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第四讲函数解析式的七种求法


函数解析式的七种求法

一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
例 1 设 f (x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f (x)

二、 配凑法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式,求 f ( x) 的解析式, f [g (x)] 的表达式容易配成 g ( x) 的运算形式时,
常用配凑法。但要注意所求函数 f ( x ) 的定义域不是原复合函数的定义域,而是 g ( x) 的值域。 例 2 已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ( x ? 0) ,求 f ( x) 的解析式 x x

三、换元法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式时,还可以用换元法求 f ( x ) 的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的 定义域的变化。 例 3 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1)

四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。 例 4 已知:函数 y ? x 2 ? x与y ? g ( x) 的图象关于点 (?2,3) 对称,求 g (x) 的解析式

五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函 数解析式。 例 5 设 f (x) 为偶函数, g (x) 为奇函数,又 f ( x) ? g ( x) ?

1 , 试求 f ( x)和g ( x) 的解析式 x ?1

六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具 体化、简单化,从而求得解析式。 例 6 已知: f (0) ? 1 ,对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立,求 f (x)

七、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求 得函数解析式。 例 7 设 f (x) 是定义在 N ? 上的函数,满足 f (1) ? 1 ,对任意的自然数 a, b 都有 f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab , 求 f (x)

1. 2. 3.

f ( x) ? 2 x ? 1或f ( x) ? ?2 x ? 3

f ( x) ? x 2 ? 2( x ? 2) f ( x ? 1) ? x 2 ? 2x( x ? 0)

4. g ( x) ? ? x 2 ? 7 x ? 6 5. 6. 7.

f ( x) ?

1 x , g ( x) ? 2 x ?1 x ?1
2

f ( x) ? x 2 ? x ? 1
f ( x) ? x2 ? x 2



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