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2012高考数学总复习 第8章§8.1空间几何体的结构特征和三视图课件 文 北师大版



§8.1 空间几何体的结构特征和三视图

§ 8.1 空 间 几 何 体 的 结 构 特 征 和 三 视 图

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理 1.简单旋转体 (1)以半圆的直径所在的直线为旋

转轴,将半圆旋 转所形成的曲面叫作球面.球面所围成的几何体 叫作球体,简称____. 球 在球面上,两点之间连线最短的长度,就是经过 这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我 球面距离 们称这段弧长为两点的_____________.

(2)分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角
边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋

转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几
何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台.它们都有 高、底面、侧面、母线 _____________________.

思考感悟

1.直角三角形绕其一边所在直线旋

转一周得到的几何体一定是圆锥吗?

提示:不一定是圆锥.若直角三角形绕一条直
角边所在直线旋转一周,则得到的几何体是圆

锥;若绕其斜边所在直线旋转一周,则得到的
是两个同底圆锥构成的一个组合体.

2.简单多面体 (1)两个面互相平行,其余各面都是四边形,并 且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,这些 棱柱 面围成的几何体叫作________. 两个面的公共边叫作棱柱的棱,其中两个侧面的 侧棱 公共边叫作棱柱的_______,底面多边形与侧面 的公共点叫作棱柱的顶点,与两个底面都垂直的 直线夹在两底面间的线段长叫作棱柱的高.棱柱 分为直棱柱和斜棱柱.

(2)有一个面是多边形,其余各面是有一个公共 顶点的三角形,这些面围成的几何体叫作棱 锥.这个多边形叫作棱锥的底面,其余各面叫作 棱锥的侧面,相邻侧面的公共边叫作棱锥的 _______,各侧面的公共点叫作棱锥的顶点,过 侧棱 顶点作底面的垂线,顶点与垂足间的线段长叫作 棱锥的________. 高 (3)如果棱锥的底面是正多边形,且各侧面全等, 正棱锥 就称作__________.正棱锥的侧面是全等的等 斜高 腰三角形,它的高叫作正棱锥的_______.

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与 棱台 截面之间的部分叫作_______.原棱锥的底面和 截面分别叫作棱台的下底面和上底面,其他各面 叫作棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫作棱台的 侧棱,与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的 高 线段长叫作棱台的________. 由正棱锥截得的棱台叫作正棱台,正棱台的侧面 是全等的等腰梯形,它的高叫作正棱台的 斜高 ______.

3.斜二测画法 (1)在已知图形中建立直角坐标系xOy,画直观 图时,它们分别对应x′轴和y′轴,两轴交于点O′, 使∠x′O′y′=45°,它们确定的平面表示 水平平面 ___________. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观 x′轴和y′轴 图中分别画成平行于____________的线段. (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保 原长度不变 持_____________;平行于y轴的线段,长度为 原 1 的 . 2 来

4.三视图 长对正 (1)三视图的特点:主、俯视图_______;主、左 高平齐 视图_________;俯、左视图宽相等,前、后对 应. 分界线 分界线 (2)若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们 的________,在三视图中,________和可见轮廓 线都用实线画出. 方向 (3)画简单组合体的三视图应注意两个问题: 位置不同 首先,确定主视、俯视、左视的_______.同一物 体放置的_________,所画的三视图可能不同. 其次,简单组合体是由哪几个基本几何体生成的, 交线位置 并注意它们的生成方式,特别是它们的 _____________.

思考感悟

2.空间几何体的三视图和直观图在观

察角度和投影效果上有什么区别?

提示:(1)观察角度:三视图是从三个不同位置观
察几何体而画出的图形;直观图是从某一点观察

几何体而画出的图形.
(2)投影效果:三视图是正投影下的平面图形,直

观图是在平行投影下画出的空间图形.

