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天津市和平区2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析



2014-2015 学年天津市和平区高一(上)期中数学试卷
一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 1. (3 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},则?UA=() A.{1,2} B.{2,4,5} C.{2,3,4} D.{2,4} 2. (3 分)下列对应法则中,能建立从集合 A={1,2,3,4,5}到集合 B={0,

3,8,15,24} 的映射的是() 2 2 2 2 A.f:x→x ﹣x B.f:x→x ﹣1 C.f:x +1 D.f:x→x+(x﹣1) 3. (3 分)下列各式中恒成立的是() A. =a
5

B.

=

C.

=

D.

=

4. (3 分)设 f(x)=2x﹣3,g(x+2)=f(x) ,则 g(x)=() A.2x+1 B.2x+3 C.2x﹣7 5. (3 分)满足不等式 a >(﹣3) 的实数 a 的取值范围是() A.(﹣3,+∞) B.(﹣∞,﹣3) C.(3,+∞)
3 3

D.2x﹣3

D.(﹣3,3)

6. (3 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的函数是() 3 2 A.y=x B.y=﹣x +1 C.y=|x|+1 D.y= 7. (3 分)若 0<m<n<1,则() A.3 <3
n m

B.logm4<logn4

C.log5m<log5n

D.



8. (3 分)若函数 f(x)=loga(x+1)的定义域和值域都为[0,1],则 a 的值为() A.2 B. C. 3 D.

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 9. (4 分)若 log23?log34?log4m=log3 ,则 m=. 10. (4 分)用“二分法”求方程 2 +3x﹣7=0 在区间[1,3]内的根,取区间的中点为 x0=2,那么 下一个有根的区间是.
x

11. (4 分)设 f(x)是 R 上的函数,且满足 f(0)=1,并且对于任意的实数 x,y 都有 f(x ﹣y)=f(x)﹣y(2x﹣y+1)成立,则 f(x)=. 12. (4 分)函数 f(x)=a 13. (4 分)函数
x﹣1

+3 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是. 的最小值为.

14. (4 分)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增, 2 若 f(lg2?lg50+(lg5) )+f(lgx﹣2)<0,则 x 的取值范围为.

三、解答题(共 6 小题,满分 52 分) 15. (8 分)已知集合 A={x|x ﹣ax+a ﹣19=0},集合 B={x|x ﹣5x+6=0},C={x|x +2x﹣8=0}. (1)若 A∩B=A∪B,求 a 的值; (2)若??A∩B,A∩C=?,求 a 的值. 16. (8 分)已知函数 f(x)=x +bx+c,且 f(1)=0. (1)若函数 f(x)是偶函数,求 f(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,求函数 f(x)在区间[﹣1,3]上的最大值和最小值; (3)要使函数 f(x)在区间[﹣1,3]上单调递增,求 b 的取值范围.
2 2 2 2 2

17. (9 分)已知函数 f(x)=

(Ⅰ)求 f(﹣2) ,f(f(﹣ ) ) ; (Ⅱ)若 f(a)=3,求 a 的值; (Ⅲ)在给定的平面直角坐标系内,画出函数 f(x)的图象; (Ⅳ)求 f(x)在区间[﹣2,3]上的单调区间及值域.

18. (9 分)已知函数 f(x)=x( (Ⅰ)判断函数 f(x)的奇偶性; (Ⅱ)证明 f(x)>0; (Ⅲ)若 f(x)?f(﹣x)=

) .

x ,求 x 的值.

2

19. (9 分)已知函数 y=g(x)与 f(x)=loga(x+1) (a>1)的图象关于原点对称. (1)写出 y=g(x)的解析式; (2)若函数 F(x)=f(x)+g(x)+m 为奇函数,试确定实数 m 的值; (3)当 x∈[0,1)时,总有 f(x)+g(x)≥n 成立,求实数 n 的取值范围.

20. (9 分)已知函数 f(x)=



(Ⅰ)判断函数 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性; 2 (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)﹣kx (k∈R)有四个不同的零点,求实数 k 的取值范围.

