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2014-2015学年新疆阿克苏地区拜城县温州大学拜城实验高中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)



2014-2015 学年新疆阿克苏地区拜城县温州大学拜城实验高中高 二(下)第一次月考数学试卷(文科)
一.选择题(共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.已知 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,那么下列选项中一定成立的是( 2 2 A. ab>ac B. c(b﹣a)<0 C. cb <ab D. ac(a+c)<0

)<

br />
2.四边形 ABCD 是圆内接四边形,∠A,∠B,∠C 的度数之比为 2:3:6,则∠D 的度数 为( ) A. 45° B. 67.5° C. 112.5° D. 135° 3.复数 (i 为虚数单位)的虚部是( )

A. ﹣2 B. 2 C. ﹣i D. ﹣1 4.复数 z=i?(1+i) (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 )

5.下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ②设有一个回归方程 ③线性回归方程 = =3﹣5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位; x+ 必过( , ) ;
2

④在 2×2 列联中,由计算得 K =5.824 则有 97.5%的把握确认这两个变量间有关系; 其中错误的个数是( ) 本题可以参考独立性检验临界值表: 2 P(K ≥k) 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.25 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.535 7.879 10.828 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6.已知

=2+i,则复数 z=(



A. ﹣1+3i B. 1﹣3i C. 3+i D. 3﹣i 7.欲证 A. C. D. ,只需证( ) B.

8.某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为(



A. k>4? B. k>5? C. k>6? D. k>7? 9.观察式子:1+ A. 1+ + < ,1+ +…< + < ,1+ + + +… + < < ,…,则可归纳出式子为( )

B. 1+

C. 1+

+

+…



D. 1+

+

+…



10.若关于 x 的不等式|x﹣2|+|x+2|>a 的解是全体实数,则实数 a 的取值范围是( A. a<4 B. a>4 C. a>0 D. a<0



二.填空题(4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.函数 (x∈R )的最小值为
+



12.如图,AB 是⊙O 的直径,P 是 AB 延长线上的一点.过 P 作⊙O 的切线,切点为 C, PC=2 ,若∠CAP=30°,则⊙O 的直径 AB= .

13.若 a,b,c∈R ,且 a+b+c=1,则

+

的最大值是



14. 在△ ABC 中, ∠C=90°, CD 是斜边上的高, 已知 CD=60, AD=25, 求 BD=



三.解答题(本大题共 5 小题,共 64 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (12 分) (2015 春?温州校级月考)设 a,b,c∈(0,+∞) ,且 a+b+c=1,求证(1﹣a) (1﹣b) (1﹣c)≥8abc. 16. (12 分) (2015 春?温州校级月考)如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延 长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

17. (12 分) (2015 春?江津区校级月考)在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人.女性中有 43 人主要的休闲方式是看电视,另外 27 人主要 的休闲方式是运动; 男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视, 另外 33 人主要的休闲方式是 运动. (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关系. 18. (14 分) (2015 春?温州校级月考)某连锁经营公司所属 5 个零售店某月的销售额和利润 额资料如下表 商店名称 A B C D E 销售额 x(千万元) 3 5 6 7 9 利润额 y(千万元) 2 3 3 4 5 (1)求利润额 y 对销售额 x 的回归直线方程; (2)当销售额为 4(千万元)时,估计利润额的大小.

提示:

=

=



= ﹣



19. (14 分) (2015 春?温州校级月考)已知函数 f(x)=|x+1|+|x﹣2|. (1)若 f(x)<5 成立,求实数 x 的取值范围; 2 (2)若?x∈R 满足不等式 f(x)<a ﹣5a﹣3,求实数 a 取值范围.

2014-2015 学年新疆阿克苏地区拜城县温州大学拜城实 验高中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题(共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.已知 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,那么下列选项中一定成立的是( A. ab>ac B. c(b﹣a)<0 C. cb <ab D. ac(a+c)<0 考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,可得 a>0,c<0,于是 A.可得 ab﹣ac=a(b﹣c)>0. B.c(b﹣a)>0. C.取 b=0 时,即可判断出; D.由于 a+c 可能小于等于 0,可得 ac(a+c)≥0. 解答: 解:∵a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,∴a>0,c<0,可得: A.ab﹣ac=a(b﹣c)>0,正确. B.c(b﹣a)>0,不正确. C.取 b=0 时,不正确; D.∵a+c 可能小于等于 0,可得 ac(a+c)≥0,不正确. 故选:A. 点评: 本题考查了不等式的性质,属于基础题.
2 2



2.四边形 ABCD 是圆内接四边形,∠A,∠B,∠C 的度数之比为 2:3:6,则∠D 的度数 为( ) A. 45° B. 67.5° C. 112.5° D. 135° 考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 利用圆内接四边形的对角和为 180°求解. 解答: 解:∵圆内接四边形的对角和为 180°, 即∠A+∠C=4∠A=180°; 则∠A=45°, 则∠B=45°× =67.5°; 则∠D=180°﹣67.5°=112.5°; 故选:C. 点评: 考查了圆内接四边形的特征,属于基础题.