课前热身 1.(教材习题改编)如图所示,4个三视图和4个实 物图配对正确的是( )

A.(1)c,(2)d,(3)b,(4)a

B.(1)d,(2)c,(3)b,(4)a
C.(1)c,(2)d,(3)a,(4)b

D.(1)d,(2)c,(3)a,(4)b
答案:A

2.(2011年黄冈中学质检)如图,下列几何体各自 的三视图中,三个视图均不相同的是( )

A.① C.③ 答案:C

B.② D.④

3.利用斜二测画法得到: ①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形; ④菱形的直观图是菱形. 以上结论,正确的是( ) A.①② B.① C.③④ D.①②③④ 答案:A

4.给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆上 各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②圆 锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的 母线;③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点, 则这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两 条母线所在的直线是相互平行的.其中正确的是 ________. 答案:②④

5.如果把地球看成一个球体,则地球上北纬
30°纬线长和赤道线长的比值为________.

3 答案: 2

考点探究?挑战高考

考点突破 空间几何体的结构特征 解决该类题目需准确理解几何体的定义,要真正 把握几何体的结构特征.要学会通过反例对概念 进行辨析,即要说明一个命题是错误的,设法举 出一个反例即可.

如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为 “等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4个 命题中,为假命题的是( ) A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等 或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 【思路点拨】 根据几何体的特征“四条侧棱都 相等”进行判断.
例1

【解析】 A.如图,∵SA= SB = SC = SD , ∴ ∠ SAO = ∠ SBO = ∠ SCO = ∠ SDO , 即 等腰四棱锥腰与底面所成的角 相等,正确;B.等腰四棱锥的 侧面与底面所成的二面角相等 或互补不一定成立;C.如图, 由SA=SB=SC=SD得OA=OB =OC=OD,即等腰四棱锥的 底面四边形存在外接圆,正确; D.等腰四棱锥各顶点在同一个 球面上,正确.故选B.

【答案】

B 熟悉空间几何体的结构特征,依

【规律小结】

据条件构建几何体模型,在条件不变的情况下, 变换模型中的线面位置关系或增加线、面等基本 元素,然后再依据题意判定,是解决这类题目的 基本思考方法.

几何体的三视图

画三视图时,应牢记其要求的“长对正、高平齐、
宽相等”,注意虚、实线的区别,同时应熟悉一

些常见几何体的三视图.解决由三视图想象几何
体,进而进行有关计算的题目,关键是准确把握 三视图和几何体之间的关系.

(2010年高考浙江卷)若某几何体的三视 图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 ( )

例2

352 A. cm3 3 224 C. cm3 3
【思路点拨】

320 B. cm3 3 160 D. cm3 3
根据三视图,确定几何体的结构,

画出直观图,根据公式可求体积.

【解析】 该空间几何体上半部分是底面边长为 4,高为 2 的正四棱柱 ,其体积为 4×4×2= 32(cm3).下半部分是上、下底面边长分别为 4、8, 1 高为 2 的正四棱台,其体积为 ×(16+4×8+ 3 224 224 320 3 64)×2= (cm ).故其总体积为 32+ = 3 3 3 (cm3).
【答案】 B

【名师点评】

通过三视图间接给出几何体的形

状,打破了以往直接给出几何体并给出相关数据 进行相关运算的传统模式,使三视图与传统意义

上的几何体有机结合,这也体现了新课标的思
想.

变式训练 1 (2010 年高考陕西卷)若某空间几 何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( ) A.2 B.1 2 1 C. D. 3 3

解析:选 B.由三视图可知,它表示的是一放 倒的底面是一直角边为 2,另一直角边为 1 的直角三角形,高为 2的直三棱柱,所以体 1 积为 V= × 2×1× 2=1.故选 B. 2

几何体的直观图

画几何体的直观图一般采用斜二测画法,其规则 可以用“斜”(两坐标轴成45°)和“二测”(平行于y 轴的线段长度减半,平行于x轴和z轴的线段长度 不变)来掌握.

例3 (2011 年亳州质检)已知正三角形 ABC 的边长

为 a, 那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′的面 积为( ) 3 2 3 2 A. a B. a 2 3 6 2 6 2 C. a D. a 8 16

【思路点拨】根据直观图的画法规则求出
△A′B′C′的高即可.

【解析】 如图所示,正三角形ABC的实际 图形和直观图.

1 由图可知,A′B′=AB=a,O′C′= OC= 2 3 a,在直观图中作 C′D′⊥A′B′于 D′, 4 2 6 则 C′D′= O′C′= a. 2 8 1 1 6 ∴S△ A′B′C′ = A′B′· C′D′= ×a× a= 2 2 8 6 2 a. 16

【答案】

D
本题易出现用错斜二测画法规

【失误点评】

则的错误,如把与横轴平行的线段长度变为原
来的一半或与纵轴平行的线段长度不变等,都

会导致计算结果的错误.

