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河南省郑州市2011-2012学年高二下学期期末考试文科数学试题及答案解析



河南省郑州市 2011-2012 学年下期期末考试

高二数学(文科)
参考公式:1. 独立性检验临界值

P?K2 ? k?
k

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072
n

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024
n

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

? ? 2. 回归直线方程 y ? bx ? a ,其中 b ?

? ? x ? x ?? y ? y ? ? x y ? nx y
i ?1 i i

?? x ? x ?
i ?1 i

n

?

2

i ?1 n

i

i

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? a ? y? ?b x

n ? ad ? bc ? 3. K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量 ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? c ? d ?
2 2

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。在第 5, 9, 11, 12 题中,只选做一题,两题都选做时,按 4 —1 给分。 ) 1. 在复平面内,复数 z ? ? 2 ? i ? 对应的点在(
2



A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列两个量之间的关系是相关关系的是( ) A. 学生的成绩和体重 B. 匀速直线运动的物体时间与位移的关系 C. 水的体积和重量 D. 路上疲劳驾驶的人数和交通事故发生的多少 3. 若大前提是:任何实数的平方都大于 0,小前提是: a ? R ,结论是: a ? 0 。那么这个
2

演绎推理出错在( ) A. 大前提 B. 小前提 4. 在下面的图示中,是结构图的是(

C. 推理过程 )

D. 没有出错

5. (4—1)在 ?ABC 中,DE || BC ,DE 将 ?ABC 分成面积相等的两部分, 那么 DE : BC ? ( ) B. 1 : 3 C. 1: 2 D. 1:1

A. 1 : 2

(4—5)已知 a, b, c, d 都是正数, S ? ( ) A. 0 ? S ? 1 B. S ? 2
2012

a b c d ? ? ? ,则有 b?c?d a ?c?d a ?b?d a ?b?c
C. 1 ? S ? 2 D. 以上都不对

?z? 6. 复数 z ? 1 ? i ,则复数 z ? ? ? ?z?
A. 1 ? 2i

?(

) C. 2 ? i
2

B. 1 ? 2i

D. 2 ? i

7. 用反证法证明命题: “若实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 有实数根,那么

b2 ? 4ac ? 0 ”时,下列假设正确的是(
A. 假设 b ? 4ac ? 0
2


2

B. 假设 b ? 4ac ? 0 D. 假设 b ? 4ac ? 0
2

C. 假设 b ? 4ac ? 0
2

a 2 ? b2 8. 在 ?ABC 中,若 AC ? BC , AC ? b , BC ? a ,则 ?ABC 的外接圆半径 r ? , 2
将此结论拓展到空间,可得出的正确结论是:在四面体 S ? ABC 中,若 SA 、 SB 、 SC 两两 互相垂直, SA ? a, SB ? b, SC ? c ,则四面体 S ? ABC 的外接球半径 R ? ( )

A.

a 2 ? b2 ? c 2 2

B.

a 2 ? b2 ? c 2 3

3

C.

a 3 ? b3 ? c 3 3

D.

3

abc

9. (4—1)等腰直角 ?ABC 中, AD 是直角边 BC 上的中线, BE ? AD ,交 AC 于 E , EF ? BC ,若 AB ? BC ? a ,则 EF 等于( ) A.

2 a 5

B.

1 a 2
B.

C.

1 a 3


D.

2 a 3

(4—5)若 a ? b , m ? 0 ,则下列不等式中,恒成立的是( A. C.

?a ? m?

2

? ?b ? m?

2

b?m b ? a?m a

?a ? m?

3

? ?b ? m ?

3

D. am ? bm

10. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:

? 根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 约等于 9,据此模型预告广告费用为 7 万元时,销售
b

额约为( ) A. 73.5 万元 B. 74.5 万元 C. 75.5 万元 11. (4—1)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 , AC 是⊙ O 的直 径, PC 与⊙ O 交于点 B , PB ? 1 ,则⊙ O 的半径 R ? ( ) A. 1 ( 4 — 5 ) 已 知 f B.

