? 4) ? 0.6826 , 则 P ( x ? 4) ? (

A.0.1588
2

B.0.1587

C.0.1586

D.0.1585

8. 设抛物线 y ? 2 x 的焦点为 F , 过点 M( 3, 0) 的直线与抛物线相交于 A, B 两点, 与抛物线的准 线相交于 C , | BF |? 2 , 则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比

S ?BCF =( S ?ACF



A.

4 5

B.

2 3
2 2

C.

4 7

D.

1 2

9.若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点, 则实数 k 的取值范围是( )

A.(?

15 15 , ) 3 3

B.(0,

15 ) 3

C.(?

15 , 0) 3

D.(?

15 , ?1) 3

2 y2 10.已知直线 l1 , l2 是经过椭圆 x ? =1 的中心且相互垂直的两条直线, 分别交椭圆于 A, C, B, D , 4 4 3

则四边形 A BCD 的面积的最小值是(



A.2

B.4

C.

8 3 3

D.

16 3 3

二、填空题:本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分. 11.假设要考查某企业生产的袋装牛奶质量是否达标, 现从 500 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验, 利用随 机数表抽样时, 先将 500 袋牛奶按 000,001, , 499 进行编号. 如果从随机数表第 8 行第 4 列的数 开始三位数连续向右读取, 请你依次写出最先检测的 5 袋牛奶的编号 (下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 12.双曲线 8kx ? ky ? 8 的一个焦点为(0,3), 则实数 k 的值为
2 2

.

13.从某大学中随机抽取 8 名女大学生, 其身高和体重数据如表所示. 编号 身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 kg. 8 170 59

已知该大学某女大学生身高为 165.25cm, 则预报其体重合理值为

14.向等腰直角三角形 A BC (其中 A C = BC )内任意投一点 M , 则 AM 小于 AC 的概率为 . 15.平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , ?A1 AD ? ?A1 AB ? 60 , ?DAB ? 90 , A1 A ? 3 , AB ? 2 ,

AD ? 1 , 则其体对角线 AC1 的长为
三、解答题:本大题共 6 小题, 共 75 分.

.

16. (12 分)已知椭圆的两个焦点分别是 (?2, 0), (2, 0) , 并且经过点 ( , ? ) , 求它的标准方程.

5 2

3 2

17. (12 分) 过双曲线 点, 求(1)|AB|;

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F2 , 倾斜角为 30 的直线交双曲线于 A, B 两点, F1 为左焦 3 6
(2) ?AF1 B 的周长.

18. (12 分) 如图所示, 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB / / CD , ?DAB ? 90 , PA ? 底面 ABCD , 且 PA ? AD ? DC ? 1 , AB ? 2 , M 是 PB 的中点. (1)求证:平面 PAD ? 平面 PCD . (2)求 AC 与 PB 所成角的余弦值. (3)求二面角 A ? MC ? B 的余弦值.

19. (12 分)根据气象预报, 某地区近期有小洪水的概率为 0.25, 有大洪水的概率为 0.01.该地区某工 地上有一台大型设备, 遇到大洪水时要损失 60000 元, 遇到小洪水时要损失 10000 元. 为保护设备, 有以下 3 种方案: 方案 1:运走设备, 搬运费为 3800 元. 方案 2:建保护围墙, 建设费为 2000 元, 但围墙只能防小洪水. 方案 3:不采取措施. 试比较哪一种方案好.

20. (13 分)已知 (1 ? 3 x) 展开式中, 末三项的二项式系数的和等于 121, 求展开式中系数最大的项
n

的项数及二项式系数最大的项的项数.

21. (14 分)如图所示, 已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 左、右端点分别为 A1 , A2 , 过定点 (1, 0) 的动直线与 4

椭圆 C 交于 P, Q 两点. 直线 A1 P 与 A2Q 交于点 S . (1)当直线斜率为 1 时, 求直线 A1 P 与 A2Q 的方程. (2)试问:点 S 是否恒在一条定直线上. 若是求出这条直线方程, 若不是请说明理由.

武汉二中 2014—2015 学年上学期 高二年级期末考试

数学参考答案
1.选择题 1 2 3 4 D C D B 2.填空题 11.163,199,175,128,395 12.-1 13.54.5 ? 14. 4
15. 23 3.解答题

5 C

6 D

7 B

8 A

9 D

10 B

?5 ? ? 3? ?5 ? ? 3? 16.由椭圆定义知 2a ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 10 ?2 ? ? 2? ?2 ? ? 2?

2

2

2

2

? a ? 10 。又 c ? 2,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6 。
椭圆焦点在 x 轴上

? 所求椭圆标准方程是:

x2 y 2 ? ? 1。 10 6
3 ? ? y ? 3 ? x ? 3?

17.由双曲线方程知焦点分别是 F1 ? ?3, 0 ? , F2 ? 3, 0 ? 。联立直线与双曲线方程 ? x2

? ?

3

?

y2 ?1 6

,得

5 x 2 ? 6 x ? 27 ? 0 , x1 ? ?3, x2 ?

