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福建省龙岩市2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)



福建省龙岩市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={x|x≥2},N={0,1,2,3},则 M∩N 等于() A.{3} B.{2,3} C.{x|x≥2} D.{0,1,2,3}
2

/>
2. (5 分)双曲线 A.

﹣y =1 的离心率为() B. C.
2 2

D.2

3. (5 分)若 a∈R,则“a=1”是“直线 x+y+a=0 与圆 x +y =1 相交”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. (5 分)已知向量 =(2,1) , =(1,x) ,若 + 与 ﹣ 平行,则实数 x 的值是() A.﹣2 B. 2 C. 1 D.

5. (5 分)如图程序执行后输出的结果是()

A.3

B. 6

C.10

D.15

6. (5 分)某班有 34 位同学,座位号记为 01,02,…34,用如图的随机数表选取 5 组数作为 参加青年志愿者活动的五位同学的座号.选取方法是从随机数表第一行的第 6 列和第 7 列数 字开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第 4 个志愿者的座号是()

A.23

B.09

C.02

D.16

7. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰 直角三角形,俯视图是圆心角为 的扇形,则该几何体的侧面积为()

A.

B.1+

C.1+

D.1+

+

8. (5 分)已知 a>0,b>0,且 a+3b=ab,则 ab 的最小值为() A.6 B.12 C.16

D.22

9. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(﹣x) ,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x, 则 f 等于() A.﹣2 B . ﹣1 C. 1 D.2 10. (5 分)已知函数 f(x)=sin2x+2cos x﹣1,有下列四个结论: ①函数 f(x)在区间[﹣ ②点( , ]上是增函数;
2

,0)是函数 f(x)图象的一个对称中心; sin2x 的图象向左平移 ]. 得到;

③函数 f(x)的图象可以由函数 y= ④若 x∈[0,

],则 f(x)的值域为[0,

则所有正确结论的序号是() A.①②③ B.①③

C.②④

D.①②

11. (5 分)已知函数 f(x)= 则实数 k 的取值范围是() A.(﹣ , ) (﹣ , ]
2 2

,若方程 f(x)=kx+1 有三个不同的实数根,

B.(﹣∞,﹣ )∪( ,+∞)

C. [﹣ , )

D.

12. (5 分)若不等式(x﹣a) +(x﹣lna) >m 对任意 x∈R,a∈(0,+∞)恒成立,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞, ) B.(﹣∞, ) C.(﹣∞, ) D.(﹣∞,2)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡相应位置. 13. (4 分)已知 a,b∈R,i 为虚数单位,若 a﹣i=2+bi,则 a+b=.

14. (4 分)已知 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最小值是.

15. (4 分) 为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系, 现随机抽取 50 名学生, 得到 2×2 列联表: 喜欢不喜欢总计 男 15 10 25 女 5 20 25 总计20 30 50 附表: P(K ≥k0)0.0100.005 0.001 k0 6.6357.87910.828 (参考公式 k = 则有以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”. 16. (4 分)已知点 A 是定圆 M 所在平面上的一定点,点 P 是圆 M 上的动点,若线段 PA 的垂 直平分线交直线 PM 于点 Q,则点 Q 的轨迹可能是:①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆; ⑤直线;⑥一个点.其中正确命题的序号是. (填上你认为所有正确命题的序号)
2 2

, (n=a+b+c+d)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)某中学共有 1000 名文科学生参加了该市 2015 届高三第一次质量检查的考试,其 中数学成绩如表所示: 数学成绩分组 [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150] 人数 60 x 400 360 100 (Ⅰ)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,年级将采用分层抽样 的方法抽取 100 名同学进行问卷调查.甲同学在本次测试中数学成绩为 75 分,求他被抽中的 概率; (Ⅱ)年级将本次数学成绩 75 分以下的学生当作“数学学困生”进行辅导,请根据所提供数据 估计“数学学困生”的人数; (Ⅲ)请根据所提供数据估计该学校文科学生本次考试的数学平均分. 18. (12 分)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a1=1,a3﹣a2=2. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设 bn=

,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

19. (12 分)如图 1,在矩形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,CD 的中点,沿 EF 将矩形 BEFC 折起,使∠CFD=90°,如图 2 所示; (Ⅰ)若 G,H 分别是 AE,CF 的中点,求证:GH∥平面 ABCD; (Ⅱ)若 AE=1,∠DCE=60°,求三棱锥 C﹣DEF 的体积.

