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一道概率题的典型错误分析



中学数学研究

2007 年第 8 期

一道概 率题 的典型错误分 析
甘肃省永登县第二中学 (7 0 0 ) 张长雁‘ 3 3 2
笔者在讲解2007 年普通高等学校招生全 国统一考试(冲刺信息卷, 数学第一套) 中的20 题时, 大部分学生解法出现了 典型的错误, 现就 其分析如下, 以便澄清独立事件与互斤事件的

区 提高认识, 别, 培养分析问题、 解决问题的能
力.

概率; (2 )如果甲放弃了 第二次机会, 求乙选手获 胜的概率. 分析: ( 1 由已知每个数字出现的概率相 ) 等, 而所求的事件的对立事件为“ 甲得分大于

题目: 中央二台经济生活频道, 在主持人马

85 分而不超过 1 0 分”其概率为 0 ,

斌主持的“ 购物街” 目中, 栏 有一个幸运转盘游戏. 该游 戏规则是这样的: 一个木质 均匀的标有 20 等分数字格 的转盘, 乙两名入选观 甲、 众每人都有两次转动盘的 机会, 转盘停止时指针所指的两次数字之和为 该人的得分, 但超过 1 0 分按 0 分记; 且规定: 0 若某人在第一次所指的数字, 两人中得分多者 为优胜, 游戏进行中, 第一名选手甲通过一次转 动后, 指针所指的数字是85, 试回答以下问题: ( 1 如果甲 ) 选择第二次转动, 求甲得 0 分的

分概为一一 的率 1 品瑟

品故 得 ,甲 0

关键是(2) 的解法. 错解: 乙选手获胜包括乙转一次获胜和转 两次获胜, 则转一次所得的数字分别为90、 95、

1。 , 胜其 率 品而 两 获 为 0 时乙 , 为 , 次 胜 : 获 概 转
第一次转的数字为5、 、 、 85 共 17 种情 0 5 1 1 …、

况.而 一“‘况出 口 “!,率, ’ 、‘桨, , , 每 种门7。 现 概 ‘ 熹, 有 ’ “ 四 , ’ 情 山, 的 “ 为 共 切 第 “ 一 / 20 / 20 月
二次转动对 17 个数中的每一个数字对应三个

数刁’ 概 为 ’ 于 ‘ 次,动 曰互州 立 字 其.,率“熹, “~ ,, 转 相 独 , , “ / 20 由 这两 、 、7留’一 一 ’ 朴 乃 , 曰 / 一
然, 不露斧凿之迹, 令人耳目 一新, 拍案叫绝!

入手容易、 思路清晰和过程简捷的优势. 虽然掌 握导数方法需要花费一定的时间和精力, 磨 但“ 刀不误砍柴功” .

探 已 数x , 满足xZ十 Zx , 究: 知实 y 少= 求 尸少 的 值范围 取 . 例6 求5: = 1+ Zx + 3x2+ …+ 二二‘ 一 ‘ (提示: 由少二 一 妻。得:0镇x毛2, Zx xZ , (其中x 笋0, ) 1 令2= xZ x“ x 一 ), 少二 ( 2 xZ 利用导数求出2 的
二 一 _ (尹 1 ) 解析: 丫x 十xZ+ …+ 尸 = x 一 1
x时1一x
x 一1

最 得二 [ , ] ) 值, 任 花. 0

, 。 , ,。 27 : 、 。 ,

, 两边求导得: 1 + Zx + 3x2 + 二
一 一 1) (xn一 1

( 一 (x 肛 n一 二 仁n + 1)x” 1〕 1
为所求.

(x 一 1)2

评述:本题的常规解法是“ 错位相减法”这 ,
里构造 函 用导 来解显得很简洁、 新颖、 自

总之, 导数是高中新课程的新增内 它既 容, 是研究函数性态的有力工具, 又是对学生进行 理性思维训练的良 好素材. 对导数的深入研究, 不仅可以锤炼学生的思维, 同时也为学生健全 了多 位的知识体系, 符合高考命题改革的 向, 并为学生踏入高校的进一步学习奠定了基
础.
. 49

2007 年第 8 期

中学数学研究
4 00

故 两获 概 为 杀 转 次 胜的 率 桨又
石U 石U

, 则乙选

手胜概为 一 十 获 的率 尸品揣

1 11 40 0 ‘

赢” 是互斥事件, 乙第二次赢” 故“ 说明乙第一次 一定未赢, 而要在第二次赢, 所以“ 第一次转的 ’ 只 5 其 数字分别为 5、 、 、 是个必然事件 , 0 1 一 1

正解: 乙 选手获胜包括乙第一次赢和第二

概 为,尸 品 率 1故2 ‘
! 』

一 !

