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【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第4讲 合情推理与演绎推理习题



2017 高考数学一轮复习 第六章 不等式、 推理与证明 第 4 讲 合情推 理与演绎推理习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1.(2015·合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x +1)是正弦函数,因此 f(x)= sin(x +1)是奇函数,以上推理 ( A.结论正确 C.小前提不正确 [答案] C [解析] 因为 f(x)=sin(x +1)不是正弦函数

,所以小前提不正确. 2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt? m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p? a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ⑥“ = ”类比得到“
2 2 2

) B.大前提不正确 D.全不正确

ac a bc b

a·c a = ”. b·c b
)

以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是 ( A.1 C.3 [答案] B [解析] ①②正确,③④⑤⑥错误. B.2 D.4

3.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b = ( A.28 C.123 [答案] C
10

2

2

3

3

4

4

5

5

10

) B.76 D.199

[解析] 记 a +b =f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4 =7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N ,n≥3), 则 f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+
*

n

n

f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以 a10+b10=123.
4.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则

S1 S2
1

1 = ,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体 P-ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积 4 为 V2,则 = ( A. C. 1 8 1 64

V1 V2

) B. 1 9

1 D. 27

[答案] D

V1 1 [解析] 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1︰3,故 = . V2 27
5.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是 ( )
2 2 2

A.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.由 an=2n-1,求出 S1=1 ,S2=2 ,S3=3 ,?,推断:

Sn=n2
B.由 f(x)=xcosx 满足 f(-x)=-f(x)对? x∈R 都成立,推断:f(x)=xcosx 为奇函 数 C.由圆 x +y =r 的面积 S=π r ,推断:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积 S=π ab D.由(1+1) >2 ,(2+1) >2 ,(3+1) >2 ,?,推断:对一切 n∈N ,(n+1) >2 [答案] A [解析] 选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列,其前
2 1 2 2 2 3 * 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

n

n?1+2n-1? 2 n 项和等于 Sn= =n ,选项 D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确.
2 6.如图所示,一个质点在第一象限和坐标轴上运动,在第一秒钟内它由原点运动到点 (0,1),然后按图中所示在与 x 轴、y 轴平行的方向上运动,且每秒移动一个单位长度,那么 2 000 秒后,这个质点所处位置的坐标是 ( )

A.(44,25) C.(25,45) [答案] D

B.(45,25) D.(24,44)

[分析] 归纳出质点到达点(n,n)处时,移动的单位长度及方向. [解析] 质点到达点(1,1)处,走过的单位长度是 2,接下来质点运动的方向与 y 轴方向 相反;

2

质点到达点(2,2)处,走过的单位长度是 6=2+4,接下来质点运动的方向与 x 轴方向相 反; 质点到达点(3,3)处,走过的单位长度是 12=2+4+6,接下来质点运动的方向与 y 轴方 向相反; 质点到达点(4,4)处,走过的单位长度是 20=2+4+6+8,接下来质点运动的方向与 x 轴方向相反; ?? 猜想: 质点到达点(n,n)处,走过的单位长度是 2+4+6+?+2n=n(n+1),且 n 为偶数时, 接下来质点运动的方向与 x 轴方向相反;n 为奇数时,接下来质点运动的方向与 y 轴方向相 反. 所以 2 000 秒后是指该质点到达点(44,44)后,继续移动了 20 个单位,由图中规律可得 该质点沿与 x 轴相反的方向前进了 20 个单位,即该质点所处位置的坐标是(24,44). 二、填空题 1 2 7 8 10 11 16 17 19 20 22 23 7.观察下列等式: + =1; + + + =12; + + + + + =39;?, 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3n+1 3n+2 3m-2 3m-1 则当 n<m 且 m, n∈N 时, + +?+ + =________.(最后结果用 m, 3 3 3 3

n 表示)
[答案] m -n
2 2

1 2 3×0+1 3×1-1 2 2 7 8 10 11 3×2+1 [解析] 将 + =1 变为 + =1 -0 ;将 + + + =12 变为 3 3 3 3 3 3 3 3 3 + 3×2+2 3×4-2 3×4-1 16 17 19 20 22 23 3×5+1 2 2 + + = 4 -2 ;将 + + + + + = 39 变为 + 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3×5+2 3×7-2 3×7-1 3×8-2 3×8-1 3n+1 3n+2 3m-2 2 2 + + + + =8 -5 ,所以 + +?+ 3 3 3 3 3 3 3 3 + 3m-1 2 2 =m -n . 3 8.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比 以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,________, 成等比数列. [答案]

