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2.2.1-2.2.2直线与平面平行的判定



2.2.1直线与平面平行的判定

球场地面

复习引入:
1.直线与平面有几种位置关系? 有三种位置关系:在平面内,相交、平行.
a
a

?

?

.A
?

a

a ?? a ? ? ? A



a // α

其中平行是一种非常重要的关系,不仅应用较 多,而且是学习平面和平面平行的基础. 问题:怎样判定直线与平面平行呢? 根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判定 直线与平面有没有公共点.但是,直线无限延长,平 面无限延展,如何保证直线与平面没有公共点呢?

实例感受

在生活中,注意到门扇的两边是平行的.当门扇 绕着一边转动时,另一边始终与门框所在的平面没有 公共点,此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人 以平行的印象.

实例感受
门扇转动的一边与门框所在的平面之间的位置关

系.

如果平面 ? 内有直线 b 与直线 a平行,那么直线 a 与平面 ? 的位置关系如何? 是否可以保证直线 a 与平面 ? 平行? a

?

b

平面 ? 外有直线 a 平行于平面 ?内的直线 b . (1)这两条直线共面吗? 共面 (2)直线 a 与平面 ? 相交吗? 不可能相交 (3)直线 a 与平面 ? 平行吗? 平行

直线与平面平行判定定理 直线与平面平行的判定定理——平面外一条直线 与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平 行. a ??? a

?

b

? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

注意:证明直线与平面平行,三个条件必须具 备,才能得到线面平行的结论. 直线与平面平行关系 空间问题 直线间平行关系 平面问题

提示:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线
与此平面平行.
a

?

b

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

练习:判断下列命题是否正确。

(1)若平面外一条直线a与直线b 平行α,则直线a//平面α;(×) 注意:证明直 (2)若直线a在面外,与平面内 线与平面平行,三 a ??? 一条直线b平行α ,则直线a//平 ? 个条件必须具备, b ? ? ? ? a // ? 面α ; ( √ ) 才能得到线面平行 a // b ? ? 的结论. a ???
(3)直线a在平面外,直线b在平面内 α ,则直线a//平面α 。 (×)
? b ? ? ? ? a // ? ? ?

a ??? ? ? ? a // ? a // b ? ?

反思1:要证明直线与平面平行可以运用判定定理; 线线平行 线面平行

反思2:能够运用定理的条件是要满足六个字:
“面外、面内、平行”

a ?? b??
b // a

a // ?

反思3:运用定理的关键是找平行线;找平行线又经常 会用到三角形中位线定理.

提示:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与 a 此平面平行. a ??? ? b ? ? ? ? a // ?

?

b

a // b ? ?

【例1】 求证:空间四边形相邻两边中点的连线 平行于经过另外两边所在的平面。 A
已知:空间四边形ABCD中,E,F 分别为AB,AD的中点 求证:EF∥平面BCD

E D B

F C

已知:空间四边形ABCD中,E,F 分别为AB,AD的中点 求证:EF∥平面BCD

A E D B F C

证明:连结BD.

因为AE=EB,AF=FD

所以EF∥BD(三角形中位线性质)

因此

EF ? 平面 BCD ? ? BD ? 平面 BCD ? ? EF// 平面 BCD ? FE//BD ?

随堂练习
1.如图,长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,

(1)与AB平行的平面是平面 A?B?C ?D? 平面 CC ?D?D 平面 B?BCC? 平面 CC ?D?D (2)与 AA? 平行的平面是 (3)与AD平行的平面是平面 A?B?C ?D? 平面 B?BCC?
D? A? B?

C?

D A B

C

2.以下命题(其中a,b表示直线,?表示平 面)

①若a∥b,b??,则a∥? ②若a∥?,b∥?,则a∥b ③若a∥b,b∥?,则a∥? ④若a∥?,b??,则a∥b
其中正确命题的个数是( A ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

随堂练习
3.如图,正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,E为 DD? 的中点,试判断BD? 与平面AEC的位置关系,并说明 理由.
证明:连结BD交AC于O,连结EO. ∵O 为矩形ABCD对角线的交点, ∴DO=OB,
又∵DE=ED’,
A?