D. 76.0 万元

2

C.

3

D. 2

? x? 6 ?

? x

, a 若 不 等 式 f ? x? ? 2 的 解 集 为

1 5? ? ? x | x ? ? 或x ? ? ? ,则实数 a 的值为( 6 6? ?



A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. (4—1)如图,在以 BC 为直径的半圆上任取一点 P ,过弧 BP 的中 点 A 作 AD ? BC 于 D 。连接 BP 交 AD 于点 E ,交 AC 于点 F ,则 BE : EF ? ( ) A. 2 :1 B. 1:1 C. 1 : 2 D. 以上结论都不对 (4—5)设实数 x, y 满足 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 P ? 2 x ? y 的最大值为( A. 11 B. )

11

C. 6

D.

6

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,在第 14 题中选做一题,若都做,按 4—1 判分) 13. 若复数 ? 2 ? i ? x ? 3 ? i 是纯虚数,则实数 x 的值为 14. (4—1)圆内接四边形 ABCD 中, cos A ? cos B ? cos C ? cos D ? (4—5)已知不等式 ? x ? y ? ?

?a 1? ? ? ? 4 对任意正实数 x, y 恒 ?x y?

成立,则正实数 a 的最小值为 15. 定义某种运算 ? , S ? a ? b 的运算原理如右图,则式子 6? 4 ? 3? 7= 。

16.

若 函 数

f ? n? ? k , 其 中 n ? N , k 是

e ? 2.718281828459 ? 的 小 数 点 后 的 第 n 位 数 字 , 例 如

f ? 3? ? 8 ,则 f ? f ? f ? f ? 4 ??? (共 2012 个 f )= ? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本大题满分 10 分)设复数 z ? x ? yi ? x, y ? R ? ,且 复数 z 。

x y 5 ? ? ,求 z 的共轭 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i

18.(本大题满分 12 分) (4—1)如图,点 C 、 D 在线段 AB 上,且 ?PCD 是等边 三角形。 (I)当 AC , CD, DB 满足怎样的关系时, ?ACP ∽ ?PDB ; (II)当 ?PDB ∽ ?ACP 时,试求 ?APB 的度数。 (4—5)已知 a, b, x, y 为正实数,且

1 1 x y ? , x ? y ,求证: ? a b x?a y ?b

19.(本小题满分 12 分)河南省高中进行新课程改革已经四年,为了了解教师对课程教学模式 的使用情况,某一教育机构对某学校教师对于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查, 共调查了 50 人,其中老教师 20 名,青年教师 30 名,老教师对新课程教学模式赞同的有 10 人,不赞同的 10 人;青年教师对新课程教学模式赞同的有 26 人,不赞同的有 4 人。 (I)根据以上数据建立一个 2 ? 2 列联表; (II)判断是否有 99% 的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与年龄有关系。

20.(本小题满分 12 分)数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , Sn 表示前 n 项和,且 Sn , Sn?1,2S1 成等差数列。 (1)计算 S1, S2 , S3 的值; (2)猜想 Sn 的表达式,并证明。

21.(本小题满分 12 分)郑州是一个缺水的城市,人均水资源占有量仅为全国的十分之一,政 府部门提出“节约用水,我们共同的责任”倡议,某用水量较大的企业积极响应政府号召对 生产设备进行技术改造,以达到节约用水的目的,下表 提供了该企业节约用水技术改造后生产甲产品过程中记 录的产量 x (吨)与相应的生产用水 y (吨)的几组对 照数据: (I)请根据上表提供的数据,若 x, y 之间是线性相关,

? 求 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ;
(II)已知该厂技术改造前 100 吨甲产品的生产用水为 130 吨,试根据(I)求出的线性回归 方程,预测技术改造后生产 100 吨甲产品的用水量比技术改造前减少多少吨水?

