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2013高考文科数学全国大纲卷



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2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类 (大纲卷)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1.(2013 大纲全国,文 1)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},则 A.{1,2} B.{3,4

,5} C.{1,2,3,4,5} D. ? 2.(2013 大纲全国,文 2)已知 α 是第二象限角,sin α =
U

A=(

). ).

5 ,则 cos α =( 13

12 A. 13 ?

5 B. 13 ?

5 C. 13

12 D. 13

3.(2013 大纲全国,文 3)已知向量 m=(λ +1,1),n=(λ +2,2),若(m+n)⊥(m-n),则 λ =( ). A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 2 4.(2013 大纲全国,文 4)不等式|x -2|<2 的解集是( ). A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-2,0)∪(0,2) 8 6 5.(2013 大纲全国,文 5)(x+2) 的展开式中 x 的系数是( ). A.28 B.56 C.112 D.224 6.(2013 大纲全国,文 6)函数 f(x)= log 2 ?1 ?

? ?

1? -1 ? (x>0)的反函数 f (x)=( x?
C.2x-1(x∈R)

).

1 A. 2 ? 1 (x>0)
x

1 B. 2 ? 1 (x≠0)
x

D.2x-1(x>

0) 7.(2013 大纲全国,文 7)已知数列{an}满足 3an+1+an=0, a2 ? ? 等于( ).

4 ,则{an}的前 10 项和 3

A.-6(1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3 -10) 8.(2013 大纲全国,文 8)已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A,B 两点,且|AB|=3,则 C 的方程为( ).

1 B. 9 (1-310)

x2 A. 2 +y2=1

x2 y2 ? ?1 2 B. 3

x2 y2 ? ?1 3 C. 4

x2 y2 ? ?1 4 D. 5

9.(2013 大纲全国,文 9)若函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0)的部分图像如图,则 ω =( ). A.5 B.4 C.3 D.2 4 2 10.(2013 大纲全国,文 10)已知曲线 y=x +ax +1 在点(-1,a+2)处切线的斜率为 8, 则 a=( ). A.9 B.6 C.-9 D.-6 11.(2013 大纲全国,文 11)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( ). 环球网校——中国职业教育领导者品牌
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2 A. 3

3 B. 3

2 C. 3
2

1 D. 3
).

12.(2013 大纲全国,文 12)已知抛物线 C:y =8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 k

???? ???? 的直线与 C 交于 A,B 两点.若 MA · MB =0,则 k=( 2 1 A. 2 B. 2 C. 2 D.2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.(2013 大纲全国,文 13)设 f(x)是以 2 为周期的函数,且当 x∈[1,3)时,f(x)=x -2,则 f(-1)=______. 14.(2013 大纲全国,文 14)从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖,2 名二等奖,3 名三等奖,则可能的决赛结果共有__________种.(用数字作答)

? x ? 0, ? 15.(2013 大纲全国,文 15)若 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4, 则 z=-x+y 的最小值 ?3 x ? y ? 4, ?
为______. 16.(2013 大纲全国,文 16)已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径,OK= 于______.

3 ,且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60°,则球 O 的表面积等 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(2013 大纲全国,文 17)(本小题满分 10 分)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. nan

18.(2013 大纲全国, 文 18)(本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,(a+b+c)(a-b+c)=ac. (1)求 B; (2)若 sin Asin C=

3 ?1 ,求 C. 4

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19.(2013 大纲全国,文 19)(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠BAD =90°,BC=2AD,△PAB 和△PAD 都是边长为 2 的等边三角形. (1)证明:PB⊥CD; (2)求点 A 到平面 PCD 的距离.

20.(2013 大纲全国,文 20)(本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两 人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的 概率均为

1 ,各局比赛的结果相互独立,第 1 局甲当裁判. 2

(1)求第 4 局甲当裁判的概率; (2)求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判的概率.

21.(2013 大纲全国,文 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x +3ax +3x+1. (1)当 a ? ? 2 时,讨论 f(x)的单调性; (2)若 x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求 a 的取值范围.

3

2

22.(2013 大纲全国,文 22)(本小题满分 12 分)已知双曲线 C: 环球网校——中国职业教育领导者品牌

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a 2 b2
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的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 3,直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 6 . (1)求 a,b; (2)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|, |AB|,|BF2|成等比数列.

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2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(大纲卷)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 答案:B 解析:由题意得 2. 答案:A
U

A={3,4,5}.故选 B.

解析:∵α 是第二象限角,∴cos α = ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ?
2

12 ?5? ? ? ? .故选 A. 13 ? 13 ?

2

3. 答案:B 解析:∵(m+n)⊥(m-n),∴(m+n)·(m-n)=0. 2 2 ∴|m| -|n| =0, 2 2 即(λ +1) +1-[(λ +2) +4]=0. ∴λ =-3.故选 B. 4. 答案:D 2 2 2 解析:|x -2|<2?-2<x -2<2?0<x <4?0<|x|<2?-2<x<0 或 0<x<2.故选 D. 5. 答案:C 解析:T2+1= C8 x 6. 答案:A 解析:由 y=f(x)= log 2 ?1 ? ∵x>0,∴y>0. ∴f (x)= 7. 答案:C 解析:∵3an+1+an=0?an+1= ? ∴{an}是以 ? 又∵a2= ?
-1

2

8-2

·2 =112x .故选 C.

