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2015届高考数学大一轮复习 课时训练24 三角函数的实际应用 理 苏教版



课时跟踪检测(二十四) 三角函数的实际应用
(分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.(2014· 苏州调研)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,选与塔底 B 在同一 水平面内的两个测点 C 与 D, 测得∠BCD=30° , ∠BDC=120° , CD=10 m, 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60° ,则塔高 AB=________ m. 2.如图,

为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 AB=50 m,BC=120 m,于 A 处测得水深 AD=80 m, 于 B 处测得水深 BE=200 m, 于 C 处测得水深 CF=110 m, 则∠DEF 的余弦值为________.

3.如图, 两座相距 60 m 的建筑物 AB, CD 的高度分别为 20 m、 50 m, BD 为水平面, 则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为________. 4.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷 出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北偏 东 30° 前进 100 m 到达点 B, 在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° , 则水柱的高度是________m. 5.(2014· 厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分 别为 a、b、c,其中 a 为最大边,如果 sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角 A 的 取值范围为________. 6.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60° ,再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10 米到位置 D,测得∠BDC=45° ,则塔 AB 的高是________. 7. (2013· 福建高考)如图, 在△ABC 中, 已知点 D 在 BC 边上, AD⊥AC, 2 2 sin∠BAC= ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 3 8.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成 45° 角,树干也倾斜为与地面成 75° 角, 树干底部与树尖着地处相距 20 m,则折断点与树干底部的距离是________ m. 9.在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向,距离 A 处( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船;在 A 处北偏西 75° 方向,距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走 私船.同时,走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私船沿什 么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间?

10.(2013· 江苏高考)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处 有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车 到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后, 再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m, 12 3 经测量,cos A= ,cos C= . 13 5 (1)求索道 AB 的长; (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范 围内?

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.如图,一艘船上午 9∶30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30° 的方向,之后 它继续沿正北方向匀速航行, 上午 10∶00 到达 B 处, 此时又测得灯塔 S 在它的北 偏东 75° 的方向,且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h. 2.(2013· 湖北八市联考)如图所示,已知树顶 A 离地面 21 米,树上另 2

11 3 一点 B 离地面 米,某人在离地面 米的 C 处看此树,则该人离此树 2 2 ________米时,看 A,B 的视角最大. 3.(2013· 盐城二模)如图, 在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛, 某旅游公司为方便游客,在 l 上设立了 A,B 两个报名点,满足 A,B, C 中任意两点间的距离为 10 km.公司拟按以下思路运作:先将 A,B 两 处游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A,B 两点),然后乘同一艘游轮前 往 C 岛.据统计,每批游客 A 处需发车 2 辆,B 处需发车 4 辆,每辆汽车每千米耗费 2 元, 游轮每千米耗费 12 元.设∠CDA=α,每批游客从各自报名点到 C 岛所需运输成本为 S 元. (1)写出 S 关于 α 的函数表达式,并指出 α 的取值范围; (2)问:中转点 D 距离 A 处多远时,S 最小?

4. (2013· 苏北四市二模)一走廊拐角处的横截面如图所示, 已知内壁 FG 和外壁 BC 都是 半径为 1 m 的四分之一圆弧,AB,DC 分别与圆弧 BC 相切于 B,C 两点,EF∥AB,GH∥ CD,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是 1 m. (1)若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M,N 分别在外壁 CD 和 AB 上,且木棒与内壁圆 弧相切于点 P.设∠CMN=θ rad,试用 θ 表示木棒 MN 的长度 f(θ); (2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值.