9 2 3 9 。? A(?3, ?2 3), B( , ? ) 5 5 5

? | AB |?
(2)

16 3 5

| AF2 | ? | AF1 |? 2 3,| B F1 | ? | B F2 |? 2 3, ?| AF1 | ? | B F1 |?| AF2 | ? | B F2 | ? 周长= | AF1 | ? | B F1 | ? | AB |?| AF2 | ? | B F2 | ? | AB |? 2 | AF2 |

=4 3 18.证明:以 A 为坐标原点, AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为

1? ? A ? 0, 0, 0 ? , B ? 0, 2, 0 ? , C ?1,1, 0 ? , D ?1, 0, 0 ? , P ? 0, 0,1? , M ? 0,1, ? 。 2? ?
(1)

AP ? ? 0, 0,1? , DC ? ? 0,1, 0 ? ,? AP DC ? 0,? AP ? DC ,
AD ? A ,? DC ? 平面 PAD 。
?
? ?

?

?

?

?

又 AD ? DC , AP

DC ? 平面 PCD ,? 平面 PAD ? 平面 PDC 。
(2)

AC ? ?1,1, 0 ? , PB ? ?1,1, 0 ? ,?| AC |? 2,| PB |? 5, AC PB ? 2 ,
? ?

?

? cos ? AC , PB ??

AC PB | AC | | PB |
? ?

?

?

?

10 。 5

(3)在 MC 上取一点 N ? x, y, z ? ,则存在 ? ? R , 使 NC ? ? MC , NC ? ?1 ? x,1 ? y , ? z ? , MC ? ?1, 0, ?
? ? ? ?

? ?

1? ?, 2?

? x ? 1 ? ? , y ? 1, z ?

1 ?。 2
? ?

要使 AN ? MC ,只需 AN MC ? 0 ,即 x ? 解得 ? ?

1 z?0 2

? ? 4 4 ?1 2? 。可知当 ? ? 时,点 N 坐标为 ? ,1, ? ,能使 AN MC ? 0 。 5 5 ?5 5?

此时 AN ? ? ,1,
? ?

?

?1 ?5

? ? ? 2? 2? ?1 , ,有 BN MC ? 0。 BN ? , ? 1, ? ? ? 5? 5? ?5

由 AN MC ? 0, BN MC ? 0 得 AN ? MC , BN ? MC 。

?

?

? ?ANB 为所求二面角的平面角。

| AN | ?
?

?

? 30 30 ? ? 4 ,| BN | ? , AN BN ? ? 5 5 5

? cos ? AN , BN ??

?

2 ?? 。 3 | AN | | BN |
? ?

AN BN

?

?

19.用 X 1 , X 2 , X 3 分别表示方案 1,2,3 的损失。采用第 1 种方案,无论有无洪水,都损失 3800 元,即

X 1 =3800.
采用第 2 种方案,遇到大洪水时,损失 2000+60000=62000 元;没有大洪水时,损失 2000 元, 即 X2 ?

?

62000,有大洪水 2000,无大洪水



?60000,有大洪水 ? 采用第 3 种方案,有 X 3 = ?10000,有小洪水 。 ? 0,无洪水 ?
所以, E ( X 1 ) ? 3800, E ( X 2 ) ? 62000 ? 0.01 ? 2000 ? (1 ? 0.01) ? 2600,

E ( X 3 ) ? 60000 ? 0.01 ? 10000 ? 0.25 ? 3100 。
采取方案 2 的平均损失最小,因此可以选择方案 2. 20.
n?2 n ?1 n Cn ? Cn ? Cn ? 121,? n 2 ? n ? 240 ? 0,? n ? 15.

? 展开式共 16 项。? 第 8 项和第 9 项的二项式系数相等且最大。
k ?1 k ?1 k k 记展开式中第 k 项的系数的绝对值为 ak ? C15 3 (1 ? k ? 16) ,则 ak ?1 ? C15 3 。



ak ?1 ? 1 得 k ? 12 ,即 a1 ? a2 ? ak

? a12 ? a13 ? a14 ?

? a16 。

? 第 12 项和第 13 项的系数的绝对值最大且相等。
11 12 又第 12 项系数为 C15 (?3)11 ? 0 ,第 13 项系数为 C15 (?3)12 ? 0 。

? 第 13 项的系数最大。
21.(1)联立直线与椭圆方程得 5 x 2 ? 8 x ? 0, x1 ? 0, x2 ?

8 ?8 3? ,? P ? , ? , Q ? 0, ?1? 5 ?5 5?

? A1 P : x ? 6 y ? 2 ? 0 A2 Q : x ? 2 y ? 2 ? 0
(2)联立直线与椭圆方程得 (my ? 1) ? 4 y ? 4 ,即 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 。记
2 2 2 2

P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ?
y?

?2m ?3 , y1 y2 ? 2 ,且 A1 P, A2 Q 的方程分别是 2 m ?4 m ?4

y1 y2 ( x ? 2) , y ? ( x ? 2) 。 x1 ? 2 x2 ? 2

y1 ? ? y ? x ? 2 ( x ? 2) ? 1 由方程组 ? , ? y ? y2 ( x ? 2) ? x2 ? 2 ?



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