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函数的单调性与最值



[A 组 基础演练· 能力提升] 一、选择题 1.(2014 年威海模拟)下列函数中既是偶函数又在区间(0,1)上单调递增的是( 1 A.y= x C.y=2x B.y=lg|x| D.y=-x2 )

?a-2?x,x≥2 ? ? f?x1?-f?x2? 4.已知函数 f(x)=??1?x 满足对任意的实数 x1≠x2 都有 <0 成立,则实 x1-x

2 - 1 , x <2 ? ??2? 数 a 的取值范围为( A.(-∞,2) C.(-∞,2] ) 13? B.? ?-∞, 8 ? 13 ? D.? ? 8 ,2?

1 解析:y= ,y=2x 不是偶函数,排除 A、C;y=-x2 是偶函数,但在(0,1)上单调递减,y x =lg|x|是偶函数,根据图像,可判断在区间(0,1)上单调递增,故选 B. 答案:B 2.下列函数中,值域是(0,+∞)的是( A.y= x2-2x+1 )

a-2<0 ? ? 13 解析: 由题意知函数 f(x)是 R 上的减函数, 于是有? , 由此解得 a≤ , 1?2 ? 8 ??a-2?×2≤?2? -1 ? 13? 即实数 a 的取值范围为? ?-∞, 8 ?,选 B. 答案:B 5.(2014 年皖南八校模拟)函数 f(x)的定义域为 D, 若对于任意 x1,x2∈D,当 x1<x2 时都有 f(x1)≤f(x2),则称函数 f(x)在 D 上为非减函数,设函数 f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三 x? 1 ?1? ?1? 个条件:①f(0)=0;②f? ?3?=2f(x);③f(1-x)=1-f(x),则 f?3?+f?8?等于( 1 A. 2 3 B. 4 C.1 4 D. 3 )

x+2 B.y= (x∈(0,+∞)) x+1 1 D.y= |x+1|

1 C.y= 2 (x∈N) x +2x+1

解析:A 项值域为 y≥0,B 项值域为 y>1,C 项中 x∈N,故 y 值不连续,只有 D 项 y>0 正确. 答案:D

?1??<f(1)的实数 x 的取值范围是( 3.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? ??x??
A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

)

解析:由 f(1-x)=1-f(x),令 x=1 可得 f(1)=1, 1? 1 1 ?1? 1 ?1? 1 ∴f? ?3?=2f(1)=2.∴f?9?=2f?3?=4. 1? 1 1 令 x= 代入 f(1-x)=1-f(x)可得 f? ?2?=2, 2 1? 1 ?1? 1 ∴f? ?6?=2f?2?=4. 1? ?1? 1 由 f(x)在 [0,1]上是非减函数,且 f? ?9?=f?6?=4, 1 1 1 ∴当 ≤x≤ 时,f(x)= . 9 6 4

?1?? 解析:∵函数 f(x)为 R 上的减函数,且 f? ??x??<
f(1), 1? ∴? ? x?>1,即|x|<1 且|x|≠0. ∴x∈(-1,0)∪(0,1). 答案:C

1? 1 ?1? ?1? 3 ∴f? ?8?=4,∴f?3?+f?8?=4. 答案:B
2 ? ?x +ax+1,x≥1, ? 6.已知函数 f(x)= 2 则“-2≤a≤0”是“函数 f(x)在 R 上单调递增” ?ax +x+1,x<1, ?

解析:利用函数图像确定单调区间.

?2x+a,x≥-2, f(x)=|2x+a|=? a ?-2x-a,x<-2.
作出函数图像,由图像(图略)知: a - ,+∞?, 函数的单调递增区间为? ? 2 ? a ∴- =3,∴a=-6. 2 答案:-6 9.(2014 年湖北八校联考)已知函数 f(x)= (1)若 a>0,则 f(x)的定义域是________; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是________. 3? 3 解析:(1)当 a>0 且 a≠1 时,由 3-ax≥0 得 x≤ ,即此时函数 f(x)的定义域是? ?-∞,a?; a (2)当 a-1>0,即 a>1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需 3-a×1≥0,此时 1<a≤3. 当 a-1<0,即 a<1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,此时 a<0.综上所述,所求 实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3]. 3? 答案:(1)? ?-∞,a? 三、解答题 x 10.已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. 解析:(1)证明:任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)= x1 x2 - x1+2 x2+2 (2)(-∞,0)∪(1,3] 3-ax (a≠1). a-1

a

的(

) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:f(x)在 R 上单调递增的充要条件是 a=0 或

? ?a<0, ?- 1 ≥1, 2a ? ?1 +a×1+1≥a×1 +1+1,
2 2

a - ≤1, 2

1 解得- ≤a<0. 2 由此可知“-2≤a≤0”是“函数 f(x)在 R 上单调递增”的必要而不充分条件,故选 B. 答案:B 二、填空题 7.函数 y= x-x(x≥0)的最大值为________. 1?2 1 解析:y= x-x=-( x)2+ x=-? ? x-2? +4 1 ∴ymax= . 4 1 答案: 4 8.若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a=________.



2?x1-x2? . ?x1+2??x2+2?