答 第Ⅰ卷:夯基保分卷



sin 120 ° 1.解析:在△BCD 中,由正弦定理得 BC= · 10=10 3.在 Rt△ABC 中,AB= sin 30° BCtan 60° =30(m). 答案:30 2.解析:如图所示,作 DM∥AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M. DF= MF2+DM2 = 302+1702 =10 298(m), DE= DN2+EN2 = 502+1202 =130(m), EF= ?BE-FC?2+BC2 = 902+1202=150(m). 在△DEF 中,由余弦定理,

DE2+EF2-DF2 1302+1502-102×298 16 得 cos ∠DEF= = = . 65 2DE×EF 2×130×150 16 答案: 65 3.解析:依题意可得 AD=20 10 (m),AC=30 5(m),又 CD=50(m), 所以在△ACD 中,由余弦定理得 AC2+AD2-CD2 cos∠CAD= 2AC· AD = ?30 5?2+?20 10?2-502 6 000 2 = = ,又 0° <∠CAD<180° , 2 2×30 5×20 10 6 000 2

所以∠CAD=45° ,所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45° . 答案:45° 4.解析:设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60° ,AC=h,AB= 100,BC= 3h,根据余弦定理得,( 3h)2=h2+1002-2· h· 100· cos 60° ,即 h2+50h-5 000 =0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 答案:50 5.解析:由题意得 sin2A<sin2B+sin2C, 再由正弦定理得 a2<b2+c2, 即 b2+c2-a2>0. b2+c2-a2 则 cos A= >0, 2bc π ∵0<A<π,∴0<A< . 2 π 又 a 为最大边,∴A> . 3 π π? 因此得角 A 的取值范围是? ?3,2?. π π? 答案:? ?3,2? 6.解析:在△BCD 中,CD=10,∠BDC=45° ,∠BCD=15° +90° =105° ,∠DBC= 30° , BC CD CDsin 45° AB = ,BC= =10 2.在 Rt△ABC 中 tan 60° = , sin 45° sin 30° sin 30° BC

AB=BCtan 60° =10 6. 答案:10 6 7.解析:因为 sin∠BAC= 2 2 ,且 AD⊥AC, 3

π ? 2 2 所以 sin? ?2+∠BAD?= 3 ,

2 2 所以 cos∠BAD= ,在△BAD 中,由余弦定理得, 3 BD= AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD = 2 2 ?3 2?2+32-2×3 2×3× = 3. 3

答案: 3 8.解析:如图,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为 A, 则∠ABO=45° , ∠AOB=75° ,所以∠OAB=60° . 由正弦定理知, AO 20 = , sin 45° sin 60°

20 6 解得 AO= m. 3 20 6 答案: 3 9.解:如图,设缉私船 t 小时后在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t,BD=10t. 在△ABC 中,AB= 3-1,AC=2, ∠BAC=120° . 利用余弦定理可得 BC= 6. 由正弦定理,得 AC 2 3 2 sin∠ABC= sin∠BAC= × = , BC 2 6 2 得∠ABC=45° ,即 BC 与正北方向垂直. 于是∠CBD=120° . 在△BCD 中,由正弦定理,得 BDsin∠CBD sin∠BCD= CD = 10t· sin 120° 1 = , 2 10 3t

得∠BCD=30° , ∴∠BDC=30° . 又 CD BC = , sin 120° sin 30°

10 3t 6 = 6,得 t= . 10 3

所以缉私船沿北偏东 60° 的方向能最快追上走私船,最少要花 10.解:(1)在△ABC 中, 12 3 因为 cos A= ,cos C= , 13 5 5 4 所以 sin A= ,sin C= . 13 5 从而 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) 5 3 12 4 63 =sin Acos C+cos Asin C= × + × = . 13 5 13 5 65 由正弦定理 AB AC = ,得 sin C sin B

6 小时. 10

AC 1 260 4 AB= · sin C= × =1 040(m). sin B 63 5 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d, 此时,甲行走了(100+50t) m,乙距离 A 处 130t m, 所以由余弦定理得 12 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)× =200(37t2-70t+50). 13 1 040 由于 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 130 35 故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 37 (3)由正弦定理 得 BC= BC AC = , sin A sin B

AC 1 260 5 · sin A= × sin B 63 13 65

=500(m). 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m), 还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min, 500 710 由题意得-3≤ v - ≤3, 50 1 250 625 解得 ≤v≤ , 43 14 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min, 1 250 625 乙步行的速度应控制在 , (单位:m/min)范围内. 43 14