D?

C?
B?

E
D

C

∴BD’//EO.

A

O

B

因此,

BD’? 平面 AEC ? ? EO ? 平面 AEC ? ? BD’// 平面 AEC ? BD’//EO ?

知识小结
1.证明直线与平面平行的方法: (1)利用定义; 直线与平面没有公共点

(2)利用判定定理.
线线平行 ①定义 ②判定定理(线面平行证面面平行) 3.数学思想方法:转化的思想 线面平行

2、证明平面与平面平行的方法:

空间问题

平面问题

§2.2.2 平面与平面 平行的判定

(1)若β内 有 一 条 直 线 a与α平 行,
则β与α平 行 吗 ?
a
?
?
a

?

?

(两平面平行) (两平面相交)

( 2 )若β内有两条直线 a , b分别与 α平行, 则β与α平行吗?

1 .若a // b时,则 β与α平行吗?
?
b

0

a

?

a
b

?
(两平面平行)

?
(两平面相交)

( 2 )若β内有两条直线 a , b分别与 α平行, 则β与α平行吗?

2 .若a ? b = P时,则 β与α平行吗?
b

0

?

P

a

?

两个平面平行的判定定理: 一个平面内两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行.
符号语言: P

? ? b?? ? ? a ? b ? P ? ? ? // ? ? a // ? ? ? b // ? ?

a??

随堂练习: 下面的说法正确吗? (1) 如果一个平面内有两条直线分别平行于 另一个平面,那么这两个平面平行.( ) (2) 如果一个平面内有无数条直线分别平行 于另一个平面,那么这两个平面平行.( ) (3) 如果一个平面内任意一条直线平行于另 一个平面,那么这两个平面平行.( )

×

×

判定定理:一个平面内两条相交直线分别平 行于另一个平面,那么这两个平面平行.
?1〉两条 ? 条件要点:?内有?2〉相交 直线 ?3〉分别和?平行 ?
判定定理剖析:
b

?

P

a

?

结论:? // ? a?? ? 证题思路:要证明两 符号语言: ? b?? 平面平行,关键是在 ? ? a ? b ? P ? ? ? // ? 其中一个平面内找出 ? 两条相交直线分别平 a // ? ? 行于另一个平面. ? b // ? ?

例题讲练

例2.正方体 ABCD

A1 B1C1 D1中,
D1

证明平面 C1 BD // 平面AB1 D1 .

分析:
只要证明:一个 平面内有两条相 交的直线与另一 个平面平行

C1

A1

B1

D

C

A

B

D1

C1
B1

例2.正方体 ABCD

A1 B1C1 D1中,

A1

证明平面 C1 BD // 平面AB1 D1 .

D

证明: AB CD

C

A

B

C1 D 1

ABC1D1是平行四边形

BC1 // AD1
BC1 ? 平面AB1D1
AD1 ? 平面AB1D1

BC1//平面AB1D1
同理C1D//平面AB1D1

BC1 ? C1D=C1

平面C1DB//平面AB1D1

应用练习:
已知:a ? ? , b ? ? , a ? b ? P; c ? ? , d ? ?; a // c, b // d .
?
?
P

b

a
d

c

求证:? // ? . 证明: ? c ? ? , a ? ? , a // c, ? a // ? . 同理b // ? . ? a ? ? , b ? ? , a ? b ? P, a // ? , b // ? , ?? // ? .

随堂练习
判断下列命题是否正确,错的举反例。 (1)已知平面?,? 和直线m,n 若m ? ?,n ? ?,m//? ,n//? 则? // ?

?
?

m n

×

反 例

(2)一个平面?内两条不平行的直线 都平行于另一个平面/?; 则? // ?



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