2

6

? ?

1 1 1? y . ? ?1+ =2 ?x= y x? x 2 ?1

1 (x>0).故选 A. 2 ?1
x

1 an, 3

1 为公比的等比数列. 3

4 ,∴a1=4. 3 ? ? 1 ?10 ? 4 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? -10 ∴S10= =3(1-3 ).故选 C. 1 1? 3
8. 答案:C 环球网校——中国职业教育领导者品牌
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解析:如图,|AF2|= 由椭圆定义得 |AF1|=2a-

1 3 |AB|= ,|F1F2|=2, 2 2

3 .① 2
2
2 2 2

?3? 2 在 Rt△AF1F2 中,|AF1| =|AF2| +|F1F2| = ? ? +2 .② ?2? x2 y2 2 2 2 由①②得 a=2,∴b =a -c =3.∴椭圆 C 的方程为 ? ? 1 ,应选 C. 4 3
9. 答案:B 解析:∵由题中图象可知 x0+

π 2π π T π -x0= .∴ T ? .∴ ? .∴ω =4.故选 B. 4 ? 2 2 2

10. 答案:D 3 解析:由题意知 y′|x=-1=(4x +2ax)|x=-1=-4-2a=8,则 a=-6.故选 D. 11. 答案:A 解析:如图,设 AA1=2AB=2,AC 交 BD 于点 O,连结 OC1,过 C 作 CH⊥OC1 于点 H,连结 DH. ∵BD⊥AC,BD⊥AA1, ∴BD⊥平面 ACC1A1. ∵CH ? 平面 ACC1A1, ∴CH⊥BD.∴CH⊥平面 C1BD. ∴∠CDH 为 CD 与平面 BDC1 所成的角.

? 2? 3 OC1= CC ? OC ? 4 ? ? ? 2 ? ? ? 2. ? ?
2 1 2

2

由等面积法得 OC1·CH=OC·CC1,

3 2 2 ? CH ? ? 2 .∴CH= . 2 3 2 2 CH 3 2 ∴sin∠CDH= ? ? .故选 A. CD 1 3
∴ 12. 答案:D 解析:设 AB:y=k(x-2),代入 y =8x 得: k2x2-(4k2+8)x+4k2=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则
2

4k 2 ? 8 ∴x1+x2= , k2
x1x2=4.(*)
∵ MA · MB =0, 环球网校——中国职业教育领导者品牌
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????

????

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∴(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0, 即(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0. ∴x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.① ∵?

? y1 ? k ? x1 ? 2?, ∴y1+y2=k(x1+x2-4),② ? y2 ? k ? x2 ? 2 ?,

y1·y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4].③ 由(*)及①②③得 k=2.故选 D.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:-1 解析:∵f(x)是以 2 为周期的函数,且 x∈[1,3)时,f(x)=x-2, 则 f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1. 14.答案:60 解析:分三步:第一步,一等奖有 C 6 种可能的结果;第二步,二等奖有 C5 种可能的结果; 第三步,三等奖有 C 3 种可能的结果.故共有 C6C5 C3 ? 60 (种)可能的结果.
3 1 2 3

1

2

15.答案:0 解析:z=-x+y?y=x+z,z 表示直线 y=x+z 在 y 轴上的截距, 截距越小, z 就越小.画 出题中约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示),当直线过点 A(1,1)时,zmin=0. 16.答案:16π 解析:如图,设 MN 为公共弦,长度为 R,E 为 MN 中点,连结 OE,EK,则 OE ⊥MN,KE⊥MN. ∴∠OEK 为圆 O 与圆 K 所在平面的二面角. ∴∠OEK=60°. 又△OMN 为正三角形,∴OE= ∵OK=

3 R. 2

3 ,且 OK⊥KE, 2 3 3 3 3 R? ? . ∴OE·sin 60°= .∴ 2 2 2 2
∴R=2.∴S=4π R =16π . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 因为 ?
2

? a7 ? 4, ? a19 ? 2a9 ,

所以 ?

?a1 ? 6d ? 4, ?a1 ? 18d ? 2? a1 ? 8d ?.

解得 a1=1, d ?