20. (12 分)如图,函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|≤ 的三个交点为 P,Q,R,且 P(1,0) ,Q(m,0) (m>0) ,∠PQR= |PM|= . (Ⅰ)求 m 的值及 f(x)的解析式; (Ⅱ)设∠PRQ=θ,求 tanθ.

)的图象与坐标轴 ,M 为 QR 的中点,

21. (12 分)如图,已知抛物线 E:y =2px(p>0)的准线为直线 x=﹣1,过点 D(a,0) (a >0)的动直线 l 交抛物线 E 于 A,B 两点. (Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)若以线段 AB 为直径的圆恒过抛物线 E 上的某定点 C(异于 A,B 两点) ,求 a 的值和 点 C 的坐标.

2

22. (14 分)已知函数 f(x)=e (sinx+cosx)+a(a 为常数) . (Ⅰ)已知 a=﹣3,求曲线 y=f(x)在(0,f(0) )处的切线方程; (Ⅱ)当 0≤x≤π 时,求 f(x)的值域; (Ⅲ)设 g(x)=(a ﹣a+10)e ,若存在 x1,x2∈[0,π],使得|f(x1)﹣g(x2)|<13﹣e 成立,求实数 a 的取值范围.
2 x

x

福建省龙岩市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={x|x≥2},N={0,1,2,3},则 M∩N 等于() A.{3} B.{2,3} C.{x|x≥2} D.{0,1,2,3} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据 M 与 N,找出 M 与 N 的交集即可. 解答: 解:∵M={x|x≥2},N={0,1,2,3}, ∴M∩N={2,3}, 故选:B. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2

2. (5 分)双曲线 A.

﹣y =1 的离心率为() B. C. D.2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 直接利用双曲线方程求出 a,c,然后求解离心率即可. 解答: 解:双曲线 ∴双曲线的离心率为: ﹣y =1,可知 a=2,b=1,则 c= .
2



故选:B. 点评: 本题考查双曲线的简单性质的应用,基本知识的考查. 3. (5 分)若 a∈R,则“a=1”是“直线 x+y+a=0 与圆 x +y =1 相交”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
2 2

C. 充要条件

D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 直线与圆;简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合直线和圆的位置关系进行判断即可. 解答: 解:若直线和圆相切,则圆心到直线的距离 d= ,

即|a|< , 解得﹣ <a< , 2 2 故“a=1”是“直线 x+y+a=0 与圆 x +y =1 相交”的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据直线和圆的位置关系是解决本题的 关键.

4. (5 分)已知向量 =(2,1) , =(1,x) ,若 + 与 ﹣ 平行,则实数 x 的值是() A.﹣2 B. 2 C. 1 D.

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量坐标运算、向量共线定理即可得出. 解答: 解: + =(3,1+x) , ﹣ =(1,1﹣x) , ∵ + 与 ﹣ 平行, ∴1+x﹣3(1﹣x)=0, 解得 x= . 故选:D. 点评: 本题考查了向量坐标运算、向量共线定理,属于基础题. 5. (5 分)如图程序执行后输出的结果是()

A.3 考点: 茎叶图.

B. 6

C.10

D.15

专题: 算法和程序框图. 分析: 根据框图的流程依次计算程序运行的结果,直到不满足条件 i≤4,计算输出 S 的值 解答: 解:该程序是一个当型循环结构. 第一步:s=0+1=1,i=1+1=2; 第二步:s=1+2=3,i=2+1=3; 第三步:s=3+3=6,i=3+1=4; 第四步:s=6+4=10,i=4+1=5; ∵i≤4, ∴结束循环. ∴s=10. 故选:C. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答 此类问题的常用方法. 6. (5 分)某班有 34 位同学,座位号记为 01,02,…34,用如图的随机数表选取 5 组数作为 参加青年志愿者活动的五位同学的座号.选取方法是从随机数表第一行的第 6 列和第 7 列数 字开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第 4 个志愿者的座号是()