变式训练2 如图所示,ABCD是一平面图形的 水平放置的斜二测直观图,在斜二测直观图中, ABCD是一直角梯形,AB∥CD,AD⊥CD,且 BC与y轴平行,若AB=6,DC=4,AD=2,则 这个平面图形的实际面积是________.

解析:由斜二测直观图画法规则知该平面图形 是梯形, AB 与 CD 的长度不变, 且 仍为 6 和 4, 1 高 CB 为 4 2,故面积为 (6+4)×4 2=20 2. 2

答案:20 2

方法感悟
方法技巧 1.几何体的结构特征主要是理解基本概念和性质, 并能灵活应用正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、 斜高、底面正多边形、内切球半径、外接圆半径、 底面边长的一半构成的直角三角形中解决.(如例 1) 2.要注意物体的三视图和直观图的关系,注意两 者之间的转化,会由物体的三视图作出物体的直 观图,同样也应会由物体的直观图画出物体的三 视图.(如例2)

失误防范 1.台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截 面与底面平行. 2.掌握三视图的概念及画法 在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表 面的交线是它们的分界线.在三视图中,分界线 和可见轮廓线都用实线画出,被挡住的轮廓线画 成虚线.并做到“主、俯视图长对正,主、左视图 高平齐,俯、左视图宽相等”.

3.掌握直观图的概念及斜二测画法
在斜二测画法中,要确定关键点及关键线

段.“平行于x轴的线段平行性不变,长度不变;
平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.”

考向瞭望?把脉高考

考情分析

柱、锥、台、球的定义与性质是基础,以它们为载 体考查线线、线面、面面的关系是重点,三视图及 直观图属新增内容,在各地高考题中频繁出现,大 多为由三视图确定原几何体的表面积与体积,球面 距离也是考查的重点内容,以上考点多以选择题、 填空题出现,难度不大. 预测2012年高考仍将以空间几何体的三视图为主要 考查点,重点考查学生读图、识图能力以及空间想 象能力.

真题透析
例 (2010年高考天津卷)一个几何体的三视图如

图所示,则这个几何体的体积为________.

【解析】 由三视图可知本题的几何体是:下面 是一个正四棱柱,上面是一个正四棱锥.于是可 1 10 以得到体积是 1×1×2+ ×2×2×1= . 3 3 10 【答案】 3 【误区警示】 解本题易出现的错误有:(1)还 原空间几何体的形状时出错,不能根据俯视图 得出上面是一个正四棱锥;(2)体积公式用错, 1 漏掉锥体体积公式前的“ ”. 3

名师预测
1.下列命题中,不正确的是( ) A.棱长都相等的长方体是正方体 B.有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱 C.有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱 D.底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体 解析:选C.由平行六面体、正方体的定义知A、 D正确;对于B,相邻两侧面垂直于底面,则侧 棱垂直于底面,所以该棱柱为直棱柱,因而B正 确;对于C,若两侧面平行且垂直于底面,则不 一定是直棱柱.

2.如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全 等的等边三角形,俯视图为一个半径为 1 的圆及其 圆心,那么这个几何体的体积为( ) 3 2 3 A. π B. π 3 3 π C. 3π D. 3 解析:选 A.依题意知,该几何体是一个圆锥,圆锥 的底面半径等于 1, 轴截面是一个边长为 2 的正三角 形,所以圆锥的高等于 3,于是圆锥的体积为 1 3 2 · 1 · 3= π,故选 A. π· 3 3

3.如图,△ O′A′B′是水平放置的△OAB的直 观图,则△OAB的面积是________.

解析:按斜二测画法,将直观图中 △O′A′B′还原成原图形,即△OAB(如 1 图),则△OAB 的面积是 S= ×6×4=12. 2

答案:12

4.星期天小川和他爸爸到公园散步,小川身 高是160 cm,在阳光下他的影长为80 cm,爸 爸身高是180 cm,则此时爸爸的影长为 ________cm.
180×80 解析:依题意可得爸爸的影长为 =90 cm. 160

答案:90



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