2014-2015 学年天津市和平区高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 1. (3 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},则?UA=() A.{1,2} B.{2,4,5} C.{2,3,4} D.{2,4} 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由全集 U 及 A,求出 A 的补集即可. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5}, ∴?UA={2,4}. 故选:D. 点评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键. 2. (3 分)下列对应法则中,能建立从集合 A={1,2,3,4,5}到集合 B={0,3,8,15,24} 的映射的是() A.f:x→x ﹣x
2

B.f:x→x ﹣1

2

C.f:x +1

2

D.f:x→x+(x﹣1)

2

考点: 映射. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 观察所给的四个选项,主要观察是否符合映射的概念,对于 A 选项,元素 1 在 B 中 没有元素与它对应,对于 B 选项,A 中的每一个元素在 B 中都有唯一的元素对应,得到答案. 解答: 解:对于选项 A,当 x=2 时 y=2?B,故 A 不对; 对于选项 B,当 x=1 时,y=0∈B; 当 x=2 时,y=3∈B; 当 x=3 时,y=8∈B; 当 x=4 时,y=15∈B; 当 x=5 时,y=24∈B 故选项 B 对; 故选 B. 点评: 本题考查映射的意义,本题解题的关键是抓住映射的定义,在集合 A 中的每一个元 素在集合 B 中都有唯一的元素和它对应, 本题是一个基础题. 3. (3 分)下列各式中恒成立的是()

A.

=a

5

B.

=

C.

=

D.

=

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用根式与分数指数幂的互化,对四个选项分别分析. 解答: 解:对于选项 A, ;

对于选项 B,

=

=

=



对于选项 C, 对于选项 D,

; ;

故选 D. 点评: 本题考查了分数指数幂与根式的化简,化简分数指数幂,一般化为根式形式化简, 属于基础题. 4. (3 分)设 f(x)=2x﹣3,g(x+2)=f(x) ,则 g(x)=() A.2x+1 B.2x+3 C.2x﹣7

D.2x﹣3

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由复合函数的解析式的求解,整体代入化简可得. 解答: 解:因为 f(x)=2x﹣3,g(x+2)=f(x) ,所以 g(x+2)=f(x)=2x﹣3=2(x+2) ﹣7, 所以 g(x)=2x﹣7, . 故选:C. 点评: 本题考查函数解析式的求解,涉及复合函数的解析式,属基础题. 5. (3 分)满足不等式 a >(﹣3) 的实数 a 的取值范围是() A.(﹣3,+∞) B.(﹣∞,﹣3) C.(3,+∞)
3 3

D.(﹣3,3)

考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 3 3 3 分析: 由函数 f(x)=x 为定义在 R 上的增函数,结合不等式 a >(﹣3) ,可得实数 a 的 取值范围. 3 解答: 解:∵函数 f(x)=x 为定义在 R 上的增函数, 3 3 ∴若 a >(﹣3) , 则 a>﹣3,

故实数 a 的取值范围是(﹣3,+∞) , 故选:A 点评: 本题考查的知识点是幂函数的单调性,其中理解函数 f(x)=x 为定义在 R 上的增函 数,是解答的关键. 6. (3 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的函数是() A.y=x
3 3

B.y=﹣x +1

2

C.y=|x|+1

D.y=

考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数,二次函数,绝对值函数的图象和性质,逐一分析四个答案中函数的单 调性和奇偶性,可得答案. 解答: 解:A 中,函数 y=x 为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,不满足条件; 2 B 中,函数 y=﹣x +1 为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,满足条件; C 中,函数 y=|x|+1 为偶函数,在(0,+∞)上单调递增,不满足条件; D 中,函数 y= 为非奇非偶函数,在(0,+∞)上单调递增,不满足条件; 故选:B 点评: 本题考查的知识点是幂函数,二次函数,绝对值函数的图象和性质,熟练掌握幂函 数,二次函数,绝对值函数的图象和性质,是解答的关键. 7. (3 分)若 0<m<n<1,则() A.3 <3
n m 3

B.logm4<logn4

C.log5m<log5n

D.



