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On some transformations between positive self--similar Markov processes



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arXiv:math/0601243v1 [math.PR] 11 Jan 2006
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0

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0

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R ,?
+

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0≤s<∞

x ≥ 0,

? ? k ∈]0, ∞[ ??×? ??? × ?? ?????× ? ?? ???? ? ?? ? < ∞ ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ] ? ∞, 0[ ? ?? ? ×?????? ? ? ? ? ? inf 0≤s<∞ ξs × ] ? ∞, 0[, ? ?× 0 < ? ? ? ? ? P? , ? h??? ?× ??? ? ? ? ?? P]?∞,0[ , ? ? ? ×× ? ?? ? ?? ?. ? ? ×? P? × ? ?? ?? ? ×?? ? × ?? ? {0 < ζ } ? ?? ? ? ? ??? ? ??? ×× × ? ? ?? ? ? ? × ? ? ???? (Pt? , t ≥ 0),

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=

1 ?(x)

E]x?∞,0[ (f (ξt )?(ξt ))

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0

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? (ξ T ) 1{T <ζ } P]x?∞,0[ , ?(x)

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? ? 0 < c < ∞, ??×? ??? ×

x > 0,
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?? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?
]?∞,0[ P? ( · | ξT]?∞,0[ = 0). x = Px

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× ?? ? ? ? ?? ?

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? 0.

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1 V ]0, ∞[
ξ ]0,∞[

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×

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]0,∞[

E (F (ξs , 0 ≤ s < ρ)) = =
]0,∞[

daγe?γa E? a (F (ξs ? a, 0 ≤ s < ζ )) daγe?γa E]a?∞,0[ F (ξs ? a, 0 ≤ s < ζ ) | T]?∞,0[ < ∞ da E F ξs , 0 ≤ s < T]?∞,?a[ , T]?∞,?a[ < ∞


]0,∞[

=
]0,∞[

daγe?γa E F ξs , 0 ≤ s < T]?∞,?a[ e ,

?γξT]?∞,?a[

, T]?∞,?a[ < ∞

= E↓ F ξs , 0 ≤ s < T]?∞,?e[
? ? P↓ ? e ? × ??? ? ?×?

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?? ??? ? ? ?? ×? ??

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E

e/λ

(F (ξs ? Iρ , 0 ≤ s < ρ)) =
0 ∞

dtλe?λt E (F (ξs ? Igt , 0 ≤ s < gt ))
t

=
0

dtλe?λt E
0 ∞

dLu F (ξs ? Iu , 0 ≤ s < u) N (t ? u < ζ )

=E
0

dLu e?λu F (ξs ? Iu , 0 ≤ s < u) N (1 ? e?λζ ).
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? λ ? ? ?? ?? ? ?

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E (F (ξs ? ξρ? , 0 ≤ s < ρ)) ,
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E
0

dLu F (ξs ? Iu , 0 ≤ s < u) N (ζ = ∞).

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E
0

dLu F (ξs ? Iu , 0 ≤ s < u)
???? ? ??

=
]0,∞[

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E(eγξ1 ) = eq ,

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?→0

(ii)

Ft ∈ Gt , t ≥ 0.

(iii)

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lim ??x (Ft ∩ {t < T0 }| inf Xt < ?) = ??↓ x (F ),
?→0 0≤t<T0

Ft ∈ Gt , t ≥ 0.

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?∞

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?∞

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ye?y L(dy ) < ∞,
?∞

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Z ? (y ) =
R

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y ∈ R,

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∞ 1 ∞

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?∞ 0

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1

?λt

E
?∞

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y →∞

????
y →∞

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z ? (y ? x)U ? (dx) =
R

1 ??



z ? (x)dx =
?∞

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?→0

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?→0+

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0≤s≤e

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