3.复数

(i 为虚数单位)的虚部是(



A. ﹣2 B. 2 C. ﹣i D. ﹣1 考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分子和分母进行乘 法运算,整理成最简形式,得到复数的虚部. 解答: 解:复数 = = =2﹣i,

∴复数的虚部是﹣1, 故选 D. 点评: 本题考查复数的基本概念,考查复数的实部和虚部,考查复数的乘除运算,本题是 一个基础题,若出现一定是一个必得分题目. 4.复数 z=i?(1+i) (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 化简复数 z,根据复数与复平面内点的对应关系可得答案. 解答: 解:z=i?(1+i)=﹣1+i, 故复数 z 对应的点为(﹣1,1) , 在复平面的第二象限, 故选 B. 点评: 本题考查复数的代数表示法及其几何意义,属基础题. 5.下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ②设有一个回归方程 ③线性回归方程 = =3﹣5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位; x+ 必过( , ) ;
2



④在 2×2 列联中,由计算得 K =5.824 则有 97.5%的把握确认这两个变量间有关系; 其中错误的个数是( ) 本题可以参考独立性检验临界值表: 2 P(K ≥k) 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.25 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.535 7.879 10.828 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 概率与统计.

分析: 整组数据整体做相同的变化,方差不变,得到①正确,根据回归方程



变量 x 增加一个单位时,y 平均减小 5 个单位,得到②不正确.根据根据线性回归直线一 定过样本中心点,得到③正确,根据 13.079>10.828 得到④不正确 解答: 解:①正确,方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加上或减 去同一个常数后,方差恒不变; ②一个回归方程 =3﹣5x,变量 x 增加 1 个单位时,y 平均减小 5 个单位;故②不正确, ③线性回归方程 = x+ 必过样本中心点,故③正确. ④有一个 2×2 列联表中,由计算得 K =5.824>5.024,则其两个变量间有关系的可能性是 97.5%,故④正确, 综上可知有两个说法是错误的, 故选:C. 点评: 本题考查命题的真假判断,涉及线性回归方程,考查独立性检验,考查方差的变化 特点,考查相关关系,是一个考查的知识点比较多的题目.
2

6.已知

=2+i,则复数 z=(



A. ﹣1+3i B. 1﹣3i C. 3+i D. 3﹣i 考点: 复数相等的充要条件. 分析: 化简复数直接求解,利用共轭复数可求 z. 解答: 解: 故选 B 点评: 求复数,需要对复数化简,本题也可以用待定系数方法求解. 7.欲证 A. C. D. ,只需证( ) B.

考点: 综合法与分析法(选修) . 专题: 计算题. 分析: 原不等式等价于 由此得到结论. 解答: 解:欲证 , 故选 C. 点评: 本题主要考查用分析法证明不等式,体现了转化的数学思想,属于中档题. ,只需证 < ,只需证 < ,故只需证 ,

8.某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为(



A. k>4? B. k>5? C. k>6? D. k>7? 考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是累加并输入 S 的值,条件框内的语句是决定是否结束循环,模拟执行程序即可得到答 案. 解答: 解:程序在运行过程中各变量值变化如下表: K S 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条件应为 k>4 故答案选 A. 点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程 序填空也是重要的考试题型, 这种题考试的重点有: ①分支的条件②循环的条件③变量的 赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解 流程图的含义而导致错误. 9.观察式子:1+ A. 1+ + < ,1+ +…< + < ,1+ + + +… + < < ,…,则可归纳出式子为( )

B. 1+

C. 1+

+

+…



D. 1+

+

+…



考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 根据所给的几个不等式归纳出左边、右边的规律,根据此规律结合答案项可归纳出 不等式. 解答: 解:由题意知, :1+ < ,1+ + < ,1+ + + < ,…,

