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四川成都市六校2015-2016学年高一上学期期中联考数学试题



成都市“六校联考”高 2015 级第一学期期中试题

数学
(全卷满分: 150 分 完成时间: 120 分钟)

第I卷

(选择题

60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.

1.设集合 U ? ?1,2,3,4,5? , A ? ?1,2,3?, B ? ?2,5? ,则 A ? (CU B) =( A. ) D. ?1,3? )

?2?

B.

?2,3?

C.

?3?

2. 设集合 A ? ?x | 0 ? x ? 6? , B ? ? y | 0 ? y ? 2? ,则 f:A→B 是映射的是( A. f : x ? y ? 3x C. f : x ? y ? B. f : x ? y ?

1 x 3

1 x 2
)

D. f : x ? y ? x

3.下列四组函数中,表示同一函数的是( A. f ( x) ? x , g ( x) ?

x2

B. f ( x) ? lg x2 , g ( x) ? 2lg x

x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 C. f ( x) ? x ?1

D.

4.若偶函数 f ( x ) 在 ? ??, ?1? 上是增函数,则下列关系式中成立的是( A. f ( ? ) ? f ( ?1) ? f (2)

)

3 2 3 3 C. f (2) ? f ( ?1) ? f ( ? ) D. f (2) ? f ( ? ) ? f ( ?1) 2 2 ? 5.已知幂函数 y ? x 的图象过点 (2, 2) ,则 f (4) 的值是( )
B. f ( ?1) ? f (? ) ? f (2) A.

3 2

1 2

B. 1

C. 2

D. 4

6.已知函数 f ? x ? ? ? A. 3

? x ? 1, x ? 1 ,则 f ( f (2)) ? ( ?? x ? 3, x ? 1
B. 2 C. 1


D. 0 )

7.已知 a ? log 2 0.3, b ? 2 0.1, c ? 0.2 1.3 ,则 a , b, c 的大小关系是( A. C.

a?b?c a?c?b

B. D.

c?a?b b?c?a

高一上期期中数学试题第第 1 页 共 7 页

8.函数 y ? 1 ?

1 的图象是( x ?1

)

9.已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? ax ? 3a ) 在区间[2,+ ? )上是增函数,则 a 的取值范围是(
2

)

A. ? ??, 4?

B.

? ??, 2?

C.

? ?4, 4?


D.

? ?4, 2?

10.已知函数 f ( x) 的定义域为 [ 0,2 ] ,则 A. { x 0 ? x ? 4} C. { x 0 ? x ? 1}

f (2 x) 的定义域为( x

B. { x 0 ? x ? 4} D. { x 0 ? x ? 1}

11.对于函数 f ( x ) 的定义域中任意的 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) ,有如下结论:① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;③
x

x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ? 0 ;④ f ( 1 2 ) ? 2 2 x1 ? x2
)个 C. 1 D. 0

当 f ( x) ? 2 时,上述结论中正确的有( A. 3 B. 2

?1,x ? 0 ? x ? 0 ,若函数 f ? x ? 在 R 上单调递增, g ( x) ? f ( x) ? f (ax)(a ? 1) , 12. 已知符号函数 sgn x ? ?0, ? ?1,x ? 0 ?
则( ) B. sgn ? g( x) ? ? sgn ? f ( x) ? D. sgn ? g( x) ? ? ?sgn x A. sgn ? g ( x)? ? sgn x C. sgn ? g ( x)? ? ? sgn ? f ( x)?

第 II 卷

(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 y ?

2 的定义域是 x ?1



. ▲ .

14. 设 M ? ?2,4? , N ? ?a, b? ,若 M ? N ,则 log a b =

2 15. 函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? x ? 1 ,则当 x ? 0 ,

f ( x) ?




高一上期期中数学试题第第 2 页 共 7 页

16.给出定义:若 m ?

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 ? x? ,即 2 2

?x? ? m .

在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? ?x? 的四个命题:

①函数 y ? f ( x) 的定义域是 R ,值域是 ( ? ②函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称;

1 1 , ]; 2 2

③函数 y ? f ( x) 的图像关于坐标原点对称; ④ 函数 y ? f ( x) 在 ( ? 则其中正确命题是

1 1 , ] 上是增函数; 2 2
(填序号) .



