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2016年北京市春季会考数学模拟试题印



中医附中 2015~2016 第一学期高三数学文科月考
第一部分

2015 年 12 月 7 日

选择题(每题 3 分共 75 分)

姓名: 一、在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ? ) 3,5,6,8?, B ? ? 1,3,5?,那么 A ? B 等于(

A. ? B. ?6,8? C. ?3,5? D. ? 1,3,5,6,8? 1,6,8? 2 .已知过两点 A(?1,1), B(4, a) 的直线斜率为 1 ,那么 a 的值是( ) A. ? 6 B. ? 4 C. 4 D. 6 3. lg4+2lg5 的值为( ) A. 2 B. 5 C. 18 D. 20 4 .函数 f ( x) ? 2sin 3x ? cos3x 的最小正周期为( ) ? ? ? A. ? B. C. D. 2 3 6 2 ?1 5.函数 y ? e , y ? lg x, y ? cos x, y ? x 中,奇函数是( ) ?1 x A. y ? cos x B. y ? e C. y ? lg x D. y ? x
6.已知函数 f ( x ) ? ?

?2 x , x ? 0 ? ?2 x, x ? 0

,如果 f ( x0 ) ? 4 ,那么实数 x0 的值为(



A. 2 B. 0 C. 2 或 ?2 D. 1 或 ?2 7.为了解某停车场中车辆停放的状况,在工作日(周一至周五)期间随机选取了一天,对该停车场 内的 1000 辆汽车的停放时间进行了统计分析,绘制出车辆停放时间的频率分布直方图(如图所示) , 那么这 1000 辆汽车中停放时间不多于 ...4 小时的汽车有( ) 频率 0.2525 组距

0.0975 0.0490 0.0320 O 2 4 6 8 10 12 14 时间(小时)

A. 700 辆 B. 350 辆 C. 300 辆 D. 70 辆 8.盒子里装有大小完全相同且分别标有数字 1, 2,3, 4 的四个小球,从盒子里随机摸出两个小球,那么 事件“摸出的小球上标有的数字之和为 5”的概率是( )

1 1 2 C. D. 3 2 3 ? ? ? ? ? 9.已知平面向量 a ? (?1, 2), b ? (2, x) ,且 a ? b ? 0 ,那么 b 等于( )
A. B. A. 2 5 B. 5 C. 20 D. 5 10.已知某三棱锥的三视图如右图所示,那么三棱锥的体积是( ) A.

1 6

1 3

B. 1

C.

3 2

D.

9 2

11 在边长为 2 的正方形 ABCD 内随机取一点 P,那么点 P 到顶点 A 的距离大于 1 的概率是( A.



? 16 4 12.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? 1, b ? 7, B ? 60? ,那么 c 等于(
? 16
B. 1 ? C. D. 1 ? A. 1 B. 2 C. 3 13.函数 f ( x) ? 2 x ? 5 ? ln x 的零点所在的区间是( A. (1, 2) B. (2, 3) 14.已知函数 f ?x ? ? a ? sin x ,如果 f ?x ? 在区间 ?0, A.0 B.1 C.2 D. 4 ) D. (4,5) ) C. (3, 4)

?

? 4



? ?? ? 上的最大值为 3,那么 a 的值为( ? 2?
D.3

?x ? y ? 2 ? 0 ? 15 已知实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,那么目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值是( ) ? y?0 ? A. ? 6 B. ? 4 C. ? 2 D. 4 16. 在等比数列 ?an ? 中,a1 ? 1, a4 ? 8 ,那么 ?an ? 的前 5 项和是( ) A. ? 31 B . 15 C. 31 D. 63 x 2 17.函数 f ? x ? ? ? ?x ? 0? 的最小值是( ), 2 x 5 A.1 B.2 C. D.4 2 18 已知函数 f ( x) 是定义在 [?4,0) ? (0,4] 上的奇函数,当时, f ( x) 的图像 如图所示,那么 f ( x) 的值域是( ) O (?4,4) A. B. [?6,6] C. (?4,4) ? (4,6] D. [?6,?4) ? (4,6] 4 19.国际能源署研究发现,在 2000 年开始的未来三十年内,非水利的可再生能源的年发电量将比其他 任何燃料的年发电量增长都要快,其年平均增长率可达 6% ,设 2013 年某地区非水利的可再生能源 年发电量为 a 度,那么经过 12 年后,该地区非水利的可再生能源年发电量度数约为( ) 6 ( 1.06 ? 2 ) A. 2 a B. 3a C. 4 a D. 6 a x 2 20.给定函数① f ( x) ? 2 x ;② f ( x) ? 2 ;③ f ( x) ? x ;④ f ( x) ? log2 x .对于 f ( x) 定义域中 任意的 x1 , x2 ,满足等式“ f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”的函数的序号是( )
8 6 4 2 15 10 5 5 2 4 6

