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2005年全国1卷高考数学试卷(理科)q



2005 年全国 1 卷高考数学试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)设 I 为全集,S1、S2、S3 是 I 的三个非空子集,且 S1∪S2∪S3=I,则下面论断正确的是( A.CIS1∩(S2∪S3)=Φ B. S1?(CIS2∩CIS3) C. CIS1∩CIS2∩CIS3)=Φ D.S1?(CIS2∪CIS3

) 2. (5 分)一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 π,则球的表面积为( ) 8 π A. B. C. D . 4π 3. (5 分)已知直线 l 过点(﹣2,0) ,当直线 l 与圆 x +y =2x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围是( A. B. C. D.
2 2





4. (5 分) 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形, 且△ ADE、 △ BCF 均为正三角形, EF∥AB, EF=2,则该多面体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

5. (5 分)已知双曲线 A.

﹣y =1(a>0)的一条准线与抛物线 y =﹣6x 的准线重合,则该双曲线的离心率为( B. C. D.

2

2



6. (5 分)当 0<x< A.2

时,函数 B.
2 2

的最小值为( C .4

) D. )

7. (5 分)设 b>0,二次函数 y=ax +bx+a ﹣1 的图象为下列之一,则 a 的值为(

A.1

B.﹣1

C.

D.

8. (5 分)设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a ﹣2a ﹣2) ,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( ) A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,loga3) D.(loga3,+∞) 9. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知平面区域 A={(x,y)|x+y≤1,且 x≥0,y≥0},则平面区域 B={(x+y, x﹣y)|(x,y)∈A}的面积为( )

2x

x

A.2

B.1

C.

D.

10. (5 分)在△ ABC 中,已知 tan ①tanA?cotB=1, ②1<sinA+sinB≤ , 2 2 ③sin A+cos B=1, 2 2 2 ④cos A+cos B=sin C, 其中正确的是( ) ①③ A.

=sinC,给出以下四个论断:

B.②④

C.①④ )

D.②③

11. (5 分)过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条,其中异面直线有( A.18 对 B.24 对 C.30 对

D.36 对

12. (5 分)复数 A.﹣i

=( B.i

) C .2 ﹣i D.﹣2 +i

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 13. (4 分)若正整数 m 满足 10 14. (4 分)
m﹣1

<2

512

<10 ,则 m=

m

_________ . (lg2≈0.3010) . (用数字作答)

的展开式中,常数项为 _________

15. (4 分)△ ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, _________ .

,则实数 m=

16. (4 分)在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,过对角线 BD′的一个平面交 AA′于 E,交 CC′于 F,则: ①四边形 BFD′E 一定是平行四边形; ②四边形 BFD′E 有可能是正方形; ③四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形; ④平面 BFD′E 有可能垂直于平面 BB′D. 以上结论正确的为 _________ . (写出所有正确结论的编号)

三、解答题(共 6 小题,满分 74 分)

17. (12 分)设函数 f(x)=sin(2π+?) (﹣π<?<0) ,y=f(x)图象的一条对称轴是直线 (Ⅰ)求 ?; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调增区间; (Ⅲ)证明直线 5x﹣2y+c=0 与函数 y=f(x)的图象不相切.



18. (12 分) 已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为直角梯形, AB∥DC, ∠DAB=90°, PA⊥底面 ABCD, 且 PA=AD=DC= , AB=1,M 是 PB 的中点. (Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小.

19. (12 分)设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=1,2,…) . (Ⅰ)求 q 的取值范围; (Ⅱ)设 ,记{bn}的前 n 项和为 Tn,试比较 Sn 与 Tn 的大小.

20. (12 分)9 粒种子分种在 3 个坑内,每坑 3 粒,每粒种子发芽的概率为 0.5,若一个坑内至少有 1 粒种子发芽, 则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次,每补种 1 个坑 需 10 元,用 ξ 表示补种费用,写出 ξ 的分布列并求 ξ 的数学期望. (精确到 0.01) 21. (14 分)已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两 点, 与 =(3,﹣1)共线.