T16 T12

T8 T12 , T4 T8

[解析] 对于等比数列,通过类比,在等比数列{bn}中前 n 项积为 Tn,则 T4=b1b2b3b4,

T8 T12 T16 T8=b1b2?b8,T12=b1b2?b12,T16=b1b2?b16,因此 =b5b6b7b8, =b9b10b11b12, =b13b14b15b16, T4 T8 T12

3

而 T4, ,

T8 T12 T16 T8 T12 T16 16 , 的公比为 q ,因此 T4, , , 成等比数列. T4 T8 T12 T4 T8 T12

9.观察下列的图形中小正方形的个数,则第 6 个图中有________个小正方形.

[答案] 28 [解析] 设第 n 个图中小正方形个数为 an, 则 a1=3,a2=a1+3=6,a3=a2+4=10,a4=a3+5=15,a5=a4+6=21,a6=a5+7=28. 10.如图所示,点 P 在已知三角形 ABC 的内部,定义有序实数对(μ ,υ ,ω )为点 P 关 △PBC的面积 △APC的面积 △ABP的面积 于△ABC 的面积坐标,其中 μ = ,υ = ,ω = ;若点 Q △ABC的面积 △ABC的面积 △ABC的面积 → 1→ 1→ 满足BQ= BC+ BA,则点 Q 关于△ABC 的面积坐标为________. 3 2

1 1 1 [答案] ( , , ) 2 6 3 → 1→ 1→ [解析] 由点 Q 满足BQ= BC+ BA可知 Q 到 BC, AC, AB 三边的距离分别是三边相应高的 3 2 1 1 1 1 1 1 , , ,所以 S△QBC= s,S△AQC= s,S△AQB= s(s 为△ABC 的面积).故点 Q 关于△ABC 的面积 2 6 3 2 6 3 1 1 1 坐标为( , , ). 2 6 3 三、解答题 11.在锐角三角形 ABC 中,求证:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC. [证明] ∵△ABC 为锐角三角形, π π ∴A+B> ,∴A> -B, 2 2 π ∵y=sinx 在(0, )上是增函数, 2 π ∴sinA>sin( -B)=cosB, 2 同理可得 sinB>cosC,sinC>cosA, ∴sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC. 12.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 13°+cos 17°-sin13°cos17°;
4
2 2

②sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°; ③sin 18°+cos 12°-sin18°cos12°; ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos48°; ⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 3 [答案] (1) 4 3 2 2 (2)sin α +cos (30°-α )-sinα ·cos(30°-α )= 4
2 2 2 2 2 2

2

2

[解析] (1)选择②式,计算如下: 1 2 2 sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°=1- sin30° 2 1 3 =1- = . 4 4 (2)法一:三角恒等式为 3 2 2 sin α +cos (30°-α )-sinα ·cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sinα ·cos(30°-α ) =sin α +(cos30°cosα +sin30°sinα ) -sinα ·(cos30°cosα +sin30°sinα ) 3 3 1 3 1 2 2 2 2 =sin α + cos α + sinα cosα + sin α - sinα cosα - sin α 4 2 4 2 2 3 3 2 2 = sin α + cos α 4 4 3 = . 4 法二:三角恒等式为 3 2 2 sin α +cos (30°-α )-sinα ·cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) = 1-cos2α 1+cos?60°-2α ? + -sinα ·(cos30°cosα +sin30°sinα ) 2 2
2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 3 1 2 = - cos2α + + (cos60°cos2α +sin60°sin2α )- sinα cosα - sin α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos2α + + cos2α + sin2α - sin2α - (1-cos2α ) 2 2 2 4 4 4 4

5

1 1 1 3 =1- cos2α - + cos2α = . 4 4 4 4 B 组 能力提升 1.(2015·西安八校联考)观察一列算式:1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4? 1,?,则式子 3?5 是第 ( A.22 项 C.24 项 [答案] C [解析] 两数和为 2 的有 1 个,和为 3 的有 2 个,和为 4 的有 3 个,和为 5 的有 4 个, 和为 6 的有 5 个,和为 7 的有 6 个,前面共有 21 个,3?5 为和为 8 的第 3 项,所以为第 24 项.故选 C. 2.(2015·福建漳州八校联考)设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,则 △ABC 的内切圆半径为 r= 2S .将此结论类比到空间四面体:设四面体 S-ABC 的四个面 a+b+c ) ) B.23 项 D.25 项

的面积分别为 S1,S2,S3,S4,体积为 V,则四面体的内切球半径为 r= ( A. C.

