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1.2 充分条件和必要条件


1.2

充分条件和必要条件(1)

【教学目标】 1.从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义; 2.结合具体命题,初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法; 3.培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识. 【教学重点 】构建充分条件、必要条件的数学意义; 【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断. 【教学过程】 一、复习回顾 1.命题:可以判断真假的语句,可写成:若 p 则 q. 2.四种命题及相互关系: 3.请判断下列命题的真假: (1)若 x ? y ,则 x ? y ; (2)若 x ? y ,则 x ? y ;
2 2 2 2

(3)若 x ? 1 ,则 x 2 ? 1 ;

(4)若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

[来源:学.科.网]

二、讲授新课 1.推断符号“ ? ”的含义: 一般地,如果“若 p ,则 q ”为真, 即如果 p 成立,那么 q 一定成立,记作:“ p ? q ”; 如果“若 p ,则 q ”为假, 即如果 p 成立,那么 q 不一定成立,记作:“ p ? ? q ”. 用推断符号“ ? 和 ? ? ”写出下列命题:⑴若 a ? b ,则 ac ?bc ;⑵若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ; 2.充分条件与必要条件 一般地,如果 p ? q ,那么称 p 是 q 的充分条件;同时称 q 是 p 的必要条件. 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢? 由上述定义知“ p ? q ”表示有 p 必有 q ,所以 p 是 q 的充分条件,这点容易理解.但 同时说 q 是 p 的必要条件是为什么呢?q 是 p 的必要条件说明没有 q 就没有 p , q 是 p 成立 的必不可少的条件,但有 q 未必一定有 p . 充分性:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.它 符合上述的“若 p 则 q”为真(即 p ? q )的形式.“有之必成立,无之未必不成 立”. 必要性:必要就是必须,必不可少.它满足上述的“ 若非 q 则非 p”为真(即 ? q ? ? p ) 的形式.“有之未必成立,无之必不成立”. 命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类: (1)充分必要条件(充要条件),即 p ? q 且 q ? p ; (2)充分不必要条件,即 p ? q 且 q ? ? p; (3)必要不充分条件,即 p ? ? q 且q ? p ; (4)既不充分又不必要条件,即 p ? ? q 且q ? ? p. 3.从不同角度理解充分条件、必要条件的意义 (1)借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设 A, B 为两个集合,集合 A ? B 是指

x ? A ? x ? B 。这就是说,“ x ? A ”是“ x ? B ”的充分条件,“ x ? B ”是“ x ? A ”
的必要条件。对于真命题“若 p 则 q”,即 p ? q ,若把 p 看做集合 A ,把 q 看做集合 B ,

“ p ? q ”相当于“ A ? B ”。 (2)借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关 A 闭合”为条件 A , “灯泡 B 亮” 为结论 B ,可用图 1、图 2 来表示 A 是 B 的充分条件, A 是 B 的必要条件。
A C B

A

C

B 3

图1

A

图2
C

A

B 3 图3

B

图4

(3)回答下列问题中的条件与结论之间的关系: ⑴若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ; ⑵若 x ? 0 ,则 x 2 ? 0 ; ⑶若两三角形全等,则两三角形的面积相等. 三、例题 例 1:指出下列命题中,p 是 q 的什么条件. ⑴p: x ? 1 ? 0 ,q: ? x ? 1?? x ? 2? ? 0 ; ⑵p:两直线平行,q:内错角相等; ⑶p: a ? b ,q: a 2 ? b 2 ; ⑷p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形. 四、课堂练习 课本 P8 练习 1、2、3 五、课堂小结 1.充分条件的意义; 2.必要条件的意义. 六、课后作业:

1.2

充分条件和必要条件(2)

[教学目标]: 1.进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念; 2.掌握判断命题的条件的充要性的方法; [教学重点、难点]: 理解充要条件的意义,掌握命题条件的充要性判断. [教学过程]: 一、复习回顾 一般地,如果已知 p ? q ,那么我们就说 p 是 q 成立的充分条件,q 是 p 的必要条件
[来源:学科网 ZXXK] [来源:学。科。网]

⑴“ a ? b ? c ”是“ ? a ? b ?? b ? c ?? c ? a ? ? 0 ”的

充分不必要

条件.