(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设 M 为椭圆上任意一点,且 ,证明 λ +μ 为定值.
2 2

22. (12 分)为了了解某校 2000 名学生参加环保知识竞赛的成绩,从中抽取了部分学生的竞赛成绩(均为整数) , 整理后绘制成如下的频数分布直方图(如图) ,请结合图形解答下列问题. (1)指出这个问题中的总体; (2)求竞赛成绩在 79.5~89.5 这一小组的频率; (3)如果竞赛成绩在 90 分以上(含 90 分)的同学可获得奖励,请估计全校约有多少人获得奖励.

2005 年全国 1 卷高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分) 考点: 交、并、补集的混合运算. 分析: 根据公式 CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB) ,CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB) ,容易判断. 解答: 解:∵S1∪S2∪S3=I,
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∴CIS1∩CIS2∩CIS3)=CI(S1∪S2∪S3)=CII=?. 故答案选 C. 点评: 本题主要考查了集合的交,并,补运算,公式 CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB) ,CU(A∪B)=(CUA)∩ (CUB)是一个重要公式,应熟记. 2. (5 分) 考点: 球的体积和表面积;球面距离及相关计算. 专题: 计算题. 分析: 求出截面圆的半径,利用勾股定理求球的半径,然后求出球的表面积. 2 解答: 解:球的截面圆的半径为:π=πr ,r=1 球的半径为:R=
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所以球的表面积:4πR =4π×

2

=8π

故选 B. 点评: 本题考查球的体积和表面积,考查计算能力,逻辑思维能力,是基础题. 3. (5 分) 考点: 直线与圆的位置关系;直线的斜率. 分析: 圆心到直线的距离小于半径即可求出 k 的范围. 解答: 解:直线 l 为 kx﹣y+2k=0,又直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点
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故选 C. 点评: 本题考查直线的斜率,直线与圆的位置关系,是基础题. 4. (5 分) 考点: 组合几何体的面积、体积问题. 专题: 计算题. 分析: 该几何体是一个三棱柱截取两个四棱锥,体积相减即为该多面体的体积. 解答: 解:一个完整的三棱柱的图象为:棱柱的高为 2,底面三角形的底为 1,高为:
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其体积为: 割去的四棱锥体积为: 所以,几何体的体积为: 故选 A.

, , ,

点评: 本题考查学生的空间想象能力,几何体的添补,是基础题. 5. (5 分) 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据抛物线和双曲线方程求出各自的准线方程, 然后让二者相等即可求得 a, 进而根据 c=
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求得 c,

双曲线的离心率可得. 解答: 解:双曲线
2

的准线为

抛物线 y =﹣6x 的准线为
2

因为两准线重合,故

= ,a =3,

∴c=

=2 =

∴该双曲线的离心率为

故选 D 点评: 本题主要考查了双曲线和抛物线的简单性质.考查了对抛物线和双曲线的综合掌握. 6. (5 分) 考点: 三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 利用二倍角公式化简整理后,分子分母同时除以 cosx,转化成关于 tanx 的函数解析式,进而利用 x 的范围 确定 tanx>0,最后利用均值不等式求得函数的最小值. 解答: 解: = .
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∵0<x< ∴tanx>0. ∴ 当



. 时,f(x)min=4.

故选 C. 点评: 本题主要考查了利用二倍角公式化简求值和三角函数求最值.考查了学生知识的迁移能力,综合运用基础 知识的能力. 7. (5 分) 考点: 函数的图象. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 根据题中条件可先排除前两个图形,然后根据后两个图象都经过原点可求出 a 的两个值,再根据抛物线的 开口方向就可确定 a 的值
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解答: 解:∵b>0 ∴抛物线对称轴不能为 y 轴, ∴可排除掉前两个图象. ∵剩下两个图象都经过原点, ∴a ﹣1=0, ∴a=±1. ∵当 a=1 时,抛物线开口向上,对称轴在 y 轴左方, ∴第四个图象也不对, ∴a=﹣1, 故选 B. 点评: 本题考查了抛物线的图形和性质,做题时注意题中条件的利用. 8. (5 分) 考点: 对数函数图象与性质的综合应用;复合函数的单调性. 专题: 计算题. 2x x 2x 分析: 结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知:当 0<a<1,loga(a ﹣2a ﹣2)<0 时,有 a
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2