A.23

B.09

C.02

D.16

考点: 简单随机抽样. 专题: 概率与统计. 分析: 根据随机数表,依次进行选择即可得到结论. 解答: 解:从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取两个数字中小 于 34 的编号依次为 21,32,09,16,其中第 4 个为 16. 故选:D 点评: 本题主要考查简单随机抽样的应用,正确理解随机数法是解决本题的关键,比较基 础. 7. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰 直角三角形,俯视图是圆心角为 的扇形,则该几何体的侧面积为()

A.

B.1+

C.1+

D.1+

+

考点: 由三视图求面积、体积.

专题: 立体几何. 分析: 三视图复原几何体是四分之一圆锥,根据数据计算即可. 解答: 解:由三视图可知,该几何体是一个沿着对称轴切开的四分之一圆锥, 该圆锥的母线 l 长 , 其侧面积为: ? 故选:C. +2? =1+ ,

点评: 本题考查三视图与几何体的关系,考查空间想象能力、逻辑思维能力,注意解题方 法的积累,属于基础题. 8. (5 分)已知 a>0,b>0,且 a+3b=ab,则 ab 的最小值为() A.6 B.12 C.16 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ 基本不等式. 不等式的解法及应用. 变形利用基本不等式的性质即可得出. 解:∵a>0,b>0,且 a+3b=ab, >0,解得 a>3.

D.22

∴ab=

=

=a﹣3+

+6≥

+6=12,当且仅当 a=6(b=3)时

取等号. ∴ab 的最小值为 12. 故选:B. 点评: 本题考查了基本不等式的性质,考查了计算能力,属于基础题. 9. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(﹣x) ,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x, 则 f 等于() A.﹣2 B . ﹣1 C. 1 D.2 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的奇偶性求出函数的周期,然后求解函数在即可. 解答: 解:定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(﹣x) , 可得 f(x+2)=﹣f(x) ,可得 f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x) , 所以函数的周期是 4,

当 0≤x≤1 时,f(x)=2x,则 f=f=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2. 故选:A. 点评: 本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性,函数值的求法,考查计算能力. 10. (5 分)已知函数 f(x)=sin2x+2cos x﹣1,有下列四个结论: ①函数 f(x)在区间[﹣ ②点( , ]上是增函数;
2

,0)是函数 f(x)图象的一个对称中心; sin2x 的图象向左平移 ]. 得到;

③函数 f(x)的图象可以由函数 y= ④若 x∈[0,

],则 f(x)的值域为[0,

则所有正确结论的序号是() A.①②③ B.①③ 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的图像与性质.

C.②④

D.①②

分析: 函数 f(x)=sin2x+2cos x﹣1=sin2x+cos2x= 图象与性质即可判断出正误. 解答: 解:函数 f(x)=sin2x+2cos x﹣1=sin2x+cos2x= ①若 x∈[﹣ , ],则 ∈
2

2

,再利用正弦函数的

: , ]

,因此函数 f(x)在区间[﹣

上是增函数,因此正确; ②∵ = = sinπ=0,因此点( ,0)是函数 f(x)图象的

一个对称中心,正确; ③由函数 y= 数 y= sin2x 的图象向左平移 得到 y= = , 因此由函

sin2x 的图象向左平移 ],则

不能得到函数 f(x)的图象; ∈ ,∴ ∈ ,∴f(x)

④若 x∈[0,

的值域为[﹣1, ],因此不正确. 故选:D. 点评: 本题考查了正弦函数的图象与性质、倍角公式、两角和差的正弦公式,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题.

11. (5 分)已知函数 f(x)= 则实数 k 的取值范围是()

,若方程 f(x)=kx+1 有三个不同的实数根,

A.(﹣ , ) (﹣ , ]

B.(﹣∞,﹣ )∪( ,+∞)

C. [﹣ , )

D.