1 一 朽

二 .二 十

1

+

一 7 1

I j

次 不妨令乙 赢. 第一次赢的 概率为尸’ 1, 乙第二
次赢的概率为尸 则容易得到乙第一次赢的概 2,
3 一 率 尸 “ 2 ( 因乙第一次转动所得的数字为90、 , 0 时

}-

品 一. xl 品
而由题意知: 随机事件“ 乙转一次获胜” 和 “ 乙转两次获胜” 并非是互斥事件, 比如乙第一 次转90, 第二次转5, 说明“ 乙转两次获胜”但 , 这与“ 乙转一次获胜” 发生了矛盾, 因为只要第 一次转的数大于 85, 乙即可获胜, 就没必要转 第二次了. 故“ 乙转两次获胜” 实质上是进行 了 两次独立重复试验, 其为两个独立事件的积事 件,乙第二次赢” “ 是一个必然事件与随机事件 的积事件, 因此上述错解的原因是把事件“ 乙第 二次赢” 错认为事件“ 乙转两次获胜” 从集合 了 的观点考虑, 不妨令转两次所得的数字为数对 (二 y ) , , 乙转两次的 所有结果为 E,{(55 (51),1), 55 (8, 一05 (%1), 的0)}, 二 , , (5 5 。 , 51), , , 一 , ),0 , 二 ), 0 (9 ), 0 (1 10 (8
20 x, 2 0对

95 、 100

, 就可判定乙赢, 由等可能事件的概
, ,。 3 、
乙U

率 每 数 出 的 率 熹, 知 个 字 现 概 为 砍灼= 元夕常 ,
两次转动所得数分别为 泞 和 乳, 1 则乙第二次
赢的情形:
, _ _ _ _ _ _ _ _ 、 ., ,主 、 1 ,

当誉 5, 2一 90, 时 概 为 , 且分 85, 95 , 率 介 一
且 : 85, 概率为 入 白汀= 10, 宁= 80, 90 时, 丽; ‘
且 : 80, 概率 ; 当 占 = 15 , 誉= 75, 85 时, 1
为 、3

1 一 7 1

3 20 ’
l I

且 : 10, ; 当 芍 = 85, 泞二5, 15 时, 1
1 一 7 1

概 为 率兴

只。 。2=丽入 L

比 、。

3 、厂

+

由题意乙转两次得分超过 85 而获胜的结果为 乃 {(58),如(59),8),, (1, (8,(8 1),, 1二 , (5 ), 5 (1 0 (1 8), 卯 55 5, (8 1){ 5 , , 0, 05 0 )一 ), 0 5 5
17 又3 对

所以得到“ 乙转两次获胜” 的概率为 尸 = :
3 X 17 5 1 ,“ 二 、 、 * 、 _ 、 , 、 二小 二、 , 丈 芳子森 二寸长 而“ 六 , 乙在第一次未赢, 第二次赢” 20 X 20 400 ’” “ 卜/ ‘ ’ / ’ u’, ’ 朋 ‘ ‘ 丫 /‘ 一 / ’ 、 u 酬 一

,一 、 , 、、、 , , , 十 _ 、 ,* , , 。 。 3 故 自远 于 狄 胜 四桃 毕 厂= 厂1 十厂2 二二不 石. 1 U

剖析: 对于“ 乙转一次获胜” “ 和 乙第一次 即“ 赢” 应该是同一说法, 表示同一事件, 乙转一

的转两次试验的所有结果

E 二 ,(51),1),55 (8, 一59),,)}, Z {(55 , (5 5 。 , 51), , (8 10 ),0 , 二 ), 0 (8 5 5 0 (8
~ 一一一一 不飞 一 一 一— 而 一 ~

次 胜的 率 尸 品关 是乙 两 获 获 ”概 为 , , “转 次 一 键
胜” 乙第二次赢” 和“ 是否为相同事件? “ 乙转两次获胜” 实质上进行了两次独立重

“ 第二次赢” 结果为 乙 的 力 {(5,(5叩(59),,(1, (1, (舒), 1),, 2二 8), ),5 (1 8),8), 如 ,(8 0 (8 1)} 5 , , 0 0 0 5 0 )一 5 5, 5 5
17 交3对

复实验, 该事件包括“ 第一次转的数字分别为 5、 、 0 1 ……、 和“ 85 ’ 第二次转的数字对应第一次
所转的每个数字的三个数字” 是两个相互独立

所以“ 乙第二次赢” 的概率为尸 2

17 X 3 17 X ZO

3 20 ’

事件, 说明“ 第一次转的数字分别为 5、 、 0 1
……、 这个事件为随机事件, 乙转两次获 85” 则“

胜”、 二/、 ‘ 盖 火{众+ 众+ …十 {二 , 脚。 二 的概率为尸 “ ‘L ’ ” 命 。 1 : 20 ’Zo 20 20」

,,, ,小 、 _ J ,,, , ,

3

r l

‘1

,1 〕

矗瑟 时选获的率 “品 、, 乙手胜概为 一+ 此 过
5 一一 ( 40

区 别在于它们试验的总结果数不同, 前者400 个数对, 340 个数对. 仅仅由于几个字的不 后者 同, 而产生了 大相径庭的结果, 这些正是我们容 易忽视的地方, 提醒我们一定要仔细审题, 认真 琢磨题意, 分清那些包含在题 目中互斥事件和 独立事件的区别, 合理推算, 正确解答, 逐步培 养学生数学思维的深刻性和严密逻辑性, 提高
解决问题的能力,
作者现为西北师范大学 0 级教育硕士. 6

湍又 为乙一赢 L 因“第次” 和 “

乙第二次



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