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数学物理方法姚端正CH7作业解答


数理方法 CH7 作业解答 P119:习题 7.1 1.确定下列初值问题的解 (1) utt ? a 2u xx = 0 , u ( x,0) = 0 , ut ( x,0) = 1

解:由 D ' Alembert 公式,该问题的解为: u ( x, t ) = 1 x + at 1 1 ? dα = [ x + at ? ( x ? at )] = t ∫ x ? at 2a 2a u ( x,0) = x 3 , ut ( x,0) = x

(3) utt ? a 2u xx = 0 ,

解:由 D ' Alembert 公式,该问题的解为: 1 1 x + at u ( x, t ) = [( x + at )3 + ( x ? at )3 ] + αdα = x 3 + 3a 2t 2 x + tx 2 2a ∫x ? at 2.求解无界弦的自由振动,设弦的初始位移为 ? ( x ) ,初始速度为 ? a? ' ( x ) 解:由题意,该问题的定解问题为: utt ? a 2u xx = 0 , u ( x,0) = 0 , ut ( x,0) = ? a? ' ( x )

方程 utt ? a 2u xx = 0 的通解为: u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x ? at ) 将初始条件代入通解中,得到: f1 ( x ) + f 2 ( x ) = ? ( x ) af1 ' ( x) ? af 2 ' ( x) = ? a? ' ( x) ① ②联立解得: ? f1 ( x) = 0 ? ? f 2 ( x ) = ? ( x) 所以,该问题的特解为: u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x ? at ) = ? ( x ? at ) 3.求解弦振动方程的古沙问题 ?utt = u xx ? ?u ( x,? x) = ? ( x ), ?u ( x, x ) = ψ ( x ), ? ?∞ < x < ∞ ?∞ < x < ∞
① ② ③

① 即 f1 ( x) ? f 2 ( x) = ?? ( x) ②

解:方程 utt = u xx 的通解为: u ( x, t ) = f1 ( x + t ) + f 2 ( x ? t ) 将④式代入定解条件②得: f1 (0) + f 2 (2 x) = ? ( x )




1

将④式代入定解条件③得:

f1 (2 x ) + f 2 (0) = ψ ( x )



记 2 x = y ,则⑤ ⑥两式记为: f1 (0) + f 2 ( y ) = ? ( )

y ⑦ 2 y f1 ( y ) + f 2 (0) = ψ ( ) ⑧ 2 y f1 ( y ) = ψ ( ) ? f 2 (0) ⑨ 由 ⑦ ⑧两式解得: 2 y f 2 ( y ) = ? ( ) ? f1 (0) ⑩ 2 x+t x?t 所以 u ( x, t ) = f1 ( x + t ) + f 2 ( x ? t ) = ψ ( ) + ?( ) ? [ f 2 (0) + f1 (0)] 2 2 f1 (0) = ψ (0) ? f 2 (0) ,则得 f1 (0) + f 2 (0) = ψ (0) x+t x?t ) + ?( ) ? ψ (0) 2 2

在⑨式中,令 y = 0 ,得

所以, u ( x, t ) = f1 ( x + t ) + f 2 ( x ? t ) = ψ (
{或者,在⑩式中,令 y = 0 ,得 所以结果也可写为: u ( x, t ) = ψ ( P124:

f 2 (0) = ? (0) ? f1 (0) ,则得 f1 (0) + f 2 (0) = ? (0) x+t x?t ) + ?( ) ? ? (0) } 2 2

1.求解定解问题: ?utt ? a 2u xx = x + at ? (1) ?u ( x,0) = 0 ?u ( x,0) = 0 ? t 解:由冲量原理,原定解问题可转化为以下定解问题: ?vtt ? a 2 vxx = 0 ? ?v( x,τ ) = 0 ?v ( x,τ ) = x + aτ ? t 由 D ' Alembert 公式,该问题的解为:

v( x, t ;τ ) =

1 x + a (t ?τ ) (α + aτ ) dα = xt ? aτ 2 ? xτ + atτ ∫ 2a x ? a (t ?τ )

则由叠加原理,原定解问题的解为:
t t 1 1 u ( x, t ) = ∫ v ( x, t;τ )dτ = ∫ ( xt ? aτ 2 ? xτ + atτ )dτ = at 3 + xt 2 0 0 6 2

2

?u xx ? u yy = 8 ? (2) ?u ( x,0) = 0 ?u ( x,0) = 0 ? y 解:由冲量原理,原定解问题可转化为以下定解问题: ?v yy ? vxx = 0 ? ?v( x,τ ) = 0 ?v ( x,τ ) = ?8 ? y 由 D ' Alembert 公式,该问题的解为: v( x, y;τ ) = 1 x + a ( y ?τ ) ? 8dα =8τ ? 8 y 2 ∫x ? a ( y ?τ )
y y

则由叠加原理,原定解问题的解为:

u ( x, y ) = ∫ v( x, y;τ )dτ = ∫ (8τ ? 8 y )dτ = ?4 y 2
0 0

2.求解下列定解问题: ?utt = u xx + t sin x ? (1) ?u ( x,0) = 0 ?u ( x,0) = sin x ? t
解:令 u = u Ι + u ΙΙ

?u Ι tt = u Ι xx ? Ι ?u ( x,0) = 0 ?u Ι ( x,0) = sin x ? t
由 D ' Alembert 公式,

?u ΙΙtt = u ΙΙ xx + t sin x ? ΙΙ ?u ( x,0) = 0 ?u ΙΙ ( x,0) = 0 ? t

uΙ =

1 x+t sin αdα = sin x sin t 2 ∫x ? t 1 t 2 ∫0
t 0

由无界纯强迫振动解的公式,得

u ΙΙ =



x + ( t ?τ )

x ? ( t ?τ )

τ sin αdαdτ =

1 t {cos[ x ? (t ? τ )] ? cos[ x + (t ? τ )]}τdτ 2 ∫0
t 0

= ∫ sin x sin( t ? τ )τdτ = sin x ∫ sin( t ? τ )τdτ = t sin x ? sin x sin t
(上式最后一步用了分部积分法) 则 u = u + u = t sin x
Ι ΙΙ

3

?utt ? a 2u xx = x ? (3) ?u ( x,0) = 0 ?u ( x,0) = 3 ? t
解:令 u = u Ι + u ΙΙ

?u Ι tt ? a 2u Ι xx = 0 ? Ι ?u ( x,0) = 0 ?u Ι ( x,0) = 3 ? t
由 D ' Alembert 公式,

?u ΙΙtt ? a 2u ΙΙ xx = x ? ΙΙ ?u ( x,0) = 0 ?u ΙΙ ( x,0) = 0 ? t

uΙ =

1 x + at 3dα = 3t 2a ∫x ? at 1 t 2a ∫0

由无界纯强迫振动解的公式,得

u ΙΙ =



x + a ( t ?τ )

x ? a ( t ?τ )

αdαdτ =

t 1 t1 1 {[ x + a(t ? τ )]2 ? [ x ? a (t ? τ )]2 }dτ = ∫ x (t ? τ )dτ = xt 2 ∫ 0 0 2a 2 2

Ι ΙΙ 所以 u = u + u = 3t +

1 2 xt 2

4


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