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导数综合练习一


导数综合练习: 1、已知函数 f ( x ) ? x ?

a ? ln x , a ? R . x

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 (1,2) 上单调递增, 求 a 的取值范围; (Ⅲ)讨论函数 g ( x) ? f ?( x) ? x 的零点个数.

2、已知函数 f ( x) ? x ? a ? e? x . (Ⅰ)当 a ? e 时,求 f ( x) 在区间 [1,3] 上的最小值;
2

(Ⅱ)求证:存在实数 x0 ?[?3,3] ,有 f ( x0 ) ? a .

ln x ex ,函数 , x ? (0, ??) . g ( x ) ? xn xn (Ⅰ)当 n ? 1 时,写出函数 y ? f ( x) ? 1 零点个数,并说明理由;
3、设 n ? N* ,函数 f ( x) ? (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 分别位于直线 l: y ? 1的两侧,求 n 的所有可能取值.

4、已知函数 f ( x ) ?

1? x 1 ? ax
2

,其中 a ? R .(Ⅰ)当 a ? ? 时,求 f ( x ) 的单调区间;
4

1

(Ⅱ)当 a ? 0 时,证明:存在实数 m ? 0 ,使得对于任意的实数 x ,都有 | f ( x) |≤ m 成立.

5、已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 (a ? 0) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; x

(Ⅱ)若 {x f ( x) ? 0} ? [b, c] (其中 b ? c ) ,求 a 的取值范围,并说明 [b, c] ? (0,1) .

6、已知函数 f ( x ) ?

1 ? ln x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的零点及单调区间; x2

(Ⅱ)求证:曲线 y ?

ln x 存在斜率为 6 的切线,且切点的纵坐标 y0 ? ?1. x

x2 ? (a ? 1) x , a ? R . 2 (Ⅰ) 当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的最小值; (Ⅱ) 当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x) 的零点个数.
7、已知函数 f ( x) ? a ln x ?

8、已知函数

. (Ⅰ)当

时,求函数

的单调区间; 的取值范围; .

(Ⅱ)若在区间(1,2)上存在不相等的实数 (Ⅲ)若函数 有两个不同的极值点 , ,求证:

成立,求


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