观察可得:每个不等式的左边是正整数的倒数之和,且最后一项的分母是项数加 1, 右边是分数,且分母是项数加 1、分子是以 3 为首项、2 为公差的等差数列, ∴可归纳出不等式: (n≥2 且 n∈N ) ,
*

故选:C. 点评: 本题考查归纳推理,难点是根据能够找出数之间的内在规律,考查观察、分析、归 纳的能力,是基础题. 10.若关于 x 的不等式|x﹣2|+|x+2|>a 的解是全体实数,则实数 a 的取值范围是( A. a<4 B. a>4 C. a>0 D. a<0 )

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用绝对值的意义可得|x﹣2|+|x+2|的最小值为 4,且 4>a,从而得出结论. 解答: 解:由于|x﹣2|+|x+2|表示数轴上的 x 对应点到﹣2、2 对应点的距离之和,它的最小 值为 4, 关于 x 的不等式|x﹣2|+|x+2|>a 的解是全体实数, 故 4>a,即 a<4, 故选:A. 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转 化的数学思想,属于基础题. 二.填空题(4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.函数 (x∈R )的最小值为 4
+



考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵x>0,∴y=2x+ = ,当且仅当 x= 时取等号.

故答案为:4 . 点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 12.如图,AB 是⊙O 的直径,P 是 AB 延长线上的一点.过 P 作⊙O 的切线,切点为 C, PC=2 ,若∠CAP=30°,则⊙O 的直径 AB= 4 .

考点: 圆周角定理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据所给的条件判断三角形 ABC 是一个含有 30°角的直角三角形,得到直角边与斜 边的关系,即直角边与直径之间的关系,根据切割线定理写出关系式,把所有的未知量用直 径来表示,解方程得到结果. 解答: 解:连接 BC,设圆的直径是 x 则三角形 ABC 是一个含有 30°角的三角形, ∴BC= AB, 三角形 BPC 是一个等腰三角形,BC=BP= AB, ∵PC 是圆的切线,PA 是圆的割线, ∴PC =PB?PC= x? x=
2



∵PC=2 , ∴x=4, 故答案为:4 点评: 本题考查圆周角定理,考查切割线定理,考查含有特殊角的直角三角形的性质,是 一个综合题目,这种题目运算量比较小,是一个得分题目. 13.若 a,b,c∈R ,且 a+b+c=1,则
+

的最大值是



考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 2 分析: 因为( ) =a+b+c+2 +2 +2 ,由基本不等式可得 2 ≤a+b, 2 ≤b+c,2 ≤a+c,三式相加易得 与 a+b+c 的关系,解不等式即可. 2 + 解答: 解:∵( ) =a+b+c+2 +2 +2 ,a,b,c∈R , 又∵2 ≤a+b,2 ≤b+c,2 ≤a+c, 2 ∴( ) ≤3(a+b+c)=3, ∴ . 故答案为 . 点评: 利用基本不等式求最值是高考考查的重点内容,对不符合基本不等式形式的应首先 变形,然后必须满足三个条件:一正、二定、三相等. 14.在△ ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边上的高,已知 CD=60,AD=25,求 BD= 144 . 考点: 正弦定理.

专题: 解三角形. 分析: 由射影定理可得:CD =AD?BD,代入解出即可. 解答: 解:如图所示, 由射影定理可得: 2 CD =AD?BD, ∴ = =144.
2

故答案为:144.

点评: 本题考查了射影定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 三.解答题(本大题共 5 小题,共 64 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (12 分) (2015 春?温州校级月考)设 a,b,c∈(0,+∞) ,且 a+b+c=1,求证(1﹣a) (1﹣b) (1﹣c)≥8abc. 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由基本不等式可得 1﹣a=b+c≥2 ,1﹣b=a+c≥2 ,1﹣c=a+b≥2 的性质三个不等式相乘可得. 解答: 证明:∵a+b+c=1,a,b,c 都是正数; ∴1﹣a=b+c≥2 ,当且仅当 b=c 时取等号; 同理可得 1﹣b=a+c≥2 ,当且仅当 a=c 时取等号; 1﹣c=a+b≥2 ,当且仅当 a=b 时取等号; ∴(1﹣a) (1﹣b) (1﹣c)≥8abc,当且仅当 a=b=c 时取等号. 点评: 本题考查基本不等式和不等式的性质,属基础题.