﹣2a ﹣2>1,解可得答案. 解答: 解:设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a2x﹣2ax﹣2) , 若 f(x)<0 则 loga(a ﹣2a ﹣2)<0,∴a ﹣2a ﹣2>1 x x x ∴(a ﹣3) (a +1)>0∴a ﹣3>0,∴x<loga3, 故选 C. 点评: 解题中要注意 0<a<1 时复合函数的单调性,以避免出现不必要的错误. 9. (5 分) 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域;对数的运算性质. 专题: 计算题;作图题. 分析: 求平面区域 B={(x+y,x﹣y)|(x,y)∈A}的面积为可先找出 B 中点的横纵坐标满足的关系式,故可令 x+y=s,x﹣y=t,平面区域 A={(x,y)|x+y≤1,且 x≥0,y≥0}得出 s 和 t 的关系,画出区域求面积即可. 解答: 解:令 x+y=s,x﹣y=t, 由题意可得平面区域 B={(s,t)|s≤1,s+t≥0,s﹣t≥0}, 平面区域如图所示 S△ OAB=2×1÷2=1 故选 B.
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x

2x

x

2x

x

点评: 本题考查对集合的认识、二元一次不等式组表示的平面区域等知识,以及转化思想、作图能力. 10. (5 分) 考点: 三角函数的化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得 cos = 进而求得 A+B=90°进而求
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得①tanA?cotB=tanA?tanA 等式不一定成立,排除;②利用两角和公式化简,利用正弦函数的性质求得其 范围符合,②正确; 2 2 2 ③sin A+cos B=2sin A 不一定等于 1,排除③;④利用同角三角函数的基本关系可知 2 2 2 2 cos A+cos B=cos A+sin A=1,进而根据 C=90°可知 sinC=1,进而可知二者相等.④正确. 解答: 解:∵tan =sinC



=2sin

cos

整理求得 cos(A+B)=0 ∴A+B=90°. ∴tanA?cotB=tanA?tanA 不一定等于 1,①不正确. ∴sinA+sinB=sinA+cosA= sin(A+45°) 45°<A+45°<135°, <sin(A+45°)≤1, ∴1<sinA+sinB≤ 所以②正确
2 2 2


2

cos A+cos B=cos A+sin A=1, 2 2 sin C=sin 90°=1, 2 2 2 所以 cos A+cos B=sin C. 所以④正确. sin A+cos B=sin A+sin A=2sin A=1 不一定成立,故③不正确. 综上知②④正确 故选 B. 点评: 本题主要考查了三角函数的化简求值.考查了学生综合分析问题和推理的能力,基本的运算能力. 11. (5 分) 考点: 棱柱的结构特征;排列、组合的实际应用;异面直线的判定. 专题: 计算题;综合题;压轴题. 分析: 直接解答,看下底面上的一条边的异面直线的条数,类推到上底面的边;再求侧面上的异面直线的对数; 即可. 解答: 解:三棱柱的底面三角形的一条边与侧面之间的线段有 3 条异面直线,这样 3 条底边一共有 9 对,上下底 面共有 18 对. 上下两个底边三角形就有 6 对;侧面之间的一条侧棱有 6 对,侧面面对角线之间有 6 对.加在一起就是 36 对. (其中棱对应的两条是体对角线和对面的面与其不平行的另一条对角线) . 故选 D. 点评: 本题考查棱柱的结构特征,异面直线的判断,排列组合的实际应用,是难题. 12. (5 分) 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 压轴题. 分析: 两个复数相除,分子、分母同时乘以分母的共轭复数,复数的乘法按多项式乘以多项式的方法进行. 解答: 解:复数 = = = =i,
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2

2

2

2

2

故选 B. 点评: 本题考查 2 个复数相除、相乘的方法,注意虚数单位的幂运算性质.

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 13. (4 分) 考点: 指数函数的单调性与特殊点;对数函数、指数函数与幂函数的增长差异. 专题: 计算题. 分析: 利用题中提示 lg2≈0.3010,把不等式同时取以 10 为底的对数,再利用对数的运算性质,转化为关于 m 的不 等式求解即可. ﹣ 解答: 解:∵10m 1<2512<10m,
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取以 10 为底的对数得 lg10 <lg2 <lg10 , 即 m﹣1<512×lg2<m 又∵lg2≈0.3010 ∴m﹣1<154.112<m, 因为 m 是正整数,所以 m=155 故答案为 155. 点评: 本题考查了利用指数形式和对数形式的互化.熟练掌握对数的性质.对数的运算性质是解决本题的关键. 14. (4 分) 考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. ﹣ 分析: 利用二项式定理的通项公式 Tr+1=Cnran rbr 求出通项,进行指数幂运算后令 x 的指数幂为 0 解出 r=6,由组 合数运算即可求出答案. 解答:
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m﹣1