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.解析:设航速为 v n mile/h, 在△ABS 中 1 AB= v,BS=8 2,∠BSA=45° , 2 1 v 2 8 2 由正弦定理得 = ,则 v=32. sin 30° sin 45° 答案:32 2.解析:过 C 作 CF⊥AB 于点 F, 设∠ACB=α,∠BCF=β,

21 11 由已知得 AB= - =5(米), 2 2 11 3 BF= - =4(米), 2 2 21 3 AF= - =9(米). 2 2 AF 9 则 tan(α+β)= = , FC FC BF 4 tan β= = , FC FC ∴tan α=[(α+β)-β] 9 4 - tan?α+β?-tan β FC FC = = 36 1+tan?α+β?tan β 1+ 2 FC = ≤ 36 FC+ FC 2 5 5 5 = . 12 36 FC· FC

36 当且仅当 FC= ,即 FC=6 时,tan α 取得最大值,此时 α 取得最大值. FC 答案:6 π 2π 3.解:(1)由题知在△ACD 中,∠CAD= ,∠CDA=α,AC=10,∠ACD= -α. 3 3 由正弦定理知

CD AD 10 = = , π 2π sin α ? ? sin -α 3 sin? 3 ? 2π ? 10sin? ? 3 -α? 5 3 即 CD= ,AD= , sin α sin α 所以 S=4AD+8BD+12CD =12CD-4AD+80 2π ? 60 3-40sin? ? 3 -α? sin α



+80

3-cos α π 2π? =20 3· +60? ?3<α< 3 ?. sin α 1-3cos α (2)S′=20 3· , sin2α 1 令 S′=0 得 cos α= . 3 1 当 cos α> 时,S′<0; 3 1 当 cos α< 时,S′>0, 3 1 所以当 cos α= 时,S 取得最小值, 3 2 2 此时 sin α= , 3 5 3cos α+5sin α 20+5 6 AD= = , sin α 4 20+5 6 所以中转点 D 距 A 处 km 时,运输成本 S 最小. 4 4.解:(1)如图,设圆弧 FG 所在的圆的圆心为 Q.过点 Q 作 CD 的 垂线,垂足为点 T,且交 MN 或其延长线于点 S,并连结 PQ,再过点 N 作 TQ 的垂线,垂足为 W.在 Rt△NWS 中,因为 NW=2,∠SNW=θ,所 2 以 NS= . cos θ 因为 MN 与圆弧 FG 相切于点 P, 所以 PQ⊥MN. 在 Rt△QPS 中,因为 PQ=1,∠PQS=θ, 1 1 所以 QS= ,QT-QS=2- . cos θ cos θ ①若 S 在线段 TG 上,则 TS=QT-QS.

TS QT-QS 在 Rt△STM 中,MS= = , sin θ sin θ QT-QS 因此 MN=NS+MS=NS+ ; sin θ ②若 S 在线段 GT 的延长线上, 则 TS=QS-QT. TS QS-QT 在 Rt△STM 中,MS= = , sin θ sin θ QS-QT 因此 MN=NS-MS=NS- sin θ QT-QS =NS+ . sin θ QT-QS f (θ)=MN=NS+ sin θ = = 2 2 1 + - cos θ sin θ sin θcos θ 2?sin θ+cos θ?-1? π? ?0<θ<2?. sin θcos θ

(2)设 sin θ+cos θ=t(1<t≤ 2). t2-1 则 sin θcos θ= , 2 4t-2 因此 f(θ)=g(t)= 2 . t -1 -4?t2-t+1? 4t-2 因为 g′(t)= ,所以 g′(t)<0 恒成立.因此函数 g(t)= 2 在 t∈(1, 2] ?t2-1?2 t -1 上是减函数,所以 g(t)min=g( 2)=4 2-2,即 MNmin=4 2-2. 所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处,则其长度的最大值为 4 2-2.



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