,由不等式

16. (12 分) (2015 春?温州校级月考)如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延 长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

考点: 与圆有关的比例线段;弦切角. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: (Ⅰ)利用四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,可得∠D=∠CBE,由 CB=CE,可 得∠E=∠CBE,即可证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN,证明 AD∥BC,可得∠A=∠CBE,进而可得∠A=∠E, 即可证明△ ADE 为等边三角形. 解答: 证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠D=∠CBE, ∵CB=CE, ∴∠E=∠CBE, ∴∠D=∠E; (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC, ∴O 在直线 MN 上, ∵AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M, ∴OM⊥AD, ∴AD∥BC, ∴∠A=∠CBE, ∵∠CBE=∠E, ∴∠A=∠E, 由(Ⅰ)知,∠D=∠E, ∴△ADE 为等边三角形.

点评: 本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 17. (12 分) (2015 春?江津区校级月考)在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人.女性中有 43 人主要的休闲方式是看电视,另外 27 人主要 的休闲方式是运动; 男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视, 另外 33 人主要的休闲方式是 运动. (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关系. 考点: 独立性检验. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)根据共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人.女性中有 43 人主要的休 闲方式是看电视,另外 27 人的休闲方式是运动;男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视, 另外 33 人主要的休闲方式是运动.得到列联表.

(2)根据列联表中所给的数据做出观测值,把观测值同临界值进行比较得到有 97.5%的把 握认为性别与休闲方式有关系 解答: 解: (1)2×2 列联表如下 看电视 运动 总计 女性 43 27 70 男性 21 33 54 总计 64 60 124 …(6 分) (2)k = 所以有 97.5%的把握认为性别与休闲方式有关.…(12 分) . 点评: 独立性检验是考查两个分类变量是否有关系,并且能较精确的给出这种判断的可靠 2 程度的一种重要的统计方法,主要是通过 k 的观测值与临界值的比较解决的. 18. (14 分) (2015 春?温州校级月考)某连锁经营公司所属 5 个零售店某月的销售额和利润 额资料如下表 商店名称 A B C D E 销售额 x(千万元) 3 5 6 7 9 利润额 y(千万元) 2 3 3 4 5 (1)求利润额 y 对销售额 x 的回归直线方程; (2)当销售额为 4(千万元)时,估计利润额的大小.
2

提示:

=

=



= ﹣



考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据所给的这组数据,写出利用最小二乘法要用的量的结果,把所求的这些结 果代入公式求出线性回归方程的系数,进而求出 a 的值,写出线性回归方程. (2)根据上一问做出的线性回归方程,把 x=4 的值代入方程,估计出对应的 y 的值. 解答: 解: (1)∵ = (3+5+6+7+9)=6, = (2+3+3+4+5)=3.4,
2

xi =32+52+62+72+92=200,

xiyi=3×2+5×3+6×3+7×4+9×5=112,

∴ =

=

=0.5,

= ﹣0.5 =3.4﹣0.5×6=0.4 ∴回归直线方程为 =0.5x+0.4; (2)当 x=4 时, =0.5×4+0.4=2.4, ∴当销售额为 4(千万元)时,估计利润额 2.4 千万元. 点评: 本题考查线性回归方程的求法和应用,是一个基础题,这种题目解题的关键是求出 最小二乘法所要用到的量,数字的运算不要出错. 19. (14 分) (2015 春?温州校级月考)已知函数 f(x)=|x+1|+|x﹣2|. (1)若 f(x)<5 成立,求实数 x 的取值范围; (2)若?x∈R 满足不等式 f(x)<a ﹣5a﹣3,求实数 a 取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由条件利用绝对值的意义求得 f(x)<5 的解集. (2)由题意可得 fmin(x)<a ﹣5a﹣3,利用绝对值的意义求得则 fmin(x)=3,可得 3< 2 a ﹣5a﹣3,由此求得 a 的范围. 解答: 解: (1)函数 f(x)=|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到﹣1、2 对应点的距离之 和, 而﹣2 和 3 对应点到﹣1、 2 对应点的距离之和正好等于 5, 故不等式 f (x) <5 的解集为 (﹣ 2,3) . 2 2 (2)若?x∈R 满足不等式 f(x)<a ﹣5a﹣3,则 fmin(x)<a ﹣5a﹣3, 2 利用绝对值的意义求得 fmin(x)=3,可得 3<a ﹣5a﹣3, 求得 a<0 或 a>5. 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,函数的能成立问题,体现了转 化的数学思想,属于基础题.
2 2



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