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2014-2015学年广东省汕头市潮南区陈店实验学校高二(下)第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析



2014-2015 学年广东省汕头市潮南区陈店实验学校高二(下)第一 次月考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.函数 f(x)= +lg(1+x)的定义域是( ) C. (﹣1,1)∪(1,+∞) D. (﹣

A. (﹣∞,﹣1) B. (1,

+∞) ∞,+∞)

2.若 k∈R,则“k>3”是“方程 A. 充分不必要条件 C. 充要条件



=1 表示双曲线”的(



B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2

3.△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b) ﹣c =4,且 C=60°,则 ab 的值为 ( ) A. B.
3 2

C. 1

D.

4. 若 a>0, b>0, 且函数 ( f x) =4x ﹣ax ﹣2bx+2 在 x=1 处有极值, 则 ab 的最大值等于 ( A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 5. A. =( B. ) C. D.



6.如图,阴影部分的面积是(



A. 2

B. ﹣2

C.

D.

7.若 f(x)=﹣x+bln(x+2)在(﹣1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( A. D. (﹣∞,1)



8.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足一下三个条件: ①对于任意的 x∈R,都有 f(x+4)=f(x) ; ②对于任意的 x1,x2∈R,且 0≤x1≤x2≤2,都有 f(x1)<f(x2) ; ③函数的图象关于 x=2 对称; 则下列结论中正确的是( ) A. f(4.5)<f(7)<f(6.5) B. f(7)<f(4.5)<f(6.5) C. f(7) <f(6.5)<f(4.5) D. f(4.5)<f(6.5)<f(7)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 3 2 9.曲线 y=x +x ﹣1 在点 P(﹣1,﹣1)处的切线方程是 10.点 P 在曲线 是 .
n+1 *



上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为 α,则 α 的取值范围

11.设曲线 y=x (n∈N )在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,令 an=lgxn, 则 a1+a2+…+a99 的值为 . 12.用长为 18cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,则该 长方体的长、宽、高各为 时,其体积最大. 13.已知函数 f(x)=x ﹣3a x+a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范围 是 . 14.设函数 y=f(x)在(﹣∞,+∞)内有意义.对于给定的正数 k,已知函数 ,取函数 f(x)=3﹣x﹣e .若对任意的 x∈(﹣∞,+∞) , 恒有 f1(x)=f(x) ,则 k 的最小值为 .
﹣x

3

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若将 f(x)的图象向右平移 上的最大值和最小值. 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间 .

16.如图,四棱锥 E﹣ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,EC⊥平面 ABCD,AB= G 为 AC 与 BD 交点,F 为 EG 中点, (Ⅰ)求证:CF⊥平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 A﹣BE﹣D 的大小.

,CE=1,

17.已知数列{an}满足 a1= ,an﹣1+1=2an(n≥2,n∈N) . (1)证明数列{an﹣1}是等比数列,并求 an; 2 n n (2)若数列{bn}满足:2b1+2 b2+…2 bn=n?2 ,求数列{bn}的通项公式; * (3)令 cn=﹣2an?bn+(n+1) (n∈N ) ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 18.已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等 于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
2

19.已知 f(x)=

﹣(a+1)x +4x+1(a∈R)

(1)当 a=﹣1 时,求函数的单调区间; (2)当 a∈R 时,讨论函数的单调增区间; (3)是否存在负实数 a,使 x∈,函数有最小值﹣3? 20.设函数 f(x)=(1+x) ﹣ln(1+x) . (1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈时,不等式 f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 f(x)=x +x+a 在区间上恰好有两个相异的实根,求实数 a 的取值范围.
2 2 2

2014-2015 学年广东省汕头市潮南区陈店实验学校高二 (下)第一次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.函数 f(x)= +lg(1+x)的定义域是( ) C. (﹣1,1)∪(1,+∞) D. (﹣

A. (﹣∞,﹣1) B. (1,+∞) ∞,+∞) 考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用.

分析:根据题意,结合分式与对数函数的定义域,可得

,解可得答案.

解答: 解:根据题意,使 f(x)=

+lg(1+x)有意义,

应满足

,解可得(﹣1,1)∪(1,+∞) ;

故选:C. 点评:本题考查函数的定义域,首先牢记常见的基本函数的定义域,如果涉及多个基本函数, 取它们的交集即可.