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 数形结合;转化思想;函数的性质及应用. 分析: 在直角坐标系中,分别画出 y=f(x)的图象和直线 y=kx+1,由题意可得即要求得图 象有三个交点的情况.求得直线和曲线 y= 相切,以及直线经过点(6,0) ,由图象,即可 得到 k 的范围. 解答: 解:在直角坐标系中,分别画出 y=f(x)的图象和直线 y=kx+1, 当直线经过点(6,0)时, 即 k=﹣ ,直线和曲线有两个交点, 当直线与 y= 在(0,4]相切, 设切点为(m, ) , 由 y= 的导数为 y′= , ,

切线的斜率为 k= 又 km+1= ,

解得 m=4,k= , 要使直线和曲线有三个交点, 则 k 的范围是(﹣ , ) , 故选:A.

点评: 本题考查函数和方程的转化思想,主要考查图象的交点个数问题,运用数形结合思 想方法是解题的关键. 12. (5 分)若不等式(x﹣a) +(x﹣lna) >m 对任意 x∈R,a∈(0,+∞)恒成立,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞, ) B.(﹣∞, ) C.(﹣∞, ) D.(﹣∞,2)
2 2

考点: 函数恒成立问题. 专题: 导数的综合应用. 分析: 设函数 f(x)=2x ﹣2(a+lna)x+a +ln a,利用导数求出函数 f(x)min= (a﹣lna)
2 2 2 2

,再构造函数 g(a)=a﹣lna,利用导数求出 g(a)min=g(1)=1﹣ln1=1,继而得到 f(x) 的最小值,继而求出参数的取值范围 解答: 解:∵(x﹣a) +(x﹣lna) >m, 2 2 2 ∴m<2x ﹣2(a+lna)x+a +ln a 对任意 x∈R,a∈(0,+∞)恒成立, 2 2 2 设 f(x)=2x ﹣2(a+lna)x+a +ln a, ∴f′(x)=4x﹣2(a+lna) , 令 f′(x)=0,解得 x= (a+lna) , 当 f′(x)>0 时,即 x> (a+lna) ,函数 f(x)单调递增, 当 f′(x)<0 时,即 x< (a+lna) ,函数 f(x)单调递减, ∴f(x)min=f[ (a+lna)]= (a﹣lna) , 再设 g(a)=a﹣lna, ∴g′(a)=1﹣ = ,
2 2 2

令 g′(a)=0,解得 a=1, 当 a>1 时,函数 g(a)为增函数, 当 0<a<1 时,函数 g(a)为减函数, ∴g(a)min=g(1)=1﹣ln1=1, ∴f(x)min=f[ (a+lna)]= (a﹣lna) = g(1)= , ∴a< , 故选:A. 点评: 本题考查了导数和函数的最值的关系,关键是构造函数,属于中档题 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡相应位置. 13. (4 分)已知 a,b∈R,i 为虚数单位,若 a﹣i=2+bi,则 a+b=1. 考点: 复数相等的充要条件. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数相等即可得出. 解答: 解:∵a﹣i=2+bi, ∴a=2,﹣1=b, ∴a+b=2﹣1=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了复数相等,属于基础题.
2

14. (4 分)已知 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最小值是﹣1.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数 z=2x﹣y 的 最小值. 解答: 解:由 z=2x﹣y,得 y=2x﹣z,作出不等式对应的可行域(阴影部分) , 平移直线 y=2x﹣z,由平移可知当直线 y=2x﹣z, 经过点 B 时,直线 y=2x﹣z 的截距最大,此时 z 取得最小值, 由 ,解得 ,即 B(﹣1,﹣1) .