⑵若 a、b 都是实数,从① ab ? 0 ;② a ? b ? 0 ;③ ab ? 0 ;④ a ? b ? 0 ;⑤ a 2 ? b2 ? 0 ;⑥

a 2 ? b 2 ? 0 中选出使 a、b 都不为 0 的充分条件是

①②⑤



二、例题分析 条件充要性的判定结果有四种,判定的方法很多,但针对各种具体情况,应采取不同的 策略,灵活判断.下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题. 1.要注意转换命题判定,培养思维的灵活性 例 1:已知 p: x ? y ? ?2 ;q:x、y 不都是 ?1 ,p 是 q 的什么条件? 分析:要考虑 p 是 q 的什么条件,就是判断“若 p 则 q”及“若 q 则 p”的真假性 从正面很难判断是,我们从它们的逆否命题来判断其真假性 “若 p 则 q”的逆否命题是“若 x、y 都是 ?1 ,则 x ? y ? ?2 ”真的 “若 q 则 p”的逆否命题是“若 x ? y ? ?2 ,则 x、y 都是 ?1 ”假的 故 p 是 q 的充分不必要条件 注:当一个命题很难判断其真假性时,我们可以从其逆否命题来着手. 2 练习:已知 p: x ? 2 或 x ? ;q: x ? 2 或 x ? ?1 ,则 ?p 是 ?q 的什么条件? 3

2 ?q : ?1 ? x ? 2 ?x?2 3 显然 ?p 是 ?q 的的充分不必要条件 方法二:要考虑 ?p 是 ?q 的什么条件,就是判断“若 ?p 则 ?q ”及“若 ?q 则 ?p ”的
方法一: ?p :
[来源:Zxxk.Com]

真假性 “若 ?p 则 ?q ”等价于“若 q 则 p”真的 “若 ?q 则 ?p ”等价于“若 p 则 q”假的 故 ?p 是 ?q 的的充分不必要条件 2.要注意 充要条件的传递性,培养思维的敏捷性 例 2:若 M 是 N 的充分不必要条件,N 是 P 的充要条件,Q 是 P 的必要不充分条件,则 M 是 Q 的什么条件? 分析:命题的充分必要性具有传递性 M ? N ? P ? Q 显然 M 是 Q 的充分不必要条件 3.充要性的求解是一种等价的转化 例 3:求关于 x 的一元二次不等式 ax 2 ? 1 ? ax 于一切实数 x 都成立的充要条件 分析:求一个问 题的充要条件,就是把这个问题进行等价转化
?a ? 0 ? 由题可知等价于 a ? 0 或 ?a ? 0 ? a ? 0 或 0 ? a ? 4 ? 0 ? a ? 4 ?? ? 0 ?

4.充要性的证明,关键是理清题意,特别要认清条件与结论分别是什么 例 4:证明:对于 x、y ? R, xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的必要不充分条件. 分析:要证明必要不充分条件,就是要证明两个,一个是必要条件,另一个是不充分 条件 必要性:对于 x、y ? R,如果 x2 ? y 2 ? 0 则x?0, y ?0 即 xy ? 0

故 xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的必要条件 不充分性:对于 x 、y ? R,如果 xy ? 0 ,如 x ? 0 , y ? 1 ,此时 x2 ? y 2 ? 0

故 xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的不充分条件 综上所述:对于 x、y ? R, xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的必要不充分条件.

[来源:Zxxk.Com]

例 5:p: ?2 ? x ? 10 ;q:1 ? m ? x ? 1 ? m ? m ? 0? .若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求 实数 m 的取值范围. 解:由于 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的充分不必要条件
?1 ? m ? ?2 于是有 ? ?m ? 9 ?10 ? 1 ? m