2.若 k∈R,则“k>3”是“方程 A. 充分不必要条件 C. 充要条件



=1 表示双曲线”的(



B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

考点:双曲线的标准方程. 专题:压轴题. 分析:根据双曲线定义可知,要使方程表示双曲线 k﹣3 和 k+3 同号,进而求得 k 的范围即可 判断是什么条件. 解答: 解:依题意:“方程 ﹣ =1 表示双曲线”

可知(k﹣3) (k+3)>0,求得 k>3 或 k<﹣3, 则“k>3”是“方程 ﹣ =1 表示双曲线”的充分不必要条件.

故选 A. 点评:本题主要考查了双曲线的标准方程.解题时要注意讨论焦点在 x 轴和 y 轴两种情况. 3.△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b) ﹣c =4,且 C=60°,则 ab 的值为 ( ) A. B. C. 1 D.
2 2

考点:余弦定理. 专题:计算题;解三角形. 2 2 2 2 2 2 分析:将(a+b) ﹣c =4 化为 c =(a+b) ﹣4=a +b +2ab﹣4,又 C=60°,再利用余弦定理得 2 2 2 2 2 c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab 即可求得答案. 2 2 解答: 解:∵△ ABC 的边 a、b、c 满足(a+b) ﹣c =4, 2 2 2 2 ∴c =(a+b) ﹣4=a +b +2ab﹣4, 2 2 2 2 2 又 C=60°,由余弦定理得 c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab, ∴2ab﹣4=﹣ab, ∴ab= . 故选:A. 点评:本题考查余弦定理,考查代换与运算的能力,属于基本知识的考查. 4. 若 a>0, b>0, 且函数 ( f x) =4x ﹣ax ﹣2bx+2 在 x=1 处有极值, 则 ab 的最大值等于 ( A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
3 2



考点:函数在某点取得极值的条件;基本不等式. 专题:计算题. 分析:求出导函数,利用函数在极值点处的导数值为 0 得到 a,b 满足的条件;利用基本不等 式求出 ab 的最值;注意利用基本不等式求最值需注意:一正、二定、三相等. 2 解答: 解:∵f′(x)=12x ﹣2ax﹣2b, 又因为在 x=1 处有极值, ∴a+b=6, ∵a>0,b>0, ∴ ,

当且仅当 a=b=3 时取等号, 所以 ab 的最大值等于 9. 故选:D. 点评:本题考查函数在极值点处的导数值为 0、考查利用基本不等式求最值需注意:一正、二 定、三相等. 5. A. =( B. ) C. D.

考点:定积分. 专题:计算题. 分析:欲求 理即可求得结果. 解答: 解:∵ =(lnx﹣x + x )|1 =
﹣1 ﹣2

的值,只须求出被积函数的原函数,再利用积分中值定

2



故选 D. 点评:本小题主要考查定积分、定积分的应用、导数等基础知识,考查运算求解能力、化归 与转化思想.属于基础题. 6.如图,阴影部分的面积是( )

A. 2

B. ﹣2

C.

D.

考点:定积分在求面积中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析:利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积,然后计算. 解答: 解:由题意,结合图形,得到阴影部分的面积是 )| = ; =(3x﹣

故选 C. 点评:本题考查了利用定积分求封闭图形的面积;关键是正确利用定积分表示面积,然后计 算. 7.若 f(x)=﹣x+bln(x+2)在(﹣1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( A. D. (﹣∞,1) 考点:函数的单调性与导数的关系. 专题:计算题. )

分析:先求出函数 f(x)的导函数,根据函数的单调性与导函数符号的关系得到 ,在 x∈(﹣1,+∞)上恒成立,分离出 b 求出函数的最小值,得到 b 的范围. 解答: 解:因为 f(x)=﹣x+bln(x+2)在(﹣1,+∞)上是减函数, 所以 ,在 x∈(﹣1,+∞)上恒成立,

