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学而思教育· 思考成就未来! 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来!

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课 题§4.8.3 正弦函数、余弦函数的图象和性质(三) 教学目标 (一)知识目标 1.正、余弦函数的性质; 2.正、余弦函数性质的应用. (二)能力目标 1.掌握正、余弦函数的性质; 2.灵活利用正、余弦函数的性质. (三)德育目标 1.渗透数形结合思想; 2.培养联系变化的观点; 3.提高数学素质. 教学重点 1.熟练掌握正、余弦函数的性质; 2.灵活应用正、余弦函数的性质. 教学难点 结合图象灵活运用正、余弦函数性质. 教学方法 通过强化训练题目,加深理解,总结经验,提高 解题能力.(讲练结合法) 教具准备 幻灯片一张(§4.8.3 A) 内容:正、余弦函数的图象 教学过程 Ⅰ.复习回顾 生:回顾正、余弦函数的图象及其性质:定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等等. 下面结合例子看其应用: [例 1]求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x∈R; R (2)y=sin2x,x∈R; R (3)y=2sin(

1 π x- ),x∈R. R 2 6

解:(1)∵y=cosx 的周期是 2π ∴只有 x 增到 x+2π时,函数值才重复出现. ∴y=3cosx,x∈R 的周期是 2π. R (2)令 Z=2x,那么 x∈R 必须并且只需 Z∈R,且函数 y=sinZ,Z∈R 的周期是 2π. R R R 即 Z+2π=2x+2π=2(x+π). 只有当 x 至少增加到 x+π,函数值才能重复出现. ∴y=sin2x 的周期是π.

1 π x- ,那么 x∈R 必须并且只需 Z∈R,且函数 y=2sinZ,Z∈R 的周期是 R R R 2 6 1 π 1 π 2π , 由于 Z+2π=( x- )+2π= (x+4π)- , 所以只有自变量 x 至少要增加到 2 6 2 6
(3)令 Z=

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x+4π,函数值才能重复取得,即 T=4π是能使等式 2sin[


π
6

1 π 1 (x+T)- ]=2sin( x 2 6 2

)成立的最小正数. 从而 y=2sin(

1 π x- ),x∈R 的周期是 4π. 2 6

从上述可看出,这些函数的周期仅与自变量 x 的系数有关. 一般地,函数 y=Asin(ωx+ ? ),x∈R 及函数 y=Acos(ωx+ ? ),x∈R(其中 A、ω、 R R

? 为常数,且 A≠0,ω>0)的周期 T=



ω

.

根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期,如对于上述例子: (1)T=2π,(2)T=

2π 1 =π,(3)T=2π÷ =4π 2 2

[例 2]不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0. (1)sin(-

π

18 10 23π 17π (2)cos(- )-cos(- ). 5 4

)-sin(-

π

);

解:(1)∵-

π

2

<-

π

10

<-

π

且函数 y=sinx,x∈[- ∴sin(-

π
2
)

18




π
2



π
2

]是增函数.

π
10

)<sin(-

π
18

18 10 23π 23π 3π (2)cos(- )=cos =cos 5 5 5 17π 17π π cos(- )=cos =cos 4 4 4 π 3π ∵0< < <π 4 5
且函数 y=cosx,x∈[0,π]是减函数

即 sin(-

π

)-sin(-

π

)>0

3π π <cos 5 4 3π π 即 cos -cos <0 5 4 23π 17π ∴cos(- )-cos(- )<0 5 4
∴cos Ⅲ.课堂练习 (打出幻灯片§4.8.3 A) 生:(书面练习)课本 P56 5、8 5.(1)y=sin3x,x∈R,T= R

2π 3
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(2)y=cos

2π x ,x∈R,T= =6π R 1 3 3
2π x ,x∈R,T= =8π R 1 4 4

(3)y=3sin

8.(1)sin260°<sin250° (2)cos

15π 14π >cos 8 9 54π 63π )>sin(- ) 7 8 2π

(3)cos515°>cos530° (4)sin(-

Ⅳ.课时小结 师:通过本节学习,要掌握一结论:形如 y=Asin(ωx+ ? )(A>0,ω≠0)的 T= 另外,要注意正、余弦函数性质的应用. Ⅴ.课后作业 3、6 (一)课本 P58 习题 4.8 (二)1.预习课本 P59~P61 2.预习提纲 (1)何为振幅? (2)怎样进行振幅变换和周期变换? 板书设计 课题 课时小结 备课资料 1.求函数 y= 例 复习回顾

ω

3 cos x + 1 的值域. cos x + 2

解:由已知:cosx= -8≤0 ∴-2≤y≤ ∴ymax=

2y ?1 2y ?1 2y ?1 2 2 ?| |=|cosx|≤1 ? ( ) ≤1 ? 3y +2y 3? y 3? y 3? y

4 3

4 ,ymin=-2 3
.

2.f(x)=sinx 图象的对称轴是 解:由图象可知: 对称轴方程是:x=kπ+ 3.(1)函数 y=sin(x+

π
2

(k∈Z) Z

π
4

)在什么区间上是增函数?

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(2)函数 y=3sin(

π
3

-2x)在什么区间是减函数?

