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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量单元综合检测(四)理



单元综合检测(四)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 a 与 b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a-3b|等于 A. B. C. D.4 ( )

1.A 【解析】|a-3b|=

.

2. (2016·福建厦门一中期中考试) 已知 a·b=-12 为 A.12 B.6 C.3



,|a|=4,a 和 b 的夹角为 135°,则|b| ( D.3 )

2.B 【解析】由题意利用两个向量的数量积的定义可得 a·b=-12

=|a|·|b|cos

135°=4|b|·

,解得|b|=6.

3.若非零向量 a,b 满足|a|=

|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则 a 与 b 的夹角为

(

)

A.

B.

C.

D.π

3.A 【解析】∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0,即 3a2-2b2-a·b=0,即 a·b=3a2-2b2= b2,∴cos<a,b>= ,即<a,b>= .

4.如图所示,M,N 是函数 y=2sin(wx+φ )(ω >0)图象与 x 轴的交点,点 P 在 M,N 之间的图象上 运动,当△MPN 面积最大时

=0,则 ω =

(

)

1

A.

B.

C.

D.8

4.A 【解析】由图象可知,当 P 位于 M,N 之间函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)图象的最高点 时,△MPN 面积最大.又此时

=0,∴△MPN 为等腰直角三角形.过 P 作 PQ⊥x 轴于 Q,

∴|PQ|=2,则|MN|=2|PQ|=4,∴周期 T=2|MN|=8.∴ω =

.

5. (2016·兰州一中月考) △ABC 的外接圆圆心为 O,半径为 1,2



|

|=|

|,则向量

在向量

方向的投影为

(

)

A.

B.

C.-

D.-

5.A 【解析】∵2

,∴O,B,C 三点共线,∴AB⊥AC.∵|

|=|

|,∴∠

ABC=60°,∴向量

在向量

方向上投影为|

|·cos 60°= .

6.M 是△ABC 所在平面内一点,

=0,D 为 AC 中点,则

的值为 (

)

A.

B.

C.1

D.2

6.A 【解析】如图所示,∵D 是 AC 的中点,延长 MD 至 E,使得 DE=MD,∴四边形 MAEC 为平行 四边形,∴ ),∵

=0,∴

=-

)=-3

,∴

.

2

7. (2016·河南八市重点高中月考) 已知向量

与向量

的夹角为 θ ,|

|=3,|

|=2,设向量

,若

,则 θ 的大小为

(

)

A.

B.

C.

D.

7.C 【解析】因为

,所以

=0,即

)=0,整理得

=-3,因此 2×3×cos θ =-3? cos θ =- ,因为 0≤θ ≤π ,所以 θ =
8.已知 A,B,C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点 P 满足 ,则点 P 一定为三角形 ABC 的 A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB 边的中点 8.B 【解析】设 AB 的中点是 E,∵O 是三角形 ABC 的重心,∴

.

(

)

+2

).∵

=2

,∴

+4
心.

)= ×3

,∴P 在 AB 边的中线上,是中线的三等分点,不是重

9. (2016·福建泉州五校联考) 若点 M 是△ABC 所在平面内一点,且满足 则△ABM 与△ABC 的面积之比等于 A. B. C. D. (

, )

3

9.D 【解析】∵

,∴M,B,C 三点共线,过 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 D,过

点 M 作 AB 的垂线交 AB 于点 E,取 AH= AC,AN= AB,过点 H 作 AB 的垂线交 AB 于 F,∵

,∴

,即 AHMN 构成平行四边形,则 HF=ME,而 S△ABM∶

S△ABC=ME∶CD=HF∶CD=AH∶AC= ,∴△ABM 与△ABC 的面积之比为 1∶4.
10. (2016·江西师大附中、 临川一中联考) 已知点 C 为线段 AB 上一点,P 为直线 AB 外一点,PC 是∠APB 的角平分线,I 为 PC 上一点,满足



(λ >0),|

|-|
A.2

|=4,|
B.3

|=10,则

的值为 C.4 D.5

(

)

10.B 【解析】∵|

|=|

|=10,PC 是∠APB 的角平分线,又



(λ >0),即



,所以 I 在∠BAP 的角平分线上,

由此得 I 是△ABP 的内心,过 I 作 IH⊥AB 于 H,以 I 为圆心,IH 为半径,作△PAB 的内切圆,如 图,分别切 PA,PB 于 E,F,则|

|-|

|=4,|

|=10,|

|=|

|=

(|

|+|

|-|

|)=

[|

|-(|

|-|

|)]=3,在直角三角形 BIH 中,cos ∠

IBH=

,所以

=|

|cos ∠IBH=|

|=3.

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 4

11.已知向量 a=(1,2),b=(m,4),且 a∥(2a+b),则实数 m 的值为

.

11.2 【解析】2a+b=(2,4)+(m,4)=(2+m,8),由 a∥(2a+b)得 2×(2+m)=8,即 m=2. 12. (2016·安徽皖江名校联盟联考) 在平面直角坐标系内,已知

B(-3,-3

),C(3,-3

),H(cos a,sin a),则

的最大值为

.