A.① B.② C.③ D.④ 21.执行如图所示的程序框图,如果输出 S=15,那么框图中①处关于 k 的不等式应为( A.k<2 B.k<3 C.k<4 D.k<5

)

22.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列四个命题: ①如果 m / /? , n ? ? ,那么 m / / n ;②如果 m ? ? , m ? ? ,那么 ? / / ? ; ③如果 ? ? ? , m ? ? ,那么 m / / ? ;④如果 ? ? ? , ? ? ? ? m, m ? n ,那么 n ? ? . 其中正确的命题是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 23 在 ?ABC 中,如果 AB ? 5, AC ? 3, BC ? 4 ,那么角 AB ? AC 等于: ( )

A. 9 ;

B. 12 ;

C. 15 ;

D. 20 .

24.如果两点(-1,1) , (0,-1)在直线 kx-y=0 的同一侧,那么实数 k 的取值范围是() A. ?? ?,?1? B. ?? 1,1? C. ?0, 2? D. ?1,??? 25.在直角坐标系 xOy 中,对于点 P(x,y) ,定义变换 ? :将点 P(x,y)变换为 P/(x/,y/) ,其 中? ( A.

? x? ? ax ? by (a,b 为常数) .如果变换 ? 将直线 y=2x 上的各点均变换为该点自身,则 a+b 等于 ? y ? ? ax ? by


3 4

B.

5 4

C.

9 4

D.

11 4

第二部分解答题 (本小题满分 5 分共 25 分) 26. (本小题满分 5 分) 在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .且

a ? 2 3 , b ? 2, A ?
的单调递增区间。

?

3

(1) 求角 B 的大小; (2) 如果函数 f ( x) ? sin x ? sin(x ? 2 B), 求函数 f ( x)

27. (本小题满分 5 分)如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,

E , F 分别为 AD, AB 的中点。 (1)求证: EF / /平面CB1D1 (2)求证:平面 CAAC 1 1 ? 平面CB 1D 1。
D1 C1 A1 B1

D E A F B

C

28. (本小题满分 5 分)已知 ?an ? 是等差数列,且 a2 ? ?10 , a4 ? ?4 .

?1? (I)数列 ?an ? 的前 5 项和 S n ? (II)数列 ?bn ? 满足 bn ? ? ? ?2?

an

, n ? N * ,求 bn 的最大值.

29. (本小题满分 5 分)已知直线 l 过点 P(0,8) ,与圆 C: x 2 ? y 2 ? 8 x ? 0 交于不同的两点 A,B. (I) |AB|的最大值为; (II)当点 A 为 PB 中点时,求直线 l 的方程.

2 30. (本小题满分 5 分)已知函数 f ( x) ? ax ? (2b ? 1) x ? a ? 2 ,其中 a, b ? R ,且 a ? 0 .

(I)当 a ? ?1 时,不等式 f (2x) ? 2 f ( x) 的解集为

3 1 ?b? 2 2 2 2 (III)当函数 f ( x) 在区间[3,4]上至少存在一个零点时,求 a ? b 的最小值.
(II)如果对于任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,证明: ?

姓名: 1

附加题:50 分 ) C 充分必要条件 D 既不充分也不必要 )

? ? c? os 2 ? ”的( 0 “s i n ”是“ c o s ?
B 必要不充分条件

A 充分不必要条件 2

已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0 ) 上横坐标为 6 的点到焦点的距离是 8, 则 p 的值为 ( A.2 B.4 C.8 D.16

3 已知双曲线 M 的焦点与椭圆 一条渐近线,那么 M 的方程为 A.
x2 y 2 ? ?1 18 9

x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同.如果直线 y ? ? 2x 是双曲线 M 的 25 16

B.

x2 y 2 ? ?1 9 18

C.

x2 y 2 ? ?1 6 3

D.

x2 y 2 ? ?1 3 6

4 i 是虚数单位,若复数 ?1 ? 2i ?? a ? i ? 是纯虚数,则实数 a 的值为

. .

x2 2 5 已知双曲线 2 ? y ? 1? a ? 0? 的一条渐近线为 a

3x ? y ? 0 ,则 a ?

6. (本小题满分 12 分) 某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况,随机对 100 名出租车 司机进行调查.调查问卷共 10 道题,答题情况如下表: 答对题目数

?0,8?

8

9

10

女 2 13 12 8 男 3 37 16 9 (Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于 9, 就认为该司机对新法规的知晓情况比较好, 试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率; (Ⅱ)从答对题目数少于 8 的出租车司机中任选出两人做进一步的调查,求选出的两人中 至少有一名女出租车司机的概率.

7(本小题 13 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? 4ln x , a ? R . 1 (Ⅰ)当 a ? 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性. 2



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