解:(1)函数 y=sinx 在下列区间上是增函数: 2kπ-

π
2

<x<2kπ+

π
2

(k∈Z) Z

∴函数 y=sin(x+ <x<2kπ+

π
4

)为增函数, 当且仅当 2kπ-

π
2

<x+

π
4

<2kπ+

π
2

即 2kπ-

π
3

π
4

(k∈Z)为所求. Z

(2)∵y=3sin( 由 2kπ-

π
3

-2x)=-3sin(2x-

π
3

)

π
2

2 5π ≤x≤kπ+ (k∈Z)为所求. 得 kπ- Z 12 12

≤2x-

π
3

≤2kπ+

π

π

或:令 u=

π

3

-2x,则 u 是 x 的减函数

又∵y=sinu在[2kπ- 2x)在区间 [2kπ-

π
2

,2kπ+

π
2

](k∈Z)上为增函数,∴原函数 y=3sin( Z

π
3



π
2

,2kπ+

π
2

]上递减.

设 2kπ-

π
2



π
3

-2x≤2kπ+

π
2

解得 kπ-

π

12

≤x≤kπ+

∴原函数 y=3sin(

π
3

5π (k∈Z) Z 12

-2x)在[kπ-

π
12

,kπ+

5π ](k∈Z)上单调递减. Z 12

评述:在求三角函数的单调区间时,一定要注意复合函数的有关知识,忽略复合函数的 条件,是同学们解题中常发生的错误. 下面请看一错例剖析: [例]求函数 y=sin 误解:令u=

1? x π 2

1? x π的单调增区间. 2

∵y=sinu在[2kπ- ∴2kπ-

π
2

,2kπ+

π
2

](k∈Z)上递增 Z

π
2



1? x π π≤2kπ+ 2 2

解得-4k≤x≤-4k+2 ∴原函数的单调递增区间为[-4k,-4k+2](k∈Z) Z 分析:上述解答貌似正确,实则错误,错误的原因是,令u= 的减函数,未考虑复合后单调性的变化.

1? x π,忽视了u是 x 2

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正解如下:

1? x π,则 u 是 x 的减函数 2 π 3π π [2 2 ] k∈Z)上为减函数, ( Z ∴原函数在 kπ+ , [2 又∵y=sinu在 kπ+ , kπ+ 2 2 2 3π 2kπ+ ](k∈Z)上递增 Z 2 π 1? x 3π π≤2kπ+ 设 2kπ+ ≤ 2 2 2
解法一:令u= 解得-4k-2≤x≤-4k(k∈Z) Z ∴原函数在[-4k-2,-4k](k∈Z)上单调递增 Z 解法二:将原函数变形为 y=-sin 因此只需求 sin ∵u=

x ?1 π为增函数 2

x ?1 π=y 的减区间即可 2

x ?1 π 2

∴只需求 sinu的递减区间 ∴2kπ+

π
2



x ?1 3π π≤2kπ+ 2 2

解之得:4k+2≤x≤4k+4(k∈Z) Z ∴原函数的单调递增区间为[4k+2,4k+4](k∈Z) Z 附:谈三角函数最值的求解 三角函数最值是中学数学的一个重要内容, 加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握 已经学过的三角知识,沟通三角、代数、几何之间的联系,培养学生的思维能力. 本文介绍三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法. 一、利用三角函数的有界性 利用三角函数的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1 来求三角函数的最值. [例 1]a、b 是不相等的正数. 求 y= a cos x + b sin x +
2 2
2

a sin 2 x + b cos 2 x 的最大值和最小值.

解:y 是正值,故使 y 达到最大(或最小)的 x 值也使 y 达到最大(或最小).

y2=acos2x+bsin2x+2 a cos 2 x + b sin 2 x · a sin 2 x + b cos 2 x +asin2x+bcos2x
=a+b+ 4ab + ( a ? b) sin 2 x
2 2

∵a≠b,(a-b) >0,0≤sin 2x≤1 ∴当 sin2x=±1 时,即 x= 当 sinx=0 时,即 x=

2

2

kπ (k∈Z)时,y 有最小值 a + b . Z 2

kπ π + (k∈Z)时,y 有最大值 2(a + b) ; Z 2 2

二、利用三角函数的增减性 如果 f(x)在[α,β]上是增函数,则 f(x)在[α,β]上有最大值 f(β),最小值 f(α);如果 f(x)在[α,β]上是减函数,则 f(x)在[α,β]上有最大值 f(α),最小

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值 f(β). [例 2]在 0≤x≤

π
2

条件下,求 y=cos x-sinxcosx-3sin x 的最大值和最小值.

2

2

解:利用二倍角余弦公式的变形公式,有

y=

1 + cos 2 x 1 ? cos 2 x -2sin2x-3· =2(cos2x-sin2x)-1 2 2

=2 2 (cos2xcos =2 2 cos(2x+ ∵0≤x≤

π

π
4

4

-sin2xsin

π

4

)-1

)-1

π
2



π
4

≤2x+

π
4



5π 4

cos(2x+

π
4

)在[0,

3π 8

)上是减函数

故当 x=0 时有最大值

2 2

当 x=

3π 8

时有最小值-1

cos(2x+

π
4

)在[

3π 8



π
2

]上是增函数

故当 x=

3π 8

时,有最小值-1

当 x=

π
2

时,有最大值-

2 2

综上所述,当 x=0 时,ymax=1 当 x=

3π 8

时,ymin=-2 2 -1

三、换元法 利用变量代换,我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解. 4 3 2 2 3 4 [例 3] f(x)=sin x+2sin xcosx+sin xcos x+2sinxcos x+cos x 的最大值和最小 求 值. 解:f(x)=(sin x+cos x) -2sin xcos x+2sinxcosx(sin x+cos x)+sin xcos x 2 