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高三数学第一轮复习抛物线



高三数学第一轮复习:抛物线的定义、性质及标准方程

辽河油田第三高级中学 杨闯 【本讲主要内容】 抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 抛物线定义: 平面内与一个定点 和一条直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 叫做抛物线

的焦点,直线 叫做抛物线的准线,定点

/>不在定直线 上。它与椭圆、双曲线的第二定义

相仿,仅比值(离心率 e)不同,当 e=1 时为抛物线,当 0<e<1 时为椭圆,当 e>1 时为双 曲线。 2. 抛物线的标准方程有四种形式,参数 形式方程的几何性质(如下表): 的几何意义,是焦点到准线的距离,掌握不同

其中

为抛物线上任一点。

3. 对于抛物线

上的点的坐标可设为

,以简化运算。

4. 抛物 线的焦 点弦 :设 过抛 物线 ,直线 与 的斜率分别为

的 焦点

的 直线 与抛 物线交 于 ,则有

,直线 的倾斜角为

, 。











说明: 1. 求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件 可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。 2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,能避免求交 点坐标的复杂运算。 3. 解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质。 【解题方法指导】 例 1. 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为 轴,且与圆 长等于 ,求此抛物线的方程。 或 (y1>0) ,∴ 在 上, ,代入 在 得 上 相交的公共弦

解析:设所求抛物线的方程为 设交点 则 ∴点





,∴ 或 。

故所求抛物线方程为

例 2. 设抛物线 在抛物线的准线上,且

的焦点为

,经过

的直线交抛物线于

两点,点

∥ 轴,证明直线

经过原点。

解析:证法一:由题意知抛物线的焦点

故可设过焦点

的直线

的方程为

由 设

,消去 得 ,则



∥ 轴,且

在准线





点坐标为

于是直线

的方程为

要证明 注意到

经过原点,只需证明

,即证 经过原点。

知上式成立,故直线

证法二:同上得

。又∵

∥ 轴,且

在准线

上,∴

点坐标为

。于是 过原点。 证法三:如图,

,知

三点共线,从而直线



设 轴与抛物线准线 交于点

,过





是垂足







,连结



于点

,则

又根据抛物线的几何性质,

∴ 因此点 是 的中点,即 与原点 重合,∴直线 经过原点 。

评述:本题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力。 其中证法一和二为代数法,证法三为几何法,充分运用了抛物线的几何性质,数形结合,更 为巧妙。 【考点突破】 【考点指要】 抛物线部分是每年高考必考内容,考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性 质,多出现在选择题和填空题中,主要考查基础知识、基础技能、基本方法,分值大约是5 分。 考查通常分为四个层次: 层次一:考查抛物线定义的应用; 层次二:考查抛物线标准方程的求法; 层次三:考查抛物线的几何性质的应用; 层次四:考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。 解决问题的基本方法和途径:待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等 价转化法。 【典型例题分析】 例 3. (2006 江西)设 若 A. C. 答案:B 解析:解法一:设点 坐标为 ,则 ,则点 为坐标原点, 的坐标为( B. D. ) 为抛物线 的焦点, 为抛物线上一点,



解得



(舍),代入抛物线可得点

的坐标为



解法二:由题意设

,则







, 求得

, ∴点

的坐标为



评述:本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。

例 4. (2006 安徽)若抛物线 值为( ) A. -2 答案:D B. 2 C. -4

的焦点与椭圆 D. 4

的右焦点重合,则



解析:椭圆 。

的右焦点为

,所以抛物线

的焦点为

,则

评述:本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。 【达标测试】 一. 选择题: 1. 抛物线 的准线方程为 ,则实数 的值是( )

A.

B.

C.

D. ,与焦点 的距离

2. 设抛物线的顶点在原点,其焦点在 为 4,则 等于( A. 4 3. 焦点在直线 A. C. )

轴上,又抛物线上的点

B. 4 或-4

C. -2

D. -2 或 2 )

上的抛物线的标准方程为( B. D. 或 或

4. 圆心在抛物线 ( )

上,并且与抛物线的准线及

轴都相切的圆的方程为

A.

B.

C.

D.

5. 正方体 上的动点,且点 的轨迹是( )

的棱长为1,点 到直线 的距离与点

在棱 到点

上,且

,点

是平面

的距离的平方差为1,则点

A. 抛物线 6. 已知点

B. 双曲线 是抛物线 的距离为

C. 直线 上一点,设点

D. 以上都不对 到此抛物线准线的距离为 ) ,到直线

,则

的最小值是(

A. 5 7. 已知点

B. 4 是抛物线

C. 上的动点,点

D. 在 轴上的射影是 ,点 的坐标是

,则

的最小值是(



A. 8. 过抛物线 是( ) A. 12

B. 4

C.

