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浅谈求函数的解析式的几种常见方法



浅谈求函数的解析式的几种常见方法 冉勰
求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多, 若在考试的时候方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,起到事半功 倍的作用。下面我就对一些常用的方法举例如下. 换元法: g(x)) f(x)的解析式 一般的可用换元法, 的解析式, 一.换元法:已知 f(g(x)),求 f(x)的解析式,一般的可用换元法,具体 t=g(x),在求出 f(t)可得 的解析式。 为:令 t=g(x),在求出 f(t)可得 f(x)的解析式。换元后要确定新元 t 的取值 范围。 范围。 例题 1.已知 f(3x+1)=4x+3, 求 f(x)的解析式. t ?1 4t ? 5 t ?1 令 t=3x+1, x= ? f (t ) = 4 × + 3 ? f (t ) = 3 3 3 4x ? 5 ? f ( x) = 3 f(g(x))内的 g(x)当做整体 当做整体, 二.配凑法:把形如 f(g(x))内的 g(x)当做整体,在解析式的右端整理成 配凑法: g(x)的形式 的形式, g(x)用 代替。 只含有 g(x)的形式,再把 g(x)用 x 代替。 一般的利用完全平方公式 1 1 例题 2.已知 f ( x ? ) = x 2 + 2 , 求 f (x) 的解析式. x x 1 1 2 ? f ( x ? ) = ( x ? ) + 2 ? f ( x) = x 2 + 2 x x 待定系数法:已知函数模型( 一次函数,二次函数,指数函数等) 三.待定系数法:已知函数模型(如:一次函数,二次函数,指数函数等) 求解析式,首先设出函数解析式 数解析式, 求解析式,首先设出函数解析式,根据已知条件代入求系数 例 题 3 . 设 f (x) 是 一 元 二 次 函 数 , g ( x) = 2 x ? f ( x) , 且

g ( x + 1) ? g ( x) = 2 x +1 ? x 2 , 求 f (x) 与 g (x) . 解;设 f ( x) = ax 2 + bx = c ,则 g(x)=2x (ax2+bx+c) 四.构造法:求抽象函数的解析式,往往通过变换变量构造一个方程,组成 构造法:求抽象函数的解析式,往往通过变换变量构造一个方程, 方程组, 方程组,利用消元法求 f(x)的解析式 例题 4.设函数 f (x) 是定义(-∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式 1 3 f ( x) + 2 f ( ) = 4 x ,求 f (x) 的解析式. x 1 1 1 解;令 x = , 3 f ( ) + 2 f ( x) = 4 × 联立方程,得: x x x

1 ? 3 f ( x) + 2 f ( ) = 4 x ? 12 x 8 ? x ? , 解得 f ( x) = ? 5 5x ? 3 f ( 1 ) + 2 f ( x) = 4 ? x x ?

f(x)的解析式 的解析式, 五.利用给定的特性求解析式;一般为已知 x>0 时, f(x)的解析式,求 x<0 利用给定的特性求解析式 一般为已知 f(x)的解析式 首先求出 f(-x)的解析式, 的解析式。 f(-x)的解析式 根据 f x) -x)或 f(x)=-f(-x) 的解析式, =f(时, f(x)的解析式。 ( =f( x)或 f(x)=-f(求得 f(x) 例题 5 设 f (x) 是偶函数,当 x>0 时, f ( x) = e ? x 2 + e x ,求当 x<0 时,f (x) 的 表达式. 由 x>0 时, f ( x) = e ? x 2 + e x ,则 f (? x) = e ? (? x) 2 + e ? x = ex 2 + e ? x 由 f(x)为偶函数,得 f(x)=f(-x). ?ex 2 + e x , x > 0 ? 故: f(x)= ?ex 2 + e ? x , x < 0 ? ? 六.相关点法;一般的,设出两个点,一点已知,一点未知,根据已知找到 相关点法;一般的,设出两个点,一点已知,一点未知, 两点之间的联系,把已知点用未知点表示, 两点之间的联系,把已知点用未知点表示,最后代入已知点的解析式整理出即 (轨迹法 可。 轨迹法) (轨迹法) 例题 7:已知函数 y=f(x)的图像与 y=x2+x 的图像关于点(-2,3)对称,求 f(x)的解析式。 解:设(x,y)为 f(x)上与 y=x2+x 关于(-2,3)的对称点, (a,b)为 y=x2+x 上的点 ?x + a = ?2 ? ? a = ?4 ? x 故, ? 2 ,? ? ,代入 y=x2+x,得 y +b ?b =6? y ? =3 ? 2 6 ? y = (?4 ? x) 2 + (?4 ? x) ? y = ? x 2 ? 7 x ? 6 七.归纳递推法:利用已知的递推公式,写出若干几项,利用数列的思想从 归纳递推法:利用已知的递推公式,写出若干几项, 中找出规律, f(x)的解析式 (通项公式) 的解析式。 (通项公式 中找出规律,得到 f(x)的解析式。 通项公式) f ( x) + 1 例题 6.设 f (x) 是定义在 N ? 上的函数,且 f (1) = 2 , f ( x + 1) = ,求 2 f (x) 的解析式. 当 x<0 时, f ( x) = ex 2 + e ? x

f (1) = 2 f (1) + 1 3 f ( 2) = = 2 2 f ( 2) + 1 5 f (3) = = 2 4 f (3) + 1 9 解: f (4) = = 2 8 f (4) + 1 17 f (5) = = 2 16 `````````` `显然, f ( x ? 1) + 1 2 x ?1 + 1 = 2 2 x ?1 有时证明需要用数学归纳发去证明结论。 f ( x) = 总结:求函数的解析式的方法较多,应根椐题意灵活选择, 总结:求函数的解析式的方法较多,应根椐题意灵活选择,但不论是哪种方 法都应注意自变量的取值范围的变化,对于实际问题材,同样需注意这一点, 法都应注意自变量的取值范围的变化,对于实际问题材,同样需注意这一点, 应保证各种有关量均有意义。求出的函数的解析式最后要写上函数的定义域, 应保证各种有关量均有意义。求出的函数的解析式最后要写上函数的定义域, 这是容易遗漏和疏忽的地方。 这是容易遗漏和疏忽的地方。



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