即 b≤x+2 在 x∈(﹣1,+∞)上恒成立, 由于 x+2>1, 所以 b≤1, 故选 C 点评: 本题考查已知函数的单调性求参数的范围,一般的处理方法是求出导函数,当函数 递增则导函数大于等于 0 恒成立; 当函数递增则导函数小于等于 0 恒成立. 8.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足一下三个条件: ①对于任意的 x∈R,都有 f(x+4)=f(x) ; ②对于任意的 x1,x2∈R,且 0≤x1≤x2≤2,都有 f(x1)<f(x2) ; ③函数的图象关于 x=2 对称; 则下列结论中正确的是( ) A. f(4.5)<f(7)<f(6.5) B. f(7)<f(4.5)<f(6.5) C. f(7) <f(6.5)<f(4.5) D. f(4.5)<f(6.5)<f(7) 考点:函数的周期性;函数单调性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用函数满足的三个条件,先将 f(4.5) ,f(7) ,f(6.5)转化为在区间上的函数值, 再比较大小即可. 解答: 解:由①③两个条件得:f(4.5)=f(0.5) ;f(7)=f(3)=f(1) ;f(6.5)=f(2.5) =f(1.5) , 根据条件②,0≤x1<x2≤2 时,都有 f(x1)<f(x2) ; ∴f(0.5)<f(1)<f(1.5) , ∴f(4.5)<f(7)<f(6.5) . 故选 A. 点评:本题考查函数的单调性、周期性及对称性. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 3 2 9.曲线 y=x +x ﹣1 在点 P(﹣1,﹣1)处的切线方程是 y=x . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用. 3 2 分析:求出曲线 y=x +x ﹣1 在点 P(﹣1,﹣1)处的导数值,这个导数值即函数图象在该点 处的切线的斜率,然后根据直线的点斜式方程求解即可. 3 2 解答: 解:因为 y=x +x ﹣1, 2 所以 y′=3x +2x,

曲线 y=x +x ﹣1 在点 P(﹣1,﹣1)处的切线的斜率为:y′|x=1=1. 此处的切线方程为:y+1=x+1,即 y=x. 故答案为:y=x. 点评:本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率,正确利用直线的点斜式方程,考 查计算能力.

3

2

10.点 P 在曲线

上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为 α,则 α 的取值范围是 .

考点:导数的运算;直线的倾斜角. 专题:计算题. 分析:根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数,再根据导数的取值范围求出 斜率的范围,最后再根据斜率与倾斜角之间的关系 k=tanα,求出 α 的范围即可. 2 解答: 解:∵tanα=3x ﹣1, ∴tanα∈上的最大值和最小值. 考点:三角函数的最值;三角函数的周期性及其求法. 专题:计算题;转化思想. 分析: (1)利用二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的 形式,即可求 f(x)的最小正周期; (2)将 f(x)的图象向右平移 值和最小值. 解答: 解: (1) = = = . (4 分) (2 分) 个单位,求出函数 g(x)的解析式,然后在区间上的最大

所以 f(x)的最小正周期为 2π. (6 分) (2)∵将 f(x)的图象向右平移 ∴ ∵x∈时, ∴当 当 ,即 时, , (10 分) ,g(x)取得最大值 1 分) ,g(x)取得最小值﹣3 分) 个单位,得到函数 g(x)的图象, = . (8 分)

,即 x=π 时,

点评:本小题主要考查了三角函数中诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式、三 角函数的性质和图象,以及图象变换等基础知识,考查了化归思想和数形结合思想,考查了运 算能力.

16.如图,四棱锥 E﹣ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,EC⊥平面 ABCD,AB= G 为 AC 与 BD 交点,F 为 EG 中点, (Ⅰ)求证:CF⊥平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 A﹣BE﹣D 的大小.

,CE=1,

考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定. 专题:计算题;证明题. 分析: (Ⅰ) 先用 BD 垂直于平面 ACE 证出 CF⊥BD, 在直角三角形 ECG 中证明 CF⊥EG, 即可由线面垂直的判定定理证明 CF⊥平面 BDE; (Ⅱ)本题作二面角的平面角不易作出,但图形的结构易于建立空间坐标系,故建立如图的空 间坐标系,求出两个平面的法向量由数量积公式求解二面角即可 解答: 解: (Ⅰ)证明:∵ABCD 为正方形, , ∴AC=2,AC⊥BD,则 CG=1=EC, ∵又 F 为 EG 中点,∴CF⊥EG. ∵EG⊥面 ABCD,AC∩BD=G,BD⊥平面 ECF, ∴CF⊥BDBD∩EG=G,∴CF⊥平面 BDE (6 分) (Ⅱ) 建立如图所示的空间直角坐标系 C (0, 0, 0) , , ,

所以符合题意的直线 l 不存在. 点评:本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函 数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.
2

19.已知 f(x)=

﹣(a+1)x +4x+1(a∈R)

