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高中数学课件



1.理解同角三角函数的基本关系式: ±α,

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

1.同角三角函数的基本关系

2.诱导公式
组数 一
2kπ+α (k∈Z)






r />五





π+α

-α

π-α

-α

+α

正弦

sinα

-sinα -sinα

sinα

cosα sinα

cosα

余弦

cosα

-cosα

cosα

-cosα

-sinα

组数













正切
口诀

tan

tan

- tan

- tan

函数名不变 符号看象限

函数名改变 符号看象限

即α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同 名函数值,前面加上一个把α看成 锐角 时原函数值的符号;

±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前 面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.

[思考探究]

诱导公式的记忆口决:奇变偶不变,符号看象限.其中
“奇、偶”与“符号”的含义是什么? 提示:“奇、偶”是指“k· ±α”(k∈Z)中k的奇偶性;“符号”

是把任意角α看作锐角时,原函数值的符号.

1.α是第四象限角,tanα=-

,则sinα等于

(

)

解析:由

得sin2α+

=1,

又∵sinα<0,∴sinα= 答案:D

2.sin330°等于

(

)

解析:sin330°=sin(360°-30°)=-sin30°=
答案:B

3.sin

π· cos

π· tan(-

)的值是

(

)

解析:原式=

答案:A

4.已知cos(
解析:

-α)=

,则sin(α-

)=

.

答案:

5.化简

.
解析:原式 =-sinα+sinα=0. 答案:0

运用基本关系式可以求解下列两类问题:
(1)已知某角的一个三角函数值,求该角的其他三角函数值; (2)运用它对三角函数式进行化简求值或证明.

[特别警示] 该部分高考命题难度不大,对公式的应用要求

准确、灵活,尤其是在利用平方关系sin2α+cos2α=1及其变
形形式sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α进行开方运算时,

要特别注意符号的判断.

已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=
(1)求tanα的值; (2)把 [思路点拨] 用tanα表示出来,并求其值.

[课堂笔记] (1)法一:联立方程

由①得cosα=

-sinα,

将其代入②,整理得 25sin2α-5sinα-12=0, ∵α是三角形内角,

法二:∵sinα+cosα= ∴(sinα+cosα)2=( ∴2sinαcosα=-

, ,

)2,即1+2sinαcosα= , = .

∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+

∵sinαcosα=-

<0且0<α<π,

∴sinα>0,cosα<0,∴sinα-cosα>0,

∴sinα-cosα=



保持题目条件不变,求:(1) (2)sin2α+2sinαcosα的值. 解:由例题可知tanα



1.α+2kπ(k∈Z),-α,π±α,

±α的三角函数值是

化简的主要工具.使用诱导公式前,要正确分析角的结构 特点,然后确定使用的诱导公式. 2.不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能

使用诱导公式的角,如:

等.

[特别警示] 对于-α-π,α- 要先把角化为-(π+α),-(

,使用诱导公式时, -α)的形式.

3.诱导公式的应用原则是:负化正,大化小,化到锐角为 终了.特殊角能求值则求值. 4.化简是一种不指定答案的恒等变形,化简结果要尽可能 使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出 值、无根式、无分式等.

化简:

[思路点拨]

[课堂笔记]
原式

1.解决给角求值问题的一般步骤为:

2.解决条件求值问题时,要注意发现所给值式和被求值式 的特点,寻找它们之间的内在联系,特别是角之间的联 系,然后恰当地选择诱导公式求解.

已知sin(π-α)-cos(π+α)= 列各式的值: (1)sinα-cosα;

(

<α<π).求下

(2)sin3(

-α)+cos3(

+α).

[思路点拨]

[课堂笔记] 由sin(π-α)-cos(π+α)= 得sinα+cosα= , ,



两边平方,得1+2sinα· cosα= 故2sinα· cosα=- .



<α<π,∴sinα>0,cosα<0.

(1)(sinα-cosα)2=1-2sinα· cosα

=1-(-

)=


. +α)=cos3α-sin3α

∴sinα-cosα= (2)sin3(

-α)+cos3(

=(cosα-sinα)(cos2α+cosα· sinα+sin2α) =- ×(1- )=- .

若将本例中条件
两式的值如何?

<α<π,改为-

<α<0,则

解:由已知sinα+cosα= 两边平方得:1+2sinα·cosα= 故2sinαcosα=

又-

<α<0,∴sinα<0,cosα>0,

∴sinα-cosα<0 (sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-(- ∴sinα-cosα=- )= .

sin3(

-α)+cos3(

+α)=cos3α-sin3α

=(cosα-sinα)(cos2α+cosα·sinα+sin2α)



高考对本节内容的考查主要集中在利用诱导公 式和同角三角函数基本关系求值上,2009年高考中

全国Ⅰ卷第1题,陕西卷第2题,北京卷第9题都能
代表高考对本节内容的考查方向.

[考题印证] (2009· 全国卷Ⅰ)sin585°的值为 ( )

【解析】
=- .

sin585°=sin(540°+45°)=-sin45°

【答案】

A

[自主体验] (2009· 北京高考)若sinθ=- 解析:由sinθ=- ,tanθ>0,则cosθ= .

<0,tanθ>0知θ是第三象限角.

故cosθ=- 答案:

.

1.cos(-

)的值是

(

)

解析:

答案:A

2.(2009· 辽宁高考)已知tanθ =2,则sin2θ +sinθ cosθ - 2cos2θ = ( )

解析:sin2θ +sinθ cosθ -2cos2θ

答案:D

3.已知cos(π+x)=

,x∈(π,2π),则tanx等于(

)

解析:cos(π+x)=-cosx= ∴cosx=- 此时sinx=- <0,∴x∈(π, ,∴tanx=

, ) .

答案:D

4.若θ ∈( 是 解析: .

),sin2θ =

,则cosθ -sinθ 的值

答案:

5.已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角, 则 · 2(π-α)= tan .

解析:∵方程5x2-7x-6=0的根为- ∴sinα=- ,

或2,

又α是第三角限角,

答案:

6.已知

=-1,求下列各式的值:

(1)1-3sinαcosα+3cos2α;

解:由

=-1?tanα=-tanα+6?tanα=3.

(1)1-3sinαcosα+3cos2α



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