V S1+S2+S3+S4
3V S1+S2+S3+S4

B.

2V S1+S2+S3+S4 4V S1+S2+S3+S4

D.

[答案] C [解析] 本题主要考查类比推理,球的体积与表面积.设四面体的内切球的球心为 O, 则球心 O 到四个面的距离都是 r,所以四面体的体积等于以 O 为顶点,分别以四个面为底面 1 3V 的 4 个三棱锥体积的和.则四面体的体积为:V= (S1+S2+S3+S4)r,∴r= . 3 S1+S2+S3+S4 3.如图,将边长分别为 1,2,3 的正八边形叠放在一起,同一边上相邻珠子之间的距离为 1,若以此方式再放置边长为 4,5,6,?,10 的正八边形,则这 10 个正八边形镶嵌的珠子总 数是________.

[答案] 341 [解析] 边长为 1,2,3,?,10 的正八边形叠放在一起,则各个正八边形上的珠子数分 别为 8,2×8,3×8,?,10×8,其中,有 3 个珠子被重复计算了 10 次,有 2 个珠子被重复 计算了 9 次,有 2 个珠子被重复计算了 8 次,有 2 个珠子被重复计算了 7 次,有 2 个珠子被

6

重复计算了 6 次,?,有 2 个珠子被重复计算了 1 次,故不同的珠子总数为(8+2×8+3×8 8×9 +?+10×8)-(3×9+2×8+2×7+2×6+?+2×1)=440-(27+2× )=341, 故所求 2 总数为 341. 4.设 f(x)=3ax +2bx+c.若 a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证: (1)a>0 且-2< <-1; (2)方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个实根. [证明] (1)∵f(0)>0,f(1)>0, ∴c>0,3a+2b+c>0. 由 a+b+c=0,消去 b 得 a>c>0; 再由条件 a+b+c=0,消去 c 得 a+b<0 且 2a+b>0, ∴-2< <-1.
2

b a

b a

b 3ac-b b 2 (2)方法一:∵抛物线 f(x)=3ax +2bx+c 的顶点坐标为(- , ),-2< <- 3a 3a a
1 b 2 1,∴ <- < . 3 3a 3 又∵f(0)>0,f(1)>0, 而 f(- )=- 3a

2

b

a2+c2-ac <0, 3a
)与(- , 1)内分别有一个实根, 故方程 f(x)=0 在(0,1) 3a 3a

∴方程 f(x)=0 在区间(0, - 内有两个实根.

b

b

方法二:∵f(0)>0,f(1)>0, 1 3 1 而 f( )= a+b+c=- a<0, 2 4 4 ∴抛物线与 x 轴的两个交点落在区间(0,1)内, 即方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个实根. 方法三:∵Δ =4b -12ac=4(a +c -ac)>0, ∴方程 f(x)=0 有两个实根. 2b 设方程的两根为 x1,x2,由根与系数的关系得 x1+x2=- 3a >0,x1x2= >0,故两根为正. 3a 2b 又∵(x1-1)+(x2-1)=- -2<0, 3a
2 2 2

c

7

3a+2b+c (x1-1)(x2-1)= >0, 3a ∴两根均小于 1,命题得证. 5.如图所示,点 P 为斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 BB1 上一点,PM⊥BB1 交 AA1 于点 M,PN ⊥BB1 交 CC1 于点 N.

(1)求证:CC1⊥MN; (2)在任意三角形 DEF 中有余弦定理:DE =DF +EF -2DF·EFcos∠DFE. 拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所 成的二面角之间的关系式,并予以证明. [解析] (1)因为 PM⊥BB1,PN⊥BB1, 所以 BB1⊥平面 PMN,所以 BB1⊥MN. 又 CC1∥BB1,所以 CC1⊥MN. (2)在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,有 S ABB1A1=S BCC1B1+S ACC1A1-2SBCC1B1SACC1A1cosα , 其中 α 为平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所成的二面角.证明如下: 因为 CC1⊥平面 PMN, 所以上述的二面角的平面角为∠MNP. 在△PMN 中, 因为 PM =PN +MN -2PN·MNcos∠MNP, 所以 PM ·CC1=PN ·CC1+MN ·CC1-2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP, 因为 SBCC1B1=PN·CC1,SACC1A1=MN·CC1,SABB1A1=PM·BB1=PM·CC1, 所以 S ABB1A1=S BCC1B1+S ACC1A1-2SBCC1B1·SACC1A1cosα .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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