(1)当 a=﹣1 时,求函数的单调区间; (2)当 a∈R 时,讨论函数的单调增区间; (3)是否存在负实数 a,使 x∈,函数有最小值﹣3? 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:计算题;分类讨论;导数的综合应用. 分析: (1)写出 a=﹣1 的函数解析式,再求导,分别令大于 0,小于 0,得到单调区间; (2)求出导数,分解因式,对 a 讨论,分 a=0,a<0,0<a<1,a=1,a>1 五种情况,求出 单调增区间;

(3)假设存在负实数 a,使 x∈,函数有最小值﹣3.再由 a≥﹣2,a≤﹣2,讨论单调区间,得 到最小值,再解出 a,检验,即可得到答案. 解答: 解: (1)当 a=﹣1 时,f(x)=﹣ x +4x+1,f′(x)=﹣x +4, 由 f′(x)<0,解得 x>2 或 x<﹣2; 由 f′(x)>0,解得﹣2<x<2, 故函数的单调减区间为: (﹣∞,﹣2) , (2,+∞) ,单调增区间为: (﹣2,2) ; (2)f′(x)=ax ﹣2(a+1)x+4=(ax﹣2) (x﹣2) , ①当 a=0,由 f′(x)>0 得到 x<﹣2,即增区间为(﹣∞,﹣2) ; ②当 a<0,f′(x)>0,得到 <x<2,即增区间为( ,2) ; ③当 0<a<1,f′(x)>0,得到 x> 或 x<2,即增区间为(﹣∞,2) , ( ,+∞) , ④当 a=1,f(x)=(x﹣2)2≥0,即增区间为(﹣∞,+∞) ; ⑤当 a>1,f′(x)>0,得到 x< 或 x>2,即增区间为(2,+∞) , (﹣∞, ) . (3)假设存在负实数 a,使 x∈,函数有最小值﹣3. 因 a<0,由②分两类(依据:单调性,极小值点是否在区间上是分类“契机”) : ①当 ≤﹣1?a≥﹣2,当 x∈时,不等式 f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 f(x)=x +x+a 在区间上恰好有两个相异的实根,求实数 a 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性;函数与方程的综合运用;利用导数求闭区间上函数的最 值. 专题:综合题;压轴题;导数的综合应用. 分析: (1)确定函数定义域,求导函数,利用导数的正负,可得 f(x)的单调区间; (2) 确定函数在上的单调性, 从而可得函数的最大值, 不等式, 即可求得实数 m 的取值范围; (3)方程 f(x)=x +x+a,即 x﹣a+1﹣ln(1+x) =0,记 g(x)=x﹣a+1﹣ln(1+x) .求导 2 函数,确定函数在区间上的单调性,为使 f(x)=x +x+a 在上恰好有两个相异的实根,只须 g (x)=0 在和(1,2]上各有一个实根,从而可建立不等式,由此可求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)函数定义域为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞) , 因为 = ,
2 2 2 2 2 3 2

由 f′(x)>0 得﹣2<x<﹣1 或 x>0,由 f′(x)<0 得 x<﹣2 或﹣1<x<0. ∴函数的递增区间是(﹣2,﹣1) , (0,+∞) ,递减区间是(﹣∞,﹣2) , (﹣1,0) . (2)由 f′(x)= 又 f( ﹣1)= =0 得 x=0 或 x=﹣2.由(1)知,f(x)在上递减,在上递增. +2,f(e﹣1)=e ﹣2,
2

∴ ∴e ﹣2>
2

=
2

>0
2

+2.所以 x∈时,max=e ﹣2.故 m>e ﹣2 时,不等式 f(x)<m 恒成立.

(3)方程 f(x)=x +x+a,即 x﹣a+1﹣ln(1+x) =0,记 g(x)=x﹣a+1﹣ln(1+x) . 所以 g′(x)=1﹣ = .

2

2

2

由 g′(x)>0,得 x<﹣1 或 x>1,由 g′(x)<0,得﹣1<x<1. 所以 g(x)在上递减,在上递增, 2 为使 f(x)=x +x+a 在上恰好有两个相异的实根,只须 g(x)=0 在和(1,2]上各有一个实根, 于是有

,∴



∴2﹣2ln2<a≤3﹣2ln3. 点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查恒成立问题,考查函数与方程思 想,属于中档题.



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