考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数与指数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵0<m<n<1, ∴log5m<log5n. 故选:C. 点评: 本题考查了对数函数与指数函数的单调性,属于基础题. 8. (3 分)若函数 f(x)=loga(x+1)的定义域和值域都为[0,1],则 a 的值为() A.2 B. C. 3 D.

考点: 对数函数的值域与最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分当 a>1 和 0<a<1 两种情况,分别利用函数的单调性和已知条件,求得 a 的值. 解答: 解:当 a>1 时,由函数 y=loga(x+1)的定义域和值域都为[0,1], 可得当 x=1 时,函数取得最大值为 loga2=1,解得 a=2. 当 0<a<1 时,由条件可得当 x=1 时,函数取得最小值为 loga2=0,a 无解. 综上可得,a=2, 故选:A.

点评: 本题主要考查函数的定义域、值域、单调性的应用,属于基础题. 二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 9. (4 分)若 log23?log34?log4m=log3 ,则 m= 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ 化为 lgm= ,



对数的运算性质. 函数的性质及应用. 利用对数的换底公式、对数的运算法则即可得出. 解:∵log23?log34?log4m=log3 , ,

∴m=2 . 故答案为:2 . 点评: 本题考查了对数的换底公式、对数的运算法则,属于基础题. 10. (4 分)用“二分法”求方程 2 +3x﹣7=0 在区间[1,3]内的根,取区间的中点为 x0=2,那么 下一个有根的区间是(1,2) . 考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 计算题. 分析: 方程的实根就是对应函数 f(x)的零点,由 f(2)>0,f(1)<0 知,f(x)零点 所在的区间为(1,2) . 解答: 解:设 f(x)=2 +3x﹣7, f(1)=2+3﹣7<0,f(3)=10>0, f(2)=3>0, f(x)零点所在的区间为(1,2) x ∴方程 2 +3x﹣7=0 有根的区间是(1,2) , 故答案为: (1,2) . 点评: 本题考查用二分法求方程的根所在的区间的方法,方程的实根就是对应函数 f(x) 的零点,函数在区间上存在零点的条件是函数在区间的端点处的函数值异号.属基础题. 11. (4 分)设 f(x)是 R 上的函数,且满足 f(0)=1,并且对于任意的实数 x,y 都有 f(x ﹣y)=f(x)﹣y(2x﹣y+1)成立,则 f(x)=x +x+1. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: 由对于任意的实数 x,y 都有 f(x﹣y)=f(x)﹣y(2x﹣y+1)成立可令 x=0 可得, 2 f(﹣y)=y ﹣y+1,进而可求 f(x) 解答: 解:∵对于任意的实数 x,y 都有 f(x﹣y)=f(x)﹣y(2x﹣y+1)成立 2 令 x=0 可得,f(﹣y)=f(0)﹣y(﹣y+1)=y ﹣y+1 2 2 ∴f(x)=x ﹣(﹣x)+1=x +x+1
2 x x

故答案为:x +x+1 点评: 本题主要考查了利用赋值法及配凑法求解函数的解析式,属于基础性试题. 12. (4 分)函数 f(x)=a
x﹣1

2

+3 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是(1,4) .

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 综合题. 分析: 通过图象的平移变换得到 f(x)=a 得到 f(x)恒过(1,4) 解答: 解:f(x)=a 移 3 个单位而得到,
x x﹣1 x﹣1

+3 与 y=a 的关系,据 y=a 的图象恒过(0,1)
x

x

x

+3 的图象可以看作把 f(x)=a 的图象向右平移一个单位再向上平

且 f(x)=a 一定过点(0,1) , x﹣1 则 f(x)=a +3 应过点(1,4) 故答案为: (1,4) 点评: 本题考查指数函数的图象恒过点(0,1) ;函数图象的平移变换. 13. (4 分)函数 的最小值为﹣ .