512

m

解:由通项公式得 Tr+1=C9 (2x) 令 9﹣

r

9﹣r

=(﹣1) 2

r 9﹣r

C9 x

r 9﹣r

=(﹣1) 2

r 9﹣r

C9

r



=0 得 r=6,所以常数项为
6 3 6 3

(﹣1) 2 C9 =8C9 =8×

=672

故答案为 672 点评: 本题主要考查二项式定理的通项公式的应用,并兼顾了对根式与指数幂运算性质的考查,属基础题型. 15. (4 分) 考点: 向量的加法及其几何意义;三角形五心. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 根据题意作出图形,由外心和垂心的性质证明四边形 AHCD 是平行四边形,由向量加法的三角形法则得
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=

+

,由向量相等和向量的减法运算进行转化,直到用





表示出来为止.

解答: 解:如图:作直径 BD,连接 DA、DC, 由图得, =﹣ ,

∵H 为△ ABC 的垂心,∴CH⊥AB,AH⊥BC, ∵BD 为直径,∴DA⊥AB,DC⊥BC ∴CH∥AD,AH∥CD,故四边形 AHCD 是平行四边形,∴ 又∵ ∴ = = + ﹣ = = + + = , + + ,对比系数得到 m=1. =

故答案为:1.

点评: 本题考查了向量的线性运算的应用,一般的做法是根据图形找一个封闭的图形,利用向量的加法表示出来, 再根据题意进行转化到用已知向量来表示,考查了转化思想. 16. (4 分) 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 压轴题. 分析: 由平行平面的性质可得①是正确的,当 E、F 为棱中点时,四边形为菱形,但不可能为正方形,故③④正 确,②错误. 解答: 解: ①:∵平面 AB′∥平面 DC′,平面 BFD′E∩平面 AB′=EB,平面 BFD′E∩平面 DC′=D′F,∴EB∥D′F,同理 可证:D′E∥FB,故四边形 BFD′E 一定是平行四边形,即①正确; ②:当 E、F 为棱中点时,四边形为菱形,但不可能为正方形,故②错误; ③:四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影为四边形 ABCD,所以一定是正方形,即③正确; ④:当 E、F 为棱中点时,EF⊥平面 BB′D,又∵EF?平面 BFD′E,∴此时:平面 BFD′E⊥平面 BB′D,即 ④正确. 故答案为:①③④ 点评: 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系,空间中直线与平面之间的位置关系,平面与平面之间 的位置关系,考查空间想象能力和思维能力. 三、解答题(共 6 小题,满分 74 分) 17. (12 分) 考点: 正弦函数的单调性;正弦函数的对称性;直线的斜率. 专题: 计算题;综合题. 分析: (Ⅰ)y=f(x)图象的一条对称轴是直线 .就是 时函数取得最值,结合 ? 的范围,求出 ? 的值;
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(Ⅱ)利用正弦函数的单调增区间,直接求函数 y=f(x)的单调增区间; (Ⅲ)利用导数求出导函数的值域,从而证明直线 5x﹣2y+c=0 与函数 y=f(x)的图象不相切. 解答: 解: (Ⅰ)∵x= ∴ ∵﹣π<?<0,?=﹣ (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ?=﹣ 由题意得 2kπ﹣ 所以函数 (Ⅲ)证明:∵|y'|= . ,因此 ,k∈Z. 的单调增区间为 = . , . 是函数 y=f(x)的图象的对称轴, ,∴ ,k∈Z.

所以曲线 y=f(x)的切线斜率取值范围为[﹣2,2],

而直线 5x﹣2y+c=0 的斜率为 >2, 所以直线 5x﹣2y+c=0 与函数 的图象不相切.