22.(本小题满分 12 分)请在 4—1,4—5 中任选一题,若两题都做,按先上后下判分。 (4—1)已知,如图, AB 是圆 O 的直径, AC 切⊙ O 于点 A , AC ? AB , CO 交⊙ O 于 点 P , CO 的延长线交⊙ O 于点 F , BP 的延长线交 AC 于点 E 。 (I)求证: FA || BE ;

AP FA ? ; PC AB (III)若⊙ O 的直径 AB ? 2 ,求 tan ?CPE 的值。
(II)求证: (4—5)设函数 f ? x ? ? x ?1 ? x ? a (I)若 a ? ?1 ,解不等式 f ? x ? ? 3 ; (II)如果 ?x ? R , f ? x ? ? 2 ,求 a 的取值范围。

2011—2012 学年度下期期末考试 高中二年级
一、选择题 题 号 答 案 二、填空题 13. ? D D A B C D B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 C 1 1 A 1 2 C 1 B

文科数学

参考答案

3 ; 2

14. (4-1)0; (4-5) 1 ; 15. 4;

16. 8.

三、解答题 17. 解:由

x y 5 x(1 ? i ) y (1 ? 2i ) 5(1 ? 3i ) ? ? ? ? , ........2 分 知, 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i 2 5 10

即 5x(1 ? i) ? 2 y(1 ? 2i) ? 5(1 ? 3i) ,

(5x ? 2 y) ? (5x ? 4 y)i ? 5 ? 15i ,
故?

...............4 分

? 5 x ? 2 y ? 5, ? x ? ?1, 解得 ? ?5 x ? 4 y ? 15, ? y ? 5,

...........8 分

则 z ? ?1 ? 5i ,? z ? ?1 ? 5i.
2

..................10 分

18. (4-1)证明(1)当 CD ? AC ? DB 时, ?ACP ∽ ?PDB, .......2 分

? ?PCD是等边三角形,

? PC ? CD ? PD, ?PCD ? PDC ? 600.
? ?ACP ? ?PDB ? 1200 . ? CD 2 ? PC ? PD ? AC ? DB ,
AC PC ? . PD DB ? ?ACP ∽ ?PDB ......................6 分 (2)当 ?ACP ∽ ?PDB 时,

?PAC ? ?BPD, ?APC ? ?PBD, ? ?PAC ? ?APC ? ?PCD ? 600 .

? ?APC ? ?BPD ? 600 . ? ?APB ? 1200 ...........................12 分
(4-5)证明:由于 a, b 为正实数,且

1 1 ? , a b

故 b ? a ? 0, ,又 x ? y ? 0 ,∴ bx ? ay, 即 bx ? ay ? 0 ,?????4 分 ∴

x y x ( y ? b) ? y ( x ? a ) bx ? ay ? ? ? ? 0. x?a y?b ( x ? a)( y ? b) ( x ? a)( y ? b) x y ? .???????12 分 x?a y?b
赞同 不赞同 总计



19. 解: (1)2×2 的列联表

老教师 10 10 20 青年教师 26 4 30 总计 36 14 50 ...................................................................4 分 (2)假设“是否赞同新课程模式与教师年龄无关” ,

50 ? (10 ? 4 ? 26 ? 10) 2 ? 8.003, ........................10 分 36 ? 14 ? 20 ? 30 因为 k ? 6.635 ,所以有理由认为假设“是否赞同新课程模式与教师年龄无关”是不合理的,
计算 k ? 即有 99%的把握认为“是否赞同新课程教学模式与教师年龄有关系”.............12 分来 20. 解:(1)因为 S n , S n?1 ,2S1 成等差数列,

? 2S n?1 ? S n ? 2S1 ,
2 ? S1 ? a1 ? 1 ,? n ? 1时,S 2 ? S1 ? 2S1 ? 3.S 2 ? n ? 2时,S 3 ? S 2 ? 2 S1 ? 2 3 , 2

7 7 ,? S 3 ? .........................6 分 2 4

2n ? 1 (2)猜想 S n ? n ?1 . 2
1 1 S n ? 1, ? S n ?1 ? 2 ? ( S n ? 2) . 2 2 1 1 ? S n ? 2 ? ( S1 ? 2)( ) n ?1 ? ?( ) n ?1 . 2 2 1 S n ? 2 ? ( ) n ?1 .................................12 分 2
证明:? S n ?1 ? 21. 解: (1)由对照数据,计算得:

?x
i ?1 4 i ?1

4

2 i

? 54, x ?