将 B(﹣1,﹣1)的坐标代入 z=2x﹣y,得 z=﹣2﹣(﹣1)=﹣1, 即目标函数 z=2x﹣y 的最小值为﹣1. 故答案为:﹣1

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 15. (4 分) 为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系, 现随机抽取 50 名学生, 得到 2×2 列联表: 喜欢不喜欢总计 男 15 10 25 女 5 20 25 总计20 30 50 附表: 2 P(K ≥k0)0.0100.005 0.001 k0 6.6357.87910.828 (参考公式 k = 则有 99.5%以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”.
2

, (n=a+b+c+d)

考点: 独立性检验. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据条件中所给的观测值,同所给的临界值进行比较,根据 8.333>7.879,即可得到 有 99.5%以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”. 解答: 解:∵根据表中数据,得到 k 的观测值
2 2

≈8.333>7.879,

由于 P(k ≥7.879)≈0.005, ∴有 99.5%以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”. 故答案为:99.5%. 点评: 本题考查独立性检验的应用,本题解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义. 16. (4 分)已知点 A 是定圆 M 所在平面上的一定点,点 P 是圆 M 上的动点,若线段 PA 的垂 直平分线交直线 PM 于点 Q,则点 Q 的轨迹可能是:①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆; ⑤直线;⑥一个点.其中正确命题的序号是①②④⑥. (填上你认为所有正确命题的序号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;简易逻辑. 分析: 对点 A 分类讨论:若点 A 在⊙M 的内部, 且与圆心不重合; 若点 A 与⊙M 的圆心 M 重合;若点 A 在⊙M 上;若点 A 在⊙M 的外部.即可判断出正确答案. 解答: 解:若点 A 在⊙M 的内部,且与圆心不重合,则其轨迹为椭圆; 若点 A 与⊙M 的圆心 M 重合,则其轨迹为圆; 若点 A 在⊙M 上,则其轨迹为圆心 M; 若点 A 在⊙M 的外部,则其轨迹为双曲线. 综上可得:只有①②④⑥正确, 故答案为:①②④⑥.

点评: 本题考查了圆锥曲线的定义与性质、分类讨论思想方法,考查了推理能力,属于中 档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)某中学共有 1000 名文科学生参加了该市 2015 届高三第一次质量检查的考试,其 中数学成绩如表所示: 数学成绩分组 [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150] 人数 60 x 400 360 100

(Ⅰ)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,年级将采用分层抽样 的方法抽取 100 名同学进行问卷调查.甲同学在本次测试中数学成绩为 75 分,求他被抽中的 概率; (Ⅱ)年级将本次数学成绩 75 分以下的学生当作“数学学困生”进行辅导,请根据所提供数据 估计“数学学困生”的人数; (Ⅲ)请根据所提供数据估计该学校文科学生本次考试的数学平均分. 考点: 众数、中位数、平均数;分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据分层抽样的定义以及概率的意义进行求解. (Ⅱ)求出 x,估计“数学学困生”的人数即可; (Ⅲ)根据平均数公式进行求解即可. 解答: 解: (Ⅰ)分层抽样中,每个个体被抽到的概率均为: 故甲同学被抽到的概率 P= ;…(4 分) ,

(Ⅱ)由题意得 x=1 000﹣(60+400+360+100)=80.…(6 分) 设估计“数学学困生”人数为 m, 则 m=60+80× =80. 故估计该中学“数学学困生”人数为 80 人;…(8 分) (III)该学校本次考试的数学平均分. = =107.2

估计该学校本次考试的数学平均分为 107.2 分.…(12 分) 点评: 本题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、 应用意识,考查必然与或然思想. 18. (12 分)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a1=1,a3﹣a2=2. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)通过 a1=1、a3﹣a2=2 及数列{an}的各项均为正数,可得 q=2,计算即可; (Ⅱ)通过 bn= = ,可写出 Sn、 Sn 的表达式,利用错位相减法及等比数列的求和公式

计算即可. 解答: 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q, 由 a1=1,a3﹣a2=2 得: 2 q ﹣q﹣2=0, 解得:q=2 或 q=﹣1, ∵数列{an}的各项均为正数,

∴q=2,∴an=1×2 (Ⅱ)∵bn= ∴Sn= Sn=1× +2× +2×

n﹣1

=2

n﹣1



=

, +…+(n﹣1)× +n× ﹣n× +n× , ,

+3×

+…+(n﹣1)× + +…+

两式相减得: Sn= +

=



=1﹣



, ﹣ .