三、练习: 1.若命题甲是命题乙的充分不必要条件 ,命题丙是命题乙的必要非充分条件,命题丁是命 题丙的充要条件,那么:命题丁是命题甲的什么条件.(必要不充分的条件) 2.对于实数 x、y,判断“x+y≠8”是“x≠2 或 y≠6”的什么条件.(充分不必要条件) 3.已知 ab ? 0 ,求证: a ? b ? 1的充要条件是: a3 ? b3 ? ab ? a 2 ? b2 ? 0 . 简单的逻辑联结词(二)复合命题 教学目标:加深对“或”“且”“非”的含义的理解,能利用真值表判断含有复合命题的真 假; 教学重点:判断复合命题真假的方法; 教学难点:对“p 或 q”复合命题真假判断的方法 课 型:新授课 教学手段:多媒体 一、创设情境 1.什么叫做命题?(可以判断真假的语句叫命题 正确的叫真命题,错误的叫假命题 ) 2.逻辑联结词是什么? (“或”的符号是“∨”、“且”的符号是“∧”、“非”的符号 是“┑”,这些 词叫做逻辑联结词) 3.什么叫做简单命题和复合命题?(不含有逻辑联结词的命题是简单命题由简单 命题和逻 辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题 ) 4.复合命题的构成形式是什么? p 或 q(记作“p∨q” ); p 且 q(记作“p∨q” );非 p(记作“┑q” ) 二、活动尝试 问题 1: 判断下列复合命题的真假 (1)8≥7 (2)2 是偶数且 2 是质数; (3) ? 不是整数; 解:(1)真;(2)真;(3)真; 命题的真假结果与命题的结构中的 p 和 q 的真假有什么联系吗?这中间是否存在规律? 三、师生探究 1.“非 p”形式的复合命题真假: 例 1:写出下列命题的非,并判断真假: 2 (1)p:方程 x +1=0 有实数根 2 (2)p:存在一个实数 x,使得 x -9=0. 2 (3)p:对任意实数 x,均有 x -2x+1≥0;
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

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王新敞
奎屯

新疆

(4)p:等腰三角形两底角 相等

显然,当 p 为真时,非 p 为假; 当 p 为假时,非 p 为真 . 2.“p 且 q”形式的复合命题真假: 例 2:判断下列命题的真假:(1)正方形 ABCD 是矩形,且是菱形; (2)5 是 10 的约数且是 15 的约数 (3)5 是 10 的约数且是 8 的约数 (4)x2-5x=0 的根是自然数 所以得:当 p、q 为真时,p 且 q 为真;当 p、q 中至少有一个为假时,p 且 q 为假。 3.“p 或 q”形式的复合命题真假: 例 3:判断下列命题的真假:(1)5 是 10 的约数或是 15 的约数; (2)5 是 12 的 约数或是 8 的约数; (3)5 是 12 的约数或是 15 的约数; (4)方程 x2-3x-4=0 的判别式大于或等于零 当 p、q 中至少有一个为真时,p 或 q 为真;当 p、q 都为假时,p 或 q 为假。 四、数学理论
[来源:Zxxk.Com]

1.“非 p”形式的复合命题真假: 当 p 为真时,非 p 为假; 当 p 为假时,非 p 为真.

(真假相反)

p 真 假

非p 假 真

2.“p 且 q”形式的复合命题真假: 当 p、q 为真时,p 且 q 为真; 当 p、q 中至少有一个为假时,p 且 q 为假。

(一假必假)
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假

p且q 真 假 假 假

3.“p 或 q”形式的复合命题真假: 当 p、q 中至少有一个为真时,p 或 q 为真;当 p、q 都为假时,p 或 q 为假。

(一真必真)

p 真 真 假 假

q 真 假 真 假

P或q 真 真 真 假

[来源:Zxxk.Com]

注:1°像上面表示命题真假的 表叫真值表; 2°由真值表得: “非 p”形式复合命题的真假与 p 的真假相反; “p 且 q”形式复合命题当 p 与 q 同为真时为真,其他情况为假; “p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情况为真; 3°真值表是根据简单命题的真假,判断由这些简单命题构成的 复合命题的真假, 而不涉及简单命题的具体内容。 如: p 表示 “圆周率π 是无理数” ,

q 表示“△ABC 是直角三角形”,尽管 p 与 q 的内容毫无关系,但并不妨碍我们 利用真值表判断其命题 p 或 q 的真假。 4°介绍“或门电路”“与门电路”。