2?3? 4?5 3 ? 3.5 ? 4.7 ? 6 ? 3.5, y ? ? 4.3, 4 4

?x y
i
4

i

? 65.3 ...........................3 分

所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为:

b?

?x y
i ?1 4 i

i

? 4x y ? ? 4x
2

?x
i ?1

2 i

65.3 ? 4 ? 3.5 ? 4.3 ? 1.02, a ? y ? b x ? 4.3 ? 1.02 ? 3.5 ? 0.73 . 54 ? 4 ? 3.5 2
?

所求的线性回归方程为 y ? 1.02x ? 0.73 .........................9 分 (2)由(1)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产用水,得减少的生产用水量为

130? (1.02 ? 100? 0.73) ? 27.27 (吨水)........................12 分
22(4-1)证明:(1)在⊙O 中,∵ 直径 AB 与 FP 交于点 o, ∴OA=OF. ∴∠OAF=∠F. ∵∠B=∠F, ∴∠OAF=∠B. ∴FA∥BE.?????????3 分 (2)∵AC 为⊙O 的切线,PA 是弦, ∴∠PAC=∠F. ∵∠C=∠C, ∴△APC∽△FAC. ∴ ∴

AP PC ? . FA AC

AP FA ? . PC AC ∵ AB ? BC , AP FA ? ∴ .................8 分 PC AB
(3)∵ AC切 ⊙O 于点 A , CPF 为⊙O 的割线,则有

AC 2 ? CP ? CF ? CP(CP ? PF) ,
∵ PF ? AB ? AC ? 2 , ∴CP(CP+2)=4. 整理得 CP ? 2CP ? 4 ? 0,
2

解得 CP ? ?1? 5 . ∵ CP ? 0, CP ? ?

5 ? 1,

∵ FA // BE,? ?CPE ? ?F . ∵ FP 为⊙O 的直径, ∴∠ FAP =90 . 由(2)中证得
0

AP PC ? , FA AC

在 Rt?FAP 中, tan?F ?

AP PC 5 ?1 . ? ? FA AC 2

∴tan∠CPE=tan∠F=

5 ?1 .............................12 分 2

(4-5)解(1)当 a ? ?1 时, f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ,由 f ( x) ? 3 得: | x ? 1| ? | x ? 1|? 3 , 不等式可化为 ?

? x ? ?1 ??1 ? x ? 1 ? x ? 1 或? 或? , ??2 x ? 3 ? 2 ? 3 ?2 x ? 3
3 2 3 2

∴不等式的解集为 {x | x ? ? 或x ? }.-------------5 分 (2)若 a ? 1 , f ( x) ? 2 | x ? 1| ,不满足题设条件;

? ?2 x ? a ? 1, ( x ? a) ? (a ? x ? 1) , f ( x) 的最小值为 1 ? a ;..............8 分 若 a ? 1 , f ( x) ? ?1 ? a , ? 2 x ? (a ? 1), ( x ? 1) ? ? ?2 x ? a ? 1, ( x ? 1) ? (1 ? x ? a ) , f ( x) 的最小值为 a ? 1 ................10 分 若 a ? 1 , f ( x) ? ?a ? 1, . ? 2 x ? (a ? 1), ( x ? a) ?
因为对于 ?x ? R , f ( x) ? 2 , 则 | a ? 1|? 2 ,从而 a 的取值范围 (??, ?1] ? [3, ??) .??????12 分



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