∴Sn=2﹣

点评: 本题主要考查等比数列的通项公式、错位相减法求前 n 项和等知识,考查学生的运 算求解能力,考查函数与方程及化归与转化思想,注意解题方法的积累,属于中档题. 19. (12 分)如图 1,在矩形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,CD 的中点,沿 EF 将矩形 BEFC 折起,使∠CFD=90°,如图 2 所示; (Ⅰ)若 G,H 分别是 AE,CF 的中点,求证:GH∥平面 ABCD; (Ⅱ)若 AE=1,∠DCE=60°,求三棱锥 C﹣DEF 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由三角形中位线的性质证得 PG∥CH,PG=CH,从而得到四边形 CPGH 为平 行四边形,得到 GH∥PC.然后利用线面平行的判定得答案; (Ⅱ)由已知解三角形得到 CF⊥DF,进一步求得 EF=1,然后直接代入棱锥的体积公式得答 案. 解答: (Ⅰ)证明:取 AB 中点 P,连结 PG、PC, ∵G,H 分别是 AE,CF 的中点, ∴CH∥BE,且 CH= BE,PG∥BE,且 PG= BE, ∴PG∥CH,PG=CH,

∴四边形 CPGH 为平行四边形, ∴GH∥PC. 又 GH?平面 ABCD,PC?平面 ABCD, ∴GH∥平面 ABCD; (Ⅱ)解:∵∠CFD=60°,∴CF⊥DF, ∵CF⊥EF,EF∩DF=F, ∴CF⊥平面 ADEF, 又 AE=EB, ∴CE=DE= ,且 CF=DE=1,

∵∠DCE=60°,∴△DCE 为等边三角形, 而 Rt△ CDF 中,CD= ∴EF=1, ∴ 故三棱锥 C﹣DEF 的体积为 . . ,∴ ,

点评: 本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积等基础知识; 考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,是中档题.

20. (12 分)如图,函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|≤ 的三个交点为 P,Q,R,且 P(1,0) ,Q(m,0) (m>0) ,∠PQR= |PM|= . (Ⅰ)求 m 的值及 f(x)的解析式; (Ⅱ)设∠PRQ=θ,求 tanθ.

)的图象与坐标轴 ,M 为 QR 的中点,

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由已知可得 = ,从而解得 m 的值,由图象可求 T, ,即可求得 φ 的值,把 R(0,﹣4)

由周期公式可求 ω,把 p(1,0)代入 f(x) ,结合|φ|≤ 代入 f(x)=Asin( (Ⅱ)由∠ORP= x﹣

) ,即可解得 A 的值,从而可求 f(x)的解析式. ,根据 tan( ﹣θ)= 即可解得 tanθ 的值.

﹣θ,tan∠ORP=

解答: 解: (Ⅰ)∵∠PQR=

,∴OQ=OR,∵Q(m,0) ,∴R(0,﹣m) ,…(1 分) ,

又 M 为 QR 的中点,∴M( ,﹣ ) ,又|PM|= =
2

,m ﹣2m﹣8=0,m=4,m=﹣2(舍去) ,…(3 分) =6, ,…(4 分) +φ)=0,

∴R(0,4) ,Q(4,0) , =3,T=6, 把 p(1,0)代入 f(x)=Asin( ∵|φ|≤ ,∴φ=﹣ .…(5 分) x﹣ x﹣

x+φ) ,Asin(

把 R(0,﹣4)代入 f(x)=Asin( f(x)的解析式为 f(x)= sin(

) ,Asin(﹣ ) . sin( ,

)=﹣4,A=

.…(6 分)

所以 m 的值为 4,f(x)的解析式为 f(x)= (Ⅱ)在△ OPR 中,∠ORP= ∴tan( ∴ ﹣θ)= ,…(9 分) = ,解得 tanθ= . …(12 分) ﹣θ,tan∠ORP=

x﹣

) .…(7 分)

点评: 本题主要考查三角函数的图象与性质、同角三角函数关系、正余弦定理等解三角形 基础知识;考查两点间距离公式、运算求解能力以及化归与转化思想. 21. (12 分)如图,已知抛物线 E:y =2px(p>0)的准线为直线 x=﹣1,过点 D(a,0) (a >0)的动直线 l 交抛物线 E 于 A,B 两点. (Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)若以线段 AB 为直径的圆恒过抛物线 E 上的某定点 C(异于 A,B 两点) ,求 a 的值和 点 C 的坐标.
2