点评: 本小题主要考查三角函数性质及图象的基本知识,考查推理和运算能力.是综合题,常考题型. 18. (12 分) 考点: 平面与平面垂直的判定;异面直线及其所成的角;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 证明题;综合题;转化思想. 分析: 法一: (Ⅰ)证明面 PAD⊥面 PCD,只需证明面 PCD 内的直线 CD,垂直平面 PAD 内的两条相交直线 AD、 PD 即可; (Ⅱ)过点 B 作 BE∥CA,且 BE=CA,∠PBE 是 AC 与 PB 所成的角,解直角三角形 PEB 求 AC 与 PB 所 成的角; (Ⅲ)作 AN⊥CM,垂足为 N,连接 BN,说明∠ANB 为所求二面角的平面角,在三角形 AMC 中,用余 弦定理求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小. 法二:以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,建立空间直角坐标系,
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(Ⅰ)求出 面 PCD; (Ⅱ)

,计算

,推出 AP⊥DC. ,然后证明 CD 垂直平面 PAD,即可证明面 PAD⊥

,计算

.即可求得结果.

(Ⅲ) 在 MC 上取一点 N (x, y, z) , 则存在使 计算 即可取得结果.

, 说明∠ANB 为所求二面角的平面角. 求出



解答: 法一: (Ⅰ)证明:∵PA⊥面 ABCD,CD⊥AD, ∴由三垂线定理得:CD⊥PD. 因而,CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD,PD 都垂直, ∴CD⊥面 PAD. 又 CD?面 PCD, ∴面 PAD⊥面 PCD. (Ⅱ)解:过点 B 作 BE∥CA,且 BE=CA, 则∠PBE 是 AC 与 PB 所成的角. 连接 AE,可知 AC=CB=BE=AE= ,又 AB=2, 所以四边形 ACBE 为正方形.由 PA⊥面 ABCD 得∠PEB=90° 2 2 在 Rt△ PEB 中 BE=a =3b ,PB= , ∴ . .

∴AC 与 PB 所成的角为

(Ⅲ)解:作 AN⊥CM,垂足为 N,连接 BN. 在 Rt△ PAB 中,AM=MB,又 AC=CB, ∴△AMC≌△BMC, ∴BN⊥CM,故∠ANB 为所求二面角的平面角 ∵CB⊥AC,由三垂线定理,得 CB⊥PC,

在 Rt△ PCB 中,CM=MB,所以 CM=AM. 在等腰三角形 AMC 中,AN?MC= ,





∴AB=2, ∴ 故所求的二面角为 .

法二:因为 PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度, 如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为 A(0,0,0)B(0,2,0) ,C(1,1,0) , D(1,0,0) ,P(0,0,1) ,M (Ⅰ)证明:因为 故 ,所以 AP⊥DC. ,

又由题设知 AD⊥DC,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC⊥面 PAD. 又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD⊥面 PCD (Ⅱ)解:因 故 = , ,

所以

由此得 AC 与 PB 所成的角为



(Ⅲ)解:在 MC 上取一点 N(x,y,z) , 则存在使 , ,

∴x=1﹣λ,y=1,z= λ. 要使 AN⊥MC,只需 解得 .可知当 即 时,N 点坐标为 , 有 由 得 AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB 为所求二面角的平面角. , ,能使 .









故所求的二面角为 arccos



点评: 本题考查平面与平面垂直,二面角的求法,异面直线所成的角,考查空间想象能力,逻辑思维能力,转化 思想,是中档题. 19. (12 分) 考点: 等比数列的性质;数列的求和. 专题: 综合题. 分析:
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(Ⅰ) 设等比数列通式 an=a1q
n

(n﹣1)

, 根据 S1>0 可知 a1 大于零, 当 q 不等于 1 时, 根据 sn=
n

>0, 进而可推知 1﹣q >0 且 1﹣q>0, 或 1﹣q <0 且 1﹣q<0, 进而求得 q 的范围, 当 q=1 时仍满足条件, 进而得到答案. (Ⅱ)把 an 的通项公式代入,可得 an 和 bn 的关系,进而可知 Tn 和 Sn 的关系,再根据(1)中 q 的范围来 判断 Sn 与 Tn 的大小. (n﹣1) 解答: 解: (Ⅰ)设等比数列通式 an=a1q 根据 Sn>0,显然 a1>0, 当 q 不等于 1 时,前 n 项和 sn=