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 11 分) 已知全集为 R ,集合 A ? {x | 2 ? x ? 4} , B ? {x | 3x ? 7 ? 8 ? 2 x} , C ? x x ? a (1)求 A ? B ;(2)求 A ? (CR B) ;(3)若 A ? C ,求 a 的取值范围. ▲ 18. (本小题满分 11 分) (1)计算 log2.5 6.25 ? lg0.01 ? ln e ? 2 (2)计算 64
? 1 3

?

?

1?log2 3

? (?

4 3 2 0 ) ? (2) ?3 3 ? 16?0.75 2

?

?

▲ 19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? bx ? c, (?4 ? x ? 0) ,若 f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?1, ? x ? 3 , ( x ? 0 ) ?

4 3 2

y

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)画出函数 f ( x) 的图象,并指出函数的定义域、值域、单调区间.

1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x



高一上期期中数学试题第第 3 页 共 7 页

20. (本小题满分 12 分) 甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品 x (百台) ,其总 成本为 G ( x) (万元) ,其中固定成本为 3 万元,并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元(总成本 ? 固

??0.4 x 2 ? 4.2 x ? 0.2 (0 ? x ? 5) 定成本+生产成本) ,销售收入 R ( x) ? ? ,假定该产品产销平衡(即   ( x ? 5) ?11.2      
生产的产品都能卖掉) ,根据上述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数 y ? f ( x) 的解析式(利润 ? 销售收入—总成本) ; (2)甲厂生产多少台新产品时,可使盈利最多? ▲ 21. (本小题满分 12 分) 设函数 y= f ( x ) 是定义在 ? 0, ?? ? 上的减函数,并且满足 f ( xy) = f ( x ) + f ( y ) , f ( ) ? 1 (1)求 f (1) 的值; (2)若存在实数 m ,使得 f (m) ? 2 ,求 m 的值; (3)若 f ( x ? 2) ? 2 ,求 x 的取值范围. ▲ 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log4 (4x ? 1) ? kx ( k ? R )是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? (3)若函数 h( x) ? 4
f ( x )? 1 x 2

1 3

1 x ? a 没有交点,求 a 的取值范围; 2

? m ? 2 x ? 1 , x ??0,log2 3? ,是否存在实数 m 使得 h( x) 最小值为 0 ,若

存在,求出错误!未找到引用源。的值; 若不存在,请说明理由. ▲

高一上期期中数学试题第第 4 页 共 7 页

成都市“六校联考”高 2015 级第一学期期中试题

数学参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 DBADCB CACDAD 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 13.

? ?1, ???

14. 2或

1 2

15. ?2 x ? x ? 1
2

16. ①④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 17. 解: (1) ? B ? ?x | 3x ? 7 ? 8 ? 2x? ? ?x | x ? 3? ,

A ? B ? ?x 2 ? x ? 4?? ?x x ? 3? ? ?x | 3 ? x ? 4? .………………………4 分
(2)?CR B ? ?x | x ? 3?

? A ? (CR B) ? ?x | 2 ? x ? 4? ??x | x ? 3? ? ?x | x ? 4? …………………………8 分
(3)?集合A=?x | 2 ? x ? 4? , C ? ?x | x ? a?

且 A ? C ,? a ? 4
? a 的取值范围是 ? 4, ?? ? ………………………………………………………………………11 分
18. 解: (1)原式= 2 ? 2 ? =?

1 ? 2?3 2

……………………………………………………………………4 分

11 ; …………………………………………………………………………5 分 2 1 1 1 ?1? ? (2)原式= ………………………………………………………………………………9 分 4 16 8 9 ?? …………………………………………………………………………………………11 分 16
19. 解: (1)解:? f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?1,

? 16 ? 4b ? c ? 3 , 4 ? 2b ? c ? ?1
解得: b ? 4, c ? 3

4 3 2

y

? x 2 ? 4 x ? 3,?4 ? x ? 0 ? f ( x) ? ? ? x ? 3, x ? 0 ?