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)求出抛物线中变量 p,即可得到抛物线方程. (Ⅱ)设直线 l 的方程为:x=my+a 与抛物线联立方程组,利用判别式大于 0,得到关系式, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x0,y0) ,利用韦达定理连结斜率的数量积为 0,推出方程组 求出 a 的值 4,推出点 C 的坐标. 2 解答: 解: (Ⅰ)∵抛物线 E:y =2px(p>0)的准线为直线 x=﹣1, ∴ ,∴p=2,
2

∴抛物线方程为:y =4x. (Ⅱ)设直线 l 的方程为:x=my+a 联立
2

…(3 分)

,消去 x 得:y ﹣4my﹣4a=0
2

2

…(4 分) …(5 分)

△ =(﹣4m) ﹣4×1×(﹣4a)=16m +16a>0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x0,y0) , 2 则 y1+y2=4m,y1y2=﹣4a,y0 =4x0.…(6 分)

…(7 分) =(my1+a﹣x0) (my2+a﹣x0)+(y1﹣y0) (y2﹣y0) 2 2 2 =(m +1)y1y2+[m(a﹣x0)﹣y0](y1+y2)+(a﹣x0) +y0 2 2 2 =﹣4a(m +1)+4m(ma﹣mx0﹣y0)+(a﹣x0) +y0 =﹣m y0 ﹣4my0+
2 2

…(9 分)

∵以线段 AB 为直径的圆恒过抛物线 E 上的某定点 C(异于 A,B 两点) ∴ 对任意实数 m 恒成立 …(10 分)



…(11 分)

又 a>0,y0 =4x0,∴x0=y0=0,a=4. 所以 a 的值为 4,点 C 的坐标为(0,0) . …(12 分) 点评: 本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查推理论证 能力、运算求解能力、抽象概括能力,考查化归与转化思想、方程思想等.

2

22. (14 分)已知函数 f(x)=e (sinx+cosx)+a(a 为常数) . (Ⅰ)已知 a=﹣3,求曲线 y=f(x)在(0,f(0) )处的切线方程; (Ⅱ)当 0≤x≤π 时,求 f(x)的值域; (Ⅲ)设 g(x)=(a ﹣a+10)e ,若存在 x1,x2∈[0,π],使得|f(x1)﹣g(x2)|<13﹣e 成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出原函数的导函数,得到函数在 x=0 时的导数,再求出 f(0) ,然后利用直 线方程的点斜式得答案; (Ⅱ)由原函数的导函数的符号确定原函数的单调区间,从而求得原函数的极大值点,得到 函数的最大值,再求出端点值得答案; 2 (Ⅲ)由 a ﹣a+10>0,得 g(x)在[0,π]上是增函数,从而求得 g(x)的值域.由题意得到 ,求解关于 a 的不等式得答案. 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=e (sinx+cosx)+e (cosx﹣sinx)=2e cosx, ∴f′(0)=2,f(0)=﹣2, ∴切线方程为:y+2=2(x﹣0) ,即 2x﹣y﹣2=0 为所求的切线方程; (Ⅱ)由 f′(x)=2e cosx≥0,得 0 ∴y=f(x)在 上单调递增,在
x x x x 2 x

x

,f′(x)=2e cosx≤0,得 上单调递减.

x




π

. ,

f(0)=1+a,f(π)=﹣e +a<f(0) ,

∴f(x)的值域为
2



(Ⅲ)∵a ﹣a+10>0,∴g(x)在[0,π]上是增函数, 2 2 π g(0)=a ﹣a+10,g(π)=(a ﹣a+10)e , 2 2 π ∴g(x)的值域为[a ﹣a+10, (a ﹣a+10)e ]. ∵ 依题意,
2

, ,

即 a ﹣2a﹣3<0,解得:﹣1<a<3. 点评: 本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用;考查推理论证能力、 运算求解能力以及应用意识,考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形 结合思想等,是压轴题.



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