或门电路(或) 与门电路(且) 五、巩固运用 例 4:判断下列命题的真假: (1)4≥3 (2)4≥4 (3)4≥5 (4)对一切实数 x, x 2 ? x ? 1 ? 0 分析:(4)为例: 第一步:把命题写成“对一切实数 x, x 2 ? x ? 1 ? 0 或 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” 是 p 或 q 形式 第二步: 其中 p 是 “对一切实数 x, x 2 ? x ? 1 ? 0 ” 为真命题; q是 “对一切实数 x, x 2 ? x ? 1 ? 0 ” 是假命题。 第三步:因为 p 真 q 假, 由真值表得:“对一切实数 x, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”是真命题。 例 5:分别指出由下列各组命题构成的 p 或 q、p 且 q、非 p 形式的复合命题的真假: (1)p:2+2=5; q:3>2 (2)p:9 是质数; q:8 是 12 的约数; (3)p:1∈{1,2}; q:{1} ? {1,2} (4)p: ? ? {0}; q: ? ? {0} 解:①p 或 q:2+2=5 或 3>2 ;p 且 q:2+2=5 且 3>2 ;非 p:2+2 ? 5. ∵p 假 q 真,∴“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,“非 p”为真. ②p 或 q:9 是质数或 8 是 12 的约数;p 且 q:9 是质数且 8 是 12 的约数;非 p:9 不是质数. ∵p 假 q 假,∴“p 或 q”为假,“p 且 q”为假,“非 p”为真. ③p 或 q:1∈{1,2}或{1} ? {1,2};p 且 q:1∈{1,2}且{1} ? {1,2};非 p:1 ? {1,2}. ∵p 真 q 真,∴“p 或 q”为真,“p 且 q”为真,“非 p”为假. ④p 或 q:φ ? {0}或φ ={0};p 且 q:φ ? {0}且φ ={0} ;非 p:φ ? {0}. ∵p 真 q 假,∴ “p 或 q”为真,“p 且 q ”为假,“非 p”为假. 七、课后练习 1.命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是( ) A.简单命题 B.非 p 形式的命题 C.p 或 q 形式的命题 D.p 且 q 的命题 2.如果命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,则下列错误的是( ) A.“p 且 q”是假命题 B.“p 或 q”是真命题 C.“非 p”是真命题 D.“非 q”是真命题 3.(1)如 果命题“p 或 q”和“非 p”都是真命题,则命题 q 的真假是_________。 (2)如果命题“p 且 q”和“非 p”都是假命题,则命题 q 的真假是_________。 4.分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题,并指出复合命题的真假.
[来源:学_科_网 Z_X_X_K] [来源:Z。xx。k.Com]

(1)5 和 7 是 30 的约数. (2)菱形的对角线互相垂直平分. (3)8x-5<2 无自然数解. 5.判断下列命题真假: (1)10≤8; (3)2+2=5 或 3>2.

(2)π 为无理数且为实数; (4)若 A∩B= ? ,则 A= ? 或 B= ? .
[来源:学科网 ZXXK]

6.已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实根,q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围。 八、参考答案: 1.D 2.D 3.(1)真;(2)假 4.(1)是“p 或 q”的形式.其中 p:5 是 30 的约数;q:7 是 30 的约数,为真命题. (2) “p 且 q” .其中 p:菱形的对角线互相垂直;q:菱形的对角线互相平分;为真命题. (3)是“┐p”的形式.其中 p:8x-5<2 有自然数解.∵p:8x-5<2 有自然数解.如 x=0, 则为真命题.故“┐p”为假命题. 5.(1)假命题;(2)真命题;(3)真命题.(4)真命题. 6.由 p 命题可 解得 m>2,由 q 命题可解得 1<m<3; 由命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以命题 p 或 q 中有一个是真,另一个是假 (1)若命题 p 真而 q 为假则有 ?

?m ? 2 ?m?3 ?m ? 1, 或m ? 3 ?m ? 2 ?1? m ? 2 ?1 ? m ? 3
所以 m≥3 或 1<m≤2

(2)若命题 p 真而 q 为假,则有 ?


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