12.6

+19 【解析】由题意得 B(-3,-3

),C(3,-3

),H(cos α ,sin α ),

=(cos

α +3,sin α +3

),

=(cos α -3,sin α +3

),∴

=(cos α +3,sin

α +3

)·(cos α -3,sin α +3

)=cos2α -9+sin2α +6

sin α +27=6

sin

α +19≤6

+19.

13.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( ⊥n,且 acos B+bcos A=csin C,则角 B= 13. 【解析】由 m⊥n 得 m·n=0,即

,-1),n=(cos A,sin A).若 m

.
cos A-sin A=0? tan A= ,又因为在三角形 ABC

中,0<A<π ,所以 A= .又由 acos B+bcos A=csin C 得 sin A cos B+sin B cos A=sin C,即得

2

sin(A+B)=sin C? sin C=sin C,在三角形 ABC 中,sin C>0,所以 sin C=1,即 C= ,因此
2 2

B=π -

.

14.如图,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上的点,∠CBA=60°,∠ABD=45°, 则 x+y 的值为

=x

+y

,

.

5

14.-

【解析】根据题意,以线段 AB 所在直线为 x 轴,以 O 为原点建立平面直角坐标系,

设圆的半径为 r,则有 A(-r,0),B(r,0),C

,D(0,r),所以

=(-r,0),

,即

解得

所以有 x+y=-

.

三、解答题(共 50 分) 15.(12 分)已知向量 a=(sin x,cos x),b=(sin x,sin x),c=(-1,0). (1)若 x= ,求向量 a,c 的夹角 θ ; (2)求函数 f(x)=a·b 的最大值. 15.【解析】(1)当 x= 时,a= ,

所以 cos θ =

=-

,因而 θ =

.

(2)f(x)=sin2x+sin x cos x=

(1-cos 2x+sin 2x)

=

sin

,

所以函数 f(x)的最大值是

.

16.(12 分) (2015·东北三省三校一模) 已知△ABC 的面积为 2,且满足 0<

≤4,设

的夹角为 θ . (1)求 θ 的取值范围;

6

(2)求函数 f(θ )=2sin2

cos 2θ 的取值范围.

16.【解析】(1)由题意可得

=cbcos θ ,cos θ >0,

∵△ABC 的面积为 2,∴ bcsin θ =2,sin θ >0,

变形可得 cb=

,0<θ < ,



=cbcos θ =

,

由 0<

≤4,可得 0<

≤4,

解得 tan θ ≥1,又∵0<θ < ,

∴向量夹角 θ 的范围为

.

(2)化简可得 f(θ )=2sin

2

cos 2θ

=2×

cos 2θ

=1+sin 2θ -

cos 2θ

=1+2sin

.

∵由(1)知 θ ∈

,∴2θ -

,

∴sin

,

∴1+2sin

∈[2,3], 7

∴f(θ )的取值范围为[2,3].
17.(13 分) (2015·宜春四校一模) 已知 p=(sin A,cos A),q=( cos A,-cos A)(其中 q≠0).

(1)若 0<A< ,方程 p·q=t-

(t∈R)有且仅有唯一解,求 t 的取值范围;

(2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对应边分别是 a,b,c,且 a=

,若 p∥q,求 b+c 的取值范围.

17.【解析】(1)依题意可得 t=p·q+

sin A cos A-cos2A+

sin 2A- cos

2A=sin

,

∵A∈

,∴- <2A-

.

再根据 t=p·q+ 有唯一解,可得- <t≤ 或 t=1.

(2)由 p∥q(其中 q≠0)得

=-1,即 tan A=-

,∴A=

.

再根据正弦定理可得 2R=

=1,

∴b+c=sin B+sin C=sin

,

由 <B+

,可得

<b+c≤1.

18.(13 分) (2015·安徽六校联考) 设 x 轴,y 轴正方向上的单位向量分别是 i,j,坐标平面上 点 An,Bn(n∈N*)分别满足下列两个条件:①

=j 且

=i+j;②

=3i 且

×3i.

(1)求

的坐标; 8

(2)若四边形 AnBnBn+1An+1 的面积是 an,求 an(n∈N )的表达式; (3)对于(2)中的 an,是否存在最小的自然数 M,对一切 n(n∈N ),都有 an<M 成立?若存在,求 M; 若不存在,说明理由. 18. 【解析】(1)
*

*

+…+

=j+(n-1)·(i+j)=(n-1)i+nj=(n-1,n),

+…+

=3i+

×3i+

×3i+…+

×3i=

×3i=

9-9×

n

,0 .
*

(2)由(1)可知 An(n∈N )在直线 y=x+1 上.设直线与 x 轴交点为 P,则 P(-1,0).

an=

=

×(n+1)-

×n

=5+(n-2)

.

(3)∵an-an+1= 5+(n-2)×

- 5+(n-1)×

=

(n-4)·

,

∴a1-a2<0,a2-a3<0,a3-a4<0,a4-a5=0,a5-a6>0,a6-a7>0,
即在数列{an}中,a4=a5=5+ 是数列的最大项,

∴存在最小的自然数 M=6,对一切(n∈N*)都有 an<M 成立.

9



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