所以

>0 所以﹣1<q<0 或 0<q<1 或 q>1

当 q=1 时 仍满足条件 综上 q>0 或﹣1<q<0 (Ⅱ)∵ ∴bn= =anq ﹣ anq
2

= an(2q ﹣3q) ∴Tn= (2q ﹣3q)Sn∴Tn﹣Sn= Sn(2q ﹣3q﹣2)= Sn(q﹣2) (2q+1) 又因为 Sn>0,且﹣1<q<0 或 q>0, 所以,当﹣1<q<﹣ 或 q>2 时,Tn﹣Sn>0,即 Tn>Sn; 当﹣ <q<2 且 q≠0 时,Tn﹣Sn<0,即 Tn<Sn; 当 q=﹣ ,或 q=2 时,Tn﹣Sn=0,即 Tn=Sn. 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.在解决数列比较大小的问题上,常利用到不等式的性质来解决. 20. (12 分) 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 分析: 首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率,由题意知一共种了 3 个坑,每个坑至 多补种一次,每补种 1 个坑需 10 元,得到变量 ξ 的可能取值是 0,10,20,30,根据独立重复试验得到概 率的分布列. 解答: 解:首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率 p=1﹣C330.53=0.875 由题意知一共种了 3 个坑,每个坑至多补种一次,每补种 1 个坑需 10 元 得到变量 ξ 的可能取值是 0,10,20,30, ξ=0,表示没有坑需要补种, 根据独立重复试验得到概率
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2

2

2

P(ξ=0)=C3 0.875 =0.670 2 2 P(ξ=10)=C3 0.875 ×0.125=0.287 1 2 P(ξ=20)=C3 ×0.875×0.125 =0.041 3 P(ξ=30)=0.125 =0.002 ∴变量的分布列是

3

3

∴ξ 的数学期望为:Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75 点评: 考查运用概率知识解决实际问题的能力,对立事件是指同一次试验中,不会同时发生的事件,遇到求用至 少来表述的事件的概率时,往往先求它的对立事件的概率. 21. (14 分) 考点: 平行向量与共线向量;椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 压轴题. 分析: (Ⅰ)直线与椭圆方程联立用未达定理的 A、B 两点坐标的关系,据向量共线的条件得椭圆中 a,b,c 的关 系,从而求得椭圆的离心率 2 2 (Ⅱ)用向量运算将 λμ 用坐标表示,再用坐标的关系求出 λ +μ 的值. 解答: 解: (1)设椭圆方程为
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则直线 AB 的方程为 y=x﹣c,代入 化简得(a +b )x ﹣2a cx+a c ﹣a b =0. 令 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,
2 2 2 2 2 2 2 2







∵ ∴3(y1+y2)+(x1+x2)=0,又 y1=x1﹣c,y2=x2﹣c, ∴3(x1+x2﹣2c)+(x1+x2)=0, ∴ .

与 共线,

即 所以 a =3b . ∴ 故离心率
2 2



, .
2 2

(II)证明:由(1)知 a =3b , 所以椭圆 设 M(x,y) , 由已知得(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2) , ∴ ∵M(x,y)在椭圆上, ∴(λx1+μx2) +3(λy1+μy2) =3b . 2 2 2 2 2 2 2 即 λ (x1 +3y1 )+μ (x2 +3y2 )+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b .① 由(1)知 .
2 2 2

可化为 x +3y =3b .

2

2

2




2

∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1﹣c) (x2﹣c)=4x1x2﹣3(x1+x2)c+3c =
2 2 2 2 2 2

=0.

又 x1 +3y1 =3b ,x2 +3y2 =3b , 2 2 代入①得 λ +μ =1. 2 2 故 λ +μ 为定值,定值为 1. 点评: 考查向量共线为圆锥曲线提供已知条件;处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法是直线与圆锥曲线方程 联立用韦达定理. 是高考常见题型且是解答题. 22. (12 分) 考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)根据总体的概念:所要考查的对象的全体即总体进行回答; (2)根据频率=频数÷总数进行计算; (3)首先计算样本中的频率,再进一步估计总体. 解答: 解: (1)总体是某校 2000 名学生参加环保知识竞赛的成绩.
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(2)



答:竞赛成绩在 79.5~89.5 这一小组的频率为 0.25. (3) ,

答:估计全校约有 300 人获得奖励. 点评: 考查了总体的概念,掌握频率=频数÷总数的计算方法,渗透用样本估计总体的思想.



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