∴f(x)在[0,+∞)上单调递减. 12.(能力提升)已知函数 g(x)= x+1,h(x)= 函数 f(x)=g(x)· h(x). (1)求函数 f(x)的表达式,并求其定义域; 1 (2)当 a= 时,求函数 f(x)的值域. 4 x+1 1 解析:(1)∵f(x)=g(x)· h(x)=( x+1) = x+3 x+3 ∴f(x)= x+1 ,x∈[0,a].(a>0) x+3 1 ,x∈(-3,a],其中 a 为常数且 a>0,令 x+3

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则 a?x2-x1? x1 x2 f(x1)-f(x2)= - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a? ∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1]. 11.已知函数 f(x)= x +1-ax,其中 a>0.
2

1? (2)函数 f(x)的定义域为? ?0,4?, 3? 令 x+1=t,则 x=(t-1)2,t∈? ?1,2?, t 1 f(x)=F(t)= 2 = . 4 t -2t+4 t+ -2 t 3 3 4 4 1, ?,又 t∈?1, ?时,t+ 单调递减,F(t)单调递增, ∵t= 时,t=± 2?? 2 2 ? ? ? ? t t 1 6? ∴F(t)∈? ?3,13?. 1 6? 即函数 f(x)的值域为? ?3,13?. [B 组 因材施教· 备选练习] 1.(2014 年济南模拟)已知函数 f(x)在 R 上是单调函数,且满足对任意 x∈R,都有 f[f(x)- 2x]=3,则 f(3)的值是( A.3 C .9 ) B.7 D.12

(1)若 2f(1)=f(-1),求 a 的值; (2)证明:当 a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单调减函数. 解析:(1)由 2f(1)=f(-1), 可得 2 2-2a= 2+a,得 a= 2 . 3

(2)证明:任取 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2, f(x1)-f(x2)= x2 1+1-ax1- x2 2+1+ax2

2 = x1 +1- x2 2+1-a(x1-x2)



2 x1 -x2 2 2 x1 +1+ x2 2+1

-a(x1-x2)

x1+x2 ? -a? =(x1-x2)? 2 ?. 2 ? x1+1+ x2+1 ? ∵0≤x1< ∴0< x2 1+1,0<x2< x1+x2
2 x2 1+1+ x2+1

x2 2+1,

<1.

解析:由题意知,对任意 x∈R,都有 f[f(x)-2x]=3,不妨令 f(x)-2x=c,其中 c 是常数, 则 f(c)=3,

又∵a≥1,∴f(x1)-f(x2)>0,

∴f(x)=2x+c.再令 x=c,则 f(c)=2c+c=3.即 2c+c-3=0.易得 2c 与 3-c 至多只有 1 个交 点,即 c=1.∴f(x)=2x+1,∴f(3)=23+1=9. 答案:C 2.函数 f(x)=|x2-a|在区间[-1,1]上的最大值 M(a)的最小值是________. 1 解析: 依题意, M(a)≥|1-a|, M(a)≥|0-a|,2M(a)≥|1-a|+|a|≥|(1-a)+a|=1, 即有 M(a)≥ , 2
? ?|1-a|=|a| 1 当且仅当? ,即 a= 时取等号,因些函数 f(x)=|x2-a|在区间[-1,1]上的最大值 M(a) 2 ??1-a?a≥0 ?

6? ?7? 7? 1 1 = ,又 f? +f?13?=1,所以 f? 13 13 ? ? ? ?=2,即③正确;对于④,令 f(x)=t,不等式左边为 f(t), 2 1 1 1 0, ?时,t=f(x)∈? ,1?,f(t)∈?0, ?,f(t)≤f(x),即④正确. 右边为 f(x),当 x∈? ? 4? ?2 ? ? 2? 答案:①③④

1 的最小值是 . 2 1 答案: 2 3.(2014 年成都模拟)对于定义在区间 D 上的函数 f(x),若满足对任意 x1,x2∈D 且 x1<x2 时都有 f(x1)≥f(x2),则称函数 f(x)为区间 D 上的“非增函数”.若 f(x)为区间[0,1]上的“非增函 1? 数”且 f(0)=1,f(x)+f(1-x)=1,又当 x∈? ?0,4?时,f(x)≤-2x+1 恒成立.有下列命题: ①任意 x∈[0,1],f(x)≥0; ②当 x1,x2∈[0,1]且 x1≠x2 时,f(x1)≠f(x2); 1? ? 5 ? ? 7 ? ?7? ③f? ?8?+f?11?+f?13?+f?8?=2; 1 0, ?时,f(f(x))≤f(x). ④当 x∈? ? 4? 其中你认为正确的所有命题的序号为________. 解析:f(0)=1,f(x)+f(1-x)=1,令 x=1 得,f(1)=0,即 0=f(1)≤f(x)≤f(0)=1.①正确; 1? 1 3? 1 3 ?1? ?1? 得 f?1?≥1, ? 1? 令 x= 得, f? 令 x= , 得 f? ?2?=2, ?4?=1-f?4?≤f?4?, ?4? 2 又 f(x)≤-2x+1 在 x∈?0,4? 2 4 1? 1 1 ?1? 1 ?1 1? 上恒成立,所以 f? ?4?≤-2+1=2,所以 f?4?=2,结合“非增函数”的定义可知,当 x∈?4,2? 1? ?7? 1 1? 5? ?6? 1 1 时, f(x)= , 即②错; 对于③, 显然 f? 又当 x∈? f(x)= , 所以 f? ?8?+f?8?=1, ?4,2?时, ?11?=f?13? 2 2



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