D. 5 两点, 为坐标原点, 则 D. -3 的值

的焦点的直线交抛物线于 B. -12

C. 3

二. 填空题: 9. 已知圆 10. 已知 物线的焦点 分别是抛物线 ,则直线 和抛物线 的准线相切,则 的值是_____。 的垂心恰好是此抛

上两点, 为坐标原点,若

的方程为_____。

11. 过点(0,1)的直线与 ___。 12. 已知直线 ___。 三. 解答题: 与抛物线

交于

两点,若

的中点的横坐标为

,则

交于

两点,那么线段

的中点坐标是__

13. 已知抛物线顶点在原点,对称轴为 抛物线的方程。 14. 过点 (4,1)作抛物线

轴,抛物线上一点

到焦点的距离是 5,求

的弦 点在

,恰被

所平分,求

所在直线方程。 。

15. 设点 F(1,0),M 点在 轴上, ⑴当点 ⑵设 当 在 轴上运动时,求

轴上,且 的方程; 上的三点,且 的坐标。

点的轨迹 是曲线

成等差数列,

的垂直平分线与 轴交于 E(3,0)时,求点

【综合测试】 一. 选择题: 1. (2005 上海)过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于 两点,它们的

横坐标之和等于 5,则这样的直线( ) A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在 2. (2005 江苏)抛物线 上的一点 到焦点的距离为 1,则点 的纵坐标是( )

A.

B.

C.

D. 0

3. (2005 辽宁) 已知双曲线的中心在原点, 离心率为 的准线重合,则该双曲线与抛物线 A. B. C.

, 若它的一条准线与抛物线 )

的交点与原点的距离是( D. 21

4. (2005 全国Ⅰ)已知双曲线 合,则该双曲线的离心率为( )

的一条准线与抛物线

的准线重

A.

B.

C.

D. ,若过点 的直线 与抛物线有

5. (2004 全国)设抛物线

的准线与 轴交于点 )

公共点,则直线 的斜率的取值范围是(

A. 6. (2006 山东) 动点 取得最小值,则

B. 是抛物线 的最小值为( )

C.

D. 上的点, 为原点, 当 时

A.

B.

C.

D.

7. ( 2004 北 京 ) 在 一 只 杯 子 的 轴 截 面 中 , 杯 子 内 壁 的 曲 线 满 足 抛 物 线 方 程

,在杯内放一个小球,要使球触及杯子的底部,则该球的表面积 取值范围是( A. ) B. C. 的准线为 ,直线 D. 与该抛物线相交于



8. (2005 北京)设抛物线 点,则点 A. 8 二. 填空题: 9. (2004 全国Ⅳ)设 到 是曲线 及点



到准线 的距离之和为( ) C. 10 D. 12

B. 7

上的一个动点,则点

到点

的距离与点

轴的距离之和的最小值是_____。

10. (2005 北京)过抛物线 为 ,则圆

的焦点

且垂直于 轴的弦为

,以

为直径的圆

与抛物线准线的位置关系是_____,圆的面积是_____。 的一条弦 , , 所在

11. (2005 辽宁)已知抛物线

直线与

轴交点坐标为(0,2),则

_____。 的焦点在直线 移到点 上,现将抛物线沿 处,则平移后所

12. (2004 黄冈)已知抛物线 向量 进行平移,且使得抛物线的焦点沿直线 得抛物线被 轴截得的弦长 _____。

三. 解答题: 13. (2004 山东)已知抛物线 C: 与抛物线交于 ⑴若以弦 两点。 为直径的圆恒过原点 ,求 的值; 的轨迹方程。 的焦点为 ,直线 过定点 且

⑵在⑴的条件下,若

,求动点

14. (2005 四川)

如图, 动点,

是抛物线

的焦点,点

为抛物线内一定点,点

为抛物线上一

的最小值为 8。

⑴求抛物线方程; ⑵若 且 为坐标原点,问是否存在点 ,若存在,求动点 ,使过点 的动直线与抛物线交于 两点,

的坐标;若不存在,请说明理由。

15. (2005 河南)已知抛物线 抛物线交于 ⑴求 ⑵求满足 ; 的点



为顶点, ,使得

为焦点,动直线 。



两点。若总存在一个实数

的轨迹方程



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