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1.1.1任意角.ppt1



1.1.1

任意角

知识回顾

1.想一想,初中时我们是怎么定义角 的?角的取值范围如何?
定义:角是由平面内一点引出的两条 射线所组成的图形。 范围:0o≤α≤360o

过去我们学习了0o≤α ≤360o范 围的角,但在实际问题中还会遇到 其他角.

再如钟表的指针、拧动螺丝 的扳手等,它们按照不同方向旋 转所成的角,不全是0o≤α ≤360o 范围内的角.因此,我们必须将角 的概念进行推广.

知识探究(一):角的概念的推广
思考1:怎样升级角的定义,让它更科学 更合理? B

o

A

由平面内一条射线绕其端点从 一个位置旋转到另一个位置所组成 的图形.

思考2:如图,一条射线的端点是O,它 从起始位置OA旋转到终止位置OB,形成 了一个角α ,其中点O,射线OA、OB分别 叫什么名称?
B

始边
O A

终边

顶点

思考3:为了区分形成角的两种不同的旋 转方向,可以作怎样的规定?如果一条 射线没有作任何旋转,它还形成一个角 吗? 规定: 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角, 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有作任何旋转,则称它 形成了一个零角. α=0° ∠AOB或∠α可简记为α

知识探究(二):终边相同的角 思考1:为了进一步研究角的需要,我 们常在直角坐标系内讨论角,并使角的 y 顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负 半轴重合,在直角坐标系中,-32°角 的终边如图所示,终边在该位置的角一 定是-32°吗? x
o

思考2:与-32°角终边相同的角有多少 个?这些角有什么内在联系?
y -392° 328° o -32° x

328°= ﹣32° +360° ﹣392°= ﹣32° -360°

思考3:所有与-32°角终边相同的角, 连同-32°角在内,可构成一个集合S, 你能用描述法表示集合S吗?

S={β|β=﹣32°+k· 360°,k∈Z}
思考4:在[- 360°, 720°)中有几个与 ﹣32°终边相同的角?分别是什么?

思考4:一般地,所有与角α 终边相同的 角,连同角α 在内所构成的集合S可以怎 样表示?

S={β|β=α+k· 360°,k∈Z}
即任一与角α终边相同的角,都可以 表示成角α与整数个周角的和.

注:① k∈Z; ② 角相等,终边一定相同;但 终边相同,角不一定相等,且这样 的角有无穷多个,它们相差360° 的整数倍; ③ α是任意角(正角,负角,零 角)

知识探究(三):象限角

思考1:为了进一步研究角的需要,我们 常在直角坐标系内讨论角,并使角的顶 点与原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合,那么对一个任意角,角的终边 可能落在哪些位置? y o
x

思考2:如果角的终边在第几象限,我们 就说这个角是第几象限角;如果角的终 边在坐标轴上,就认为这个角不属于任 何一个象限.那么下列各角:-50°, 405°,210°, -200°,-450°分别 是第几象限的角?
y
x o -50° o 405°

y
210° x

y

y

y x -450° x o

x
o -200°

o

理论迁移
例l、把下列各角写成 a ? 360o ? k , 且a ? (0o ,360o ) 并判定它们是第几象限角: ①1110° ② -1234° ③ 665° ④-540°48` 解:① 1110°=30°+3×360° 与30°的角终边相同,是第一象限角 ② -1234°=206°+(-4)×360° 与206°的角终边相同,是第三象限角 ③ 665°=305°+360° 与305°的角终边相同,是第四象限角 ④ -540°48` =179°12`+(-2)×360° 与179°12`的角终边相同,是第二象限角
?1 1110°=30°+3×360° ① 360 1110o 1080o
o

a ? 360o ? k, 且a ? (0o ,360o )

30o
o

?2 360 - 540 48`
o

④ -540°48` =179°12`+(-2)×360°

? 720o

179o12`

思考3:终边在第一、二、三、四象限的 角的集合分别如何表示?
第一象限: S={α | k·360°<α<90°+k· 360 °,k∈Z}; 第二象限: S={α | 90°+k· 360°<α< 180°+k· 360°,k∈Z}; 第三象限: S={α | 180°+k· 360°<α< 270°+k· 360°,k∈Z}; 第四象限: S={α | 270+k· 360°<α< 360°+k· 360°,k∈Z}.

思考4:终边在x轴正半轴、负半轴,y轴 正半轴、负半轴上的角分别如何表示?
x轴正半轴: {α|α= k· 360°,k∈Z} ; x轴负半轴: {α|α= 180°+k· 360°,k∈Z }; y轴正半轴: {α|α= 90°+k· 360°,k∈Z} ; y轴负半轴: {α|α= 270°+k· 360°,k∈Z }.

思考5:终边在x轴、y轴上的角的集合分 别如何表示?
终边在x轴上:S={α|α=k·180°,k∈Z}; 终边在y轴上: S={α|α=90°+k· 180°,k∈Z}.

例2 写出终边在直线y=x上的角的集合S,并 把S中适合不等式-360°≤ a <720°的元素 写出来.
y A

45°
O B x

S = {α|α=45°+k· 360°, k∈Z}

∪ {α|α=180°+45°+k· 360°,k∈Z}.
= {α|α=45°+2k· 180°, k∈Z} ∪ {α|α=45°+(2k+1)· 180°,k∈Z}. ={α|α=45°+n· 180°,n∈Z}.

补充例题1.若角a 是第一象限角,则 , 2a 分别是 2 第几象限角? 解:依题意可知,k ? 360 ? a ? 90 + k ? 360 , k ?Z a ? k ?180 ? ? 45 + k ?180 2 a 故当k为偶数时, 是第一象限角

a

a 当k为奇数时, 是第三象限角 2
2k ? 360 ? 2a ? 180 + 2k ? 360

2

∴2a 是第一或第二象限角,及终边在y轴 的非负半轴上的角

变化: 若α是第三象限的角,问α/2是哪个象限的角? 2α 是哪个象限的角?
【解法回顾】各个象限的半角范围可以用下图记忆, 图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、二、三、四象限 角的半角范围;再根据限制条件,解的范围又进一步缩小.

练习
1、如果α ,β 终边相同,则α-β的终 边落在( A ) A. X轴的正半轴上 B. X轴的负半轴上 C. y轴的正半轴上 D. y轴的负半轴上 2、与-1778°的终边相同且绝对值最小 22° 的角是___________ 。

3、A={小于90°的角},B={第一象限的角} 则A∩B等于 ( D) A.{锐角}
C.{第一象限的角} B.{小于90°的角}

D.以上说法都不对

小 结
1.角的概念推广后,角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究,对于一个 给定的角,都有唯一的一条终边与之对应, 并使得角具有代数和几何双重意义. 2.终边相同的角有无数个,在0°~360°范 围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°,若所得的商为k,余数为α (α必须是正数),则α即为所找的角.



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