1 . 2

所以{an}的通项公式为 an ?

n ?1 . 2
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2 2 2 , ? ? n? n ? 1? n n ? 1 2 ? 2n ?2 2? ?2 2? ?2 所以 Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ?? ?1 2? ?2 3? ? n n ?1 ? n ?1
(2)因为 bn ? 18. 解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac, 2 2 2 所以 a +c -b =-ac. 由余弦定理得 cos B=

a 2 ? c2 ? b2 1 ?? , 2ac 2

因此 B=120°. (2)由(1)知 A+C=60°, 所以 cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C =cos(A+C)+2sin Asin C

1 3 ?1 +2 ? 2 4 3 = , 2
= 故 A-C=30°或 A-C=-30°, 因此 C=15°或 C=45°. 19. (1)证明:取 BC 的中点 E,连结 DE,则 ABED 为正方形. 过 P 作 PO⊥平面 ABCD,垂足为 O. 连结 OA,OB,OD,OE. 由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知 PA=PB=PD, 所以 OA=OB=OD,即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点, 故 OE⊥BD,从而 PB⊥OE. 因为 O 是 BD 的中点,E 是 BC 的中点, 所以 OE∥CD.因此 PB⊥CD. (2)解:取 PD 的中点 F,连结 OF,则 OF∥PB. 由(1)知,PB⊥CD,故 OF⊥CD. 又 OD=

1 BD= 2 ,OP= PD 2 ? OD 2 ? 2 , 2

故△POD 为等腰三角形,因此 OF⊥PD. 又 PD∩CD=D,所以 OF⊥平面 PCD. 因为 AE∥CD,CD ? 平面 PCD,AE ? 平面 PCD,所以 AE∥平面 PCD. 因此 O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离,而 OF= 所以 A 到平面 PCD 的距离为 1. 20. 解:(1)记 A1 表示事件“第 2 局结果为甲胜”, A2 表示事件“第 3 局甲参加比赛时,结果为甲负”, A 表示事件“第 4 局甲当裁判”. 则 A=A1·A2. 环球网校——中国职业教育领导者品牌
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1 PB=1, 2

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P(A)=P(A1·A2)=P(A1)P(A2)=

1 . 4

(2)记 B1 表示事件“第 1 局比赛结果为乙胜”, B2 表示事件“第 2 局乙参加比赛时,结果为乙胜”, B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时,结果为乙胜”, B 表示事件“前 4 局中乙恰好当 1 次裁判”. 则 B= B1 ·B3+B1·B2· B3 +B1· B2 .

P(B)=P( B1 ·B3+B1·B2· B3 +B1· B2 )
=P( B1 ·B3)+P(B1·B2· B3 )+P(B1· B2 ) =P( B1 )P(B3)+P(B1)P(B2)P( B3 )+P(B1)P( B2 )

1 1 1 ? ? 4 8 4 5 = . 8
= 21. 解:(1)当 a ? ? 2 时,f(x)=x - 3 2 x +3x+1,
3 2

f′(x)=3x2- 6 2 x+3.
令 f′(x)=0,得 x1 ?

2 ? 1, x2 ? 2 ? 1 .

当 x∈(-∞, 2 ? 1 )时,f′(x)>0,f(x)在(-∞, 2 ? 1 )是增函数; 当 x∈( 2 ? 1 , 2 ? 1 )时,f′(x)<0,f(x)在( 2 ? 1 , 2 ? 1 )是减函数; 当 x∈( 2 ? 1 ,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在( 2 ? 1 ,+∞)是增函数. (2)由 f(2)≥0 得 a ? ? 当a ? ?

5 . 4

5 ,x∈(2,+∞)时, 4 1? 5 ? ? ? f′(x)=3(x2+2ax+1)≥ 3 ? x 2 ? x ? 1? =3 ? x ? ? (x-2)>0, 2? 2 ? ? ?
所以 f(x)在(2,+∞)是增函数,于是当 x∈[2,+∞)时,f(x)≥f(2)≥0. 综上,a 的取值范围是 ? ? , ?? ? . 22. (1)解:由题设知

? 5 ? 4

? ?

a 2 ? b2 c ? 9 ,故 b2=8a2. ? 3 ,即 2 a a
2 2 2

所以 C 的方程为 8x -y =8a . 将 y=2 代入上式,并求得 x ? ? a ?
2

1 . 2

1 ? 6 ,解得 a2=1. 2 所以 a=1, b ? 2 2 .
由题设知, 2 a ?
2

(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C 的方程为 8x -y =8.① 环球网校——中国职业教育领导者品牌
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2

2

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由题意可设 l 的方程为 y=k(x-3),|k |<2 2 ,代入①并化简得(k -8)x -6k x+9k +8= 0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

2

2

2

2

x1≤-1,x2≥1,x1+x2=
2

6k 2 9k 2 ? 8 , x . 1·x2= k2 ?8 k2 ?8
2

于是|AF1|= ? x1 ? 3? ? y1 = ? x1 ? 3? ? 8 x1 ? 8
2 2

=-(3x1+1), |BF1|= ? x2 ? 3? ? y2
2 2 2 2

= ? x2 ? 3? ? 8 x2 ? 8 =3x2+1. 由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,

2 . 3 6k 2 2 故 2 ?? , k ?8 3 4 19 2 解得 k ? ,从而 x1·x2= ? . 5 9
即 x1+x2= ? 由于|AF2|= ? x1 ? 3? ? y1
2 2

= ? x1 ? 3? ? 8 x1 ? 8
2 2

=1-3x1, |BF2|= ? x2 ? 3? ? y2
2 2 2 2

= ? x2 ? 3? ? 8 x2 ? 8 =3x2-1, 故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4, |AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16. 2 因而|AF2|·|BF2|=|AB| ,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.

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