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 换元法:令 =t,则 x=t ﹣1, (t≥0) ,得 y=t ﹣1﹣t=(t﹣ ) ﹣ ,根据二次函
2 2 2

数的图象与性质,得当且仅当 t= ,即 x=﹣ 时,函数的最小值为﹣ . 解答: 解:令 ∴
2

=t,则 x=t ﹣1, (t≥0)
2

2

=t ﹣1﹣t=(t﹣ ) ﹣ ,

当且仅当 t= ,即 x=﹣ 时,函数的最小值为﹣ 故答案为:﹣ 点评: 本题给出含有根号的类二次函数,求函数的最小值,着重考查了换元法和二次函数 的最值等知识点,属于基础题. 14. (4 分)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增, 2 若 f(lg2?lg50+(lg5) )+f(lgx﹣2)<0,则 x 的取值范围为(0,10) . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 先将函数中的变量化简,再确定函数 f(x)是在实数集 R 上单调递增,利用函数的 单调性,即可求得 x 的取值范围. 2 2 解答: 解:∵lg2?lg50+(lg5) =(1﹣lg5) (1+lg5)+(lg5) =1 2 ∴f(lg2?lg50+(lg5) )+f(lgx﹣2)<0,可化为 f(1)+f(lgx﹣2)<0,

∵函数 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数, ∴f(lgx﹣2)<f(﹣1) ∵函数 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增, ∴函数 f(x)是在实数集 R 上单调递增 ∴lgx﹣2<﹣1 ∴lgx<1 ∴0<x<10 故答案为: (0,10) . 点评: 本题考查函数单调性与奇偶性的结合,解题的关键是确定函数的单调性,化抽象不 等式为具体不等式,属于基础题. 三、解答题(共 6 小题,满分 52 分) 15. (8 分)已知集合 A={x|x ﹣ax+a ﹣19=0},集合 B={x|x ﹣5x+6=0},C={x|x +2x﹣8=0}. (1)若 A∩B=A∪B,求 a 的值; (2)若??A∩B,A∩C=?,求 a 的值. 考点: 交集及其运算;并集及其运算;交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题;集合. 分析: (1)由 A∩B=A∪B,可知 A=B,由题意求出 B,用韦达定理求 a; (2)由??A∩B,A∩C=?,又∵B={2,3},C={2,﹣4};则 3∈A,2?A;解出 a 即可. 解答: 解: (1)∵集合 B={x|x ﹣5x+6=0}={2,3}, 又∵A∩B=A∪B, ∴集合 A={x|x ﹣ax+a ﹣19=0}={2,3}, 则 2+3=a, 即 a=5. (2)集合 C={x|x +2x﹣8=0}={﹣4,2}. ∵??A∩B,A∩C=?, ∴3∈A,2?A; 2 2 ∴9﹣3a+a ﹣19=0,4﹣2a+a ﹣19≠0; 解得,a=﹣2. 点评: 本题考查了集合的运算与集合的关系应用,属于基础题. 16. (8 分)已知函数 f(x)=x +bx+c,且 f(1)=0. (1)若函数 f(x)是偶函数,求 f(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,求函数 f(x)在区间[﹣1,3]上的最大值和最小值; (3)要使函数 f(x)在区间[﹣1,3]上单调递增,求 b 的取值范围. 考点: 二次函数的性质;函数的单调性及单调区间;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: (1)由函数为偶函数,则有 f(﹣x)=f(x)恒成立,再用待定系数法求解. (2)由(1)易知其对称轴和开口方向,明确其单调性,再求函数最值. (3) 先用配方法将函数变形, 求出其对称轴, 由“在区间[﹣1, 3]上单调递增”则有 再求解即可. ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

