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2012年高中精品教案集:2.4.2平面向量数量积的运算律



第 8 课时 §2.4.2 平面向量数量积的运算律
教学目的: 1.掌握平面向量数量积运算规律; 2.能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题. 教学重点:平面向量数量积及运算规律. 教学难点:平面向量数量积的应用 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪


内容分析: 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律,引导学生注意 数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的性质. ? 教学过程: 一、复习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的 夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ ,则数量 |a||b|cos?叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ≤π).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 3. “投影”的概念:作图 C

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为 直角时投影为 0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|. 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量.

1? e?a = a?e =|a|cos?;

2? a?b ? a?b = 0
a ?a

3? 当 a 与 b 同向时, = |a||b|; a 与 b 反向时, = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或 | a | ? a?b 当 a?b
a ?b | a || b |

4?cos? =

;5?|a?b| ≤ |a||b|

二、讲解新课: 平面向量数量积的运算律 1.交换律:a ? b = b ? a 证:设 a,b 夹角为?,则 a ? b = |a||b|cos?,b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a 2.数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 证:若 ? > 0,( ? a)?b = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?,a?( ? b) = ? |a||b|cos?, 若 ? < 0,( ? a)?b =| ? a||b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?, a?( ? b) =|a|| ? b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?. 3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c 在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c, ∵a + b (即 OB )在 c 方向上的 投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和,即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2 即:(a + b)?c = a?c +

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2, ∴c?(a + b) = c?a + c?b b?c 说明: (1)一般地,(a· )с≠a(b· b с) (2)a· b· с= с,с≠0

a=b
2 2

(3)有如下常用性质:a =|a| , (a+b) (с+d)=a· a· +b· b· с+ d с+ d (a+b) =a +2a· +b b 三、讲解范例: 例 1 已知 a、b 都是非零向量,且 a + 3b 与 7a ? 5b 垂直,a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角. 解:由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0 (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0 两式相减:2a?b = b2 代入①或②得:a2 = b2 设 a、b 的夹角为?,则 cos? =
a?b | a || b | ? b
2 2







① ②

?

1 2

∴? = 60?

2|b|

例 2 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 解:如图:平行四边形 ABCD 中, AB ? DC , AD ? BC , AC = AB ? AD ∴| AC |2= | AB ? AD | ? AB
2 2

? AD

2

? 2 AB ? AD

而 BD = AB ? AD


2 2

∴| BD |2= | AB ? AD | ? AB ∴| AC |2 + | BD |2 = 2 AB
2

? AD
2

2

? 2 AB ? AD

? 2 AD

= | AB | ? | BC | ? | DC | ? | AD |
2 2 2

2

例 3 四边形 ABCD 中, AB =a, BC =b, CD =с, DA =d,且a· =b· b с=с· = d

d· ,试问四边形 ABCD 是什么图形? a
分析: 四边形的形状由边角关系确定, 关键是由题设条件演变、 推算该四边形的边角量. 解:四边形 ABCD 是矩形,这是因为: 一方面:∵a+b+с+d=0,∴a+b=-(с+d) ,∴(a+b) =(с+d) 即|a| +2a· +|b| =|с| +2с· +|d| b d
2 2 2 2 2 2 2 2 2

由于a· =с· ,∴|a| +|b| =|с| +|d| ① b d 同理有|a| +|d| =|с| +|b| ② 由①②可得|a|=|с|,且|b|=|d|即四边形 ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形 ABCD 是平行四边形 另一方面,由a· =b· b с,有b(a-с)=0,而由平行四边形 ABCD 可得a=-с, 代入上式得b· a)=0,即a· =0,∴a⊥b也即 AB⊥BC. (2 b 综上所述,四边形 ABCD 是矩形. 评述:(1)在四边形中, AB , BC , CD , DA 是顺次首尾相接向量,则其和向量是零 向量,即a+b+с+d=0,应注意这一隐含条件应用; (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两 种关系. 四、课堂练习: 1.下列叙述不正确的是( ) B.向量的数量积满足分配律 D.a· 是一个实数 b )
2 2 2 2



A.向量的数量积满足交换律 C.向量的数量积满足结合律

2.已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为60° ,则(a+2b)· (a-3b)等于( A.72 B.-72 C.36 D.-36

3.|a|=3,|b|=4,向量 a+ A.平行

3 4

b 与 a-

3 4

b 的位置关系为( C.夹角为
?
3



B.垂直

D.不平行也不垂直


4.已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 150° ,则(a+b) = 5.已知|a|=2,|b|=5,a· b=-3,则|a+b|=______,|a-b|= 6.设|a|=3,|b|=5,且 a+λb 与 a-λb 垂直,则 λ= 五、小结(略) 六、课后作业(略) 七、板书设计(略) 八、课后记: . .

.



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