…………………………4 分

1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(2)图象见右所示…………………………………………8 分 由图象可知:函数的定义域: ?? 4,??? 值域: ?? ?,3? 单调增区间: (?2, 0)
高一上期期中数学试题第第 5 页 共 7 页

4 3 2 11 2 3 4

x

单调减区间: (?4, ?2), (0, ??) ………………………………………………………………………………12 分 20. 解: (1)由题意得 G(x)=3+x. ……………………………………………………………………………2 分 ∴ f ( x) =R(x)?G(x)= ?

??0.4 x2 ? 3.2 x ? 2.8(0 ≤x≤ 5) ? 8.2 ? x( x ? 5)

………………………………… 6 分

(2)当 x >5 时,∵函数 f ( x) 递减, ∴ f ( x) ? 8.2 ? 5 =3.2(万元) ……………………………………… 8 分 当 0≤x≤5 时, f ( x) = -0.4(x?4)2+3.6, 当 x=4 时, f ( x) 有最大值为 3.6(万元)………………10 分 答:当工厂生产 4 百台时,可使赢利最大为 3.6(万元) .……………………………12 分 21. 解: (1)令 x = y =1 则 f (1) = f (1) + f (1) ∴ f (1) =0 (2)∵ f ( ) =1 ………………………………………………………………………………………………2 分

1 3 1 1 1 1 1 ∴ f ( ) = f ( ? ) = f ( ) + f ( ) =2 9 3 3 3 3 1 ∴m= ………………………………………………………………………………………5 分 9

(3)∵ f ? x ? 2 ? ? 2 ? f ? ?

?1? ?9?

?x ? 2 ? 0 19 ? ∴? …………………………………………………………………5 分 1 则2 ? x ? 9 x?2? ? 9 ?
22. 解: (1)? f (? x) ? f (? x) , 即 log4 (4? x ? 1) ? kx ? log4 (4x ? 1) ? kx 对于 任意x ? R 恒成立.
-x ? 2kx ? log 4 (4? x ? 1) ? log 4 (4 x ? 1) ? log 4 4 x ? 1 4 +1 ? 2kx ? ? x

?k ??1

2

………………………………………………………………………………………… ………3 分

(2)由题意知方程 log 4 (4 x ? 1) ? 1 x ? 1 x ? a 即方程 a=log4 (4x ? 1) ? x 无解. 2 2 令 g ( x) ? log 4 (4 x ? 1) ? x ,则函数 y ? g ( x) 的图象与直线 y ? a 无交点. …………………4 分

高一上期期中数学试题第第 6 页 共 7 页

x 4x ? 1 ? log (1 ? 1 ) ? g ( x) ? log( 4 4 ? 1) ? x ? log 4 4 x x

4

4

任取 x1 、 x2 ? R,且 x1 ? x2 ,则 0 ? 4 x1 ? 4 x2 ,? 1 ? 1 . 4 x1 4 x2
1 ? 1 ? ? ? ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? log 4 ?1 ? x1 ? ? log 4 ?1 ? x2 ? ? 0 , ? 4 ? ? 4 ?
? g ( x) 在 ? ??, ? ? ? 上是单调减函数.

1? ?1 ? 1x ? 1 ,? g ( x) ? log4 ? ?1 ? x ? ? 0 . 4 ? 4 ?

? a 的取值范围是 ? ??, 0?. …………………………………………………………………………… 7 分
(3)由题意 h( x) ? 4 x ? m ? 2 x , x ??0,log2 3? 令 t ? 2 ??1,3?
x

?(t ) ? t 2 ? mt

t ??1.3? …………………………………………………………8 分
m 2

? 开口向上,对称轴 t ? ?
当?

m ? 1, 即m ? ?2 , 2

? (t )min ? ? (1) ? 1 ? m ? 0 , m ? ?1
当1 ? ?

m ? 3, 即 ?6 ? m ? ?2 , 2

? (t )min ? ? (? ) ? ?
当?

m 2

m2 ? 0 , m ? 0 (舍去) 4

m ? 3 , 即m ? ?6 , 2

? (t )min ? ? (3) ? 9 ? 3m ? 0, m ? ?3 (舍去)
? 存在 m ? ?1 得 h( x) 最小值为 0
……………………………………………………………… 12 分

高一上期期中数学试题第第 7 页 共 7 页



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