解答: 解: (1)∵函数为偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) ,x∈R 恒成立, 即:x ﹣bx+c=x +bx+c ∴b=0 又∵f(1)=0. ∴c=﹣1 ∴f(x)=x ﹣1; (2)由(1)易知其对称轴为:x=0 ∴当 x=0 时,?f(x)min=﹣1,? 当 x=3 时,f(x)max=8; (3)∵函数 f(x)在区间[﹣1,3]上单调递增 ∴ ∴b≥2 即 b≥2 时,f(x)在区间[﹣1,3]上是递增的. 点评: 本题主要考查二次函数解析式,单调性与最值的求法,明确对称轴和开口方向是解 题的关键. ,
2 2 2

17. (9 分)已知函数 f(x)=

(Ⅰ)求 f(﹣2) ,f(f(﹣ ) ) ; (Ⅱ)若 f(a)=3,求 a 的值; (Ⅲ)在给定的平面直角坐标系内,画出函数 f(x)的图象; (Ⅳ)求 f(x)在区间[﹣2,3]上的单调区间及值域. 考点: 函数的图象;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由题意根据函数的解析式求得 f(﹣2)的值;先求出 f(﹣ )得值,可得 f (f(﹣ ) )得值. (Ⅱ)分当 a≤﹣1 时、当﹣1<a<2 时两种情况,分别求得 a 得值,综合可得结论. (Ⅲ)由函数的解析式画出函数 f(x)的图象,如图所示: (Ⅳ)由函数 f(x)的图象可得,f(x)在区间[﹣2,3]上的单调增区间、减区间、值域. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得 f(﹣2)=﹣2+2=0,f(﹣ )=﹣ +2= , ∴f(f(﹣ ) )=f( )= = .

(Ⅱ)∵f(a)=3,当 a≤﹣1 时,由 a+2=3,求得 a=1,矛盾; 2 当﹣1<a<2 时,由 a =3 求得 a= ,或 a=﹣ (舍去) . 综上可得,a= .

(Ⅲ)画出函数 f(x)的图象,如图所示: (Ⅳ)由函数 f(x)的图象可得,f(x)在区间[﹣2,3]上的单调增区间为[﹣2,﹣1]、[0,2) ; 减区间为(﹣1,0) , 值域为[0,4)∪{﹣2}.

点评: 本题主要考查分段函数的应用,求函数的值,作函数的图象,函数的单调性和值域, 属于中档题.

18. (9 分)已知函数 f(x)=x( (Ⅰ)判断函数 f(x)的奇偶性; (Ⅱ)证明 f(x)>0; (Ⅲ)若 f(x)?f(﹣x)=

) .

x ,求 x 的值.

2

考点: 指数函数综合题. 专题: 计算题;证明题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)求出定义域,再计算 f(﹣x) ,与 f(x)比较,即可得到 f(x)的奇偶性; (Ⅱ)讨论 x>0,x<0,由指数函数的单调性,即可得证; (Ⅲ)运用偶函数的结论,即可得到 = ,解出即可得到 x.

解答: (Ⅰ)解:函数 f(x)=x

的定义域为{x|x≠0}关于原点对称,

f(﹣x)=﹣x

=﹣x

=f(x) ,

则 f(x)为偶函数; x (Ⅱ)证明:当 x>0 时,2 >1,则 f(x)>0, x 同理 x<0 时,2 <1,也有 f(x)>0, 故 f(x)>0 成立;

(Ⅲ)解:f(x)?f(﹣x)= 即有 f (x)= 即有 f(x)= 即 =
x 2

x,

2

x, x, ,

2

即有 2 ﹣1=3 或﹣ , 即 2 =4 或 , 解得,x=2 或﹣2. 点评: 本题考查函数的奇偶性的判断和运用,考查指数函数的单调性和运用,考查运算能 力,属于中档题. 19. (9 分)已知函数 y=g(x)与 f(x)=loga(x+1) (a>1)的图象关于原点对称. (1)写出 y=g(x)的解析式; (2)若函数 F(x)=f(x)+g(x)+m 为奇函数,试确定实数 m 的值; (3)当 x∈[0,1)时,总有 f(x)+g(x)≥n 成立,求实数 n 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的性质;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: (1)设 M(x,y)是函数 y=g(x)图象上任意一点,进而可得 M(x,y)关于原 点的对称点为 N 的坐标,代入 f(x)中进而求得 x 和 y 的关系式. (2)跟函数 F(x)为奇函数求得 F(﹣x)=﹣F(x)代入解析式即可求得 m 的值. (3)利用 f(x)+g(x)≥n 求得 ,设 ,只要
x

Q(x)min≥n 即可,根据

在[0,1)上是增函数进而求得函数的最

小值,求得 n 的范围. 解答: 解: (1)设 M(x,y)是函数 y=g(x)图象上任意一点, 则 M(x,y)关于原点的对称点为 N(﹣x,﹣y) N 在函数 f(x)=loga(x+1)的图象上, ∴﹣y=loga(﹣x+1) (x+1) (1﹣x) (2)∵F(x)=loga ﹣loga +m 为奇函数. ∴F(﹣x)=﹣F(x) ∴loga ∴
(1﹣x)

﹣loga

(1+x)

+m=﹣loga

(1+x)

+loga

(1﹣x)

﹣m

,∴m=0

(3)由



,由题意知,只要 Q(x)min≥n 即可

∵ ∴n≤0

在[0,1)上是增函数

点评: 本题主要考查了函数的奇偶性的应用.考查了学生分析问题和解决问题的能力.

20. (9 分)已知函数 f(x)=



(Ⅰ)判断函数 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性; 2 (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)﹣kx (k∈R)有四个不同的零点,求实数 k 的取值范围. 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)在区间(0,+∞)上,根据函数 f(x)=1﹣ 上是增函数. (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)﹣kx (k∈R)有四个不同的零点,则
2

,可得函数在区间(0,+∞)

﹣kx =0 ①有四个不

2

同的实数根.再分(1)当 x=0 时、 (2)当 x<0 且 x≠﹣2 时、 (3)当 x>0 时三种情况,分别 求出方程的根,综合可得方程①有 4 个不相等的实数根的条件. 解答: 解: (Ⅰ)∵在区间(0,+∞)上,函数 f(x)= = =1﹣ ,

故函数在区间(0, +∞)上是增函数. 2 (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)﹣kx (k∈R)有四个不同的零点, 则 ﹣kx =0 ①有四个不同的实数根.
2

(1)当 x=0 时,不论 k 取何值,方程①恒成立,即 x=0 恒为方程①的一个实数解. (2) 当 x<0 且 x≠﹣2 时, 方程①有实数根, 即﹣ ﹣kx =0 有实数根, 即 kx +2kx+1=0 ②
2 2

有实数根. 2 若 k=0,则②无实数根;若 k≠0,则由△ =4k ﹣4k≥0,求得 k<0,或 k≥1. 设方程②的 2 个根分别为 x1、x2,则 x1+x2=﹣2,x1?x2= . 显然,当 k>1 时,方程②有 2 个不等负实数根;当 k=1 时,方程②有 2 个相等的负实数根; 当 k<0 时,方程②有 2 个不等实数根,由 x1+x2=﹣2、x1?x2= <0,可得方程②有一个负实 数根(正根舍去) . 2 (3)当 x>0 时,由方程①有实根,方程①化为 kx +2kx﹣1=0 ③.

若 k=0,方程③无实根;若 k≠0,当△ =4k ﹣4k≥0,求得 k>0,或 k≤﹣1 时,方程③有实根, 设方程③的 2 个实根分别为 x3、x4,则 x3+x4=﹣2,x3?x4=﹣ . 当 k>0 时,△ >0,方程③有 2 个不相等实根,由 x3?x4=﹣ <0 可得这 2 个根异号,舍去 负根, ∴方程③有一个正实数根. 当 k≤﹣1,由 x3+x4=﹣2,x3?x4=﹣ >0 可得方程③没有正实数根. 综上可得,只有当 k>1 时,方程①才有 4 个不相等的实数根,即函数 g(x)有 4 个不同的 零点. 点评: 本题主要考查函数零点和方程的根的关系,方程根的存在性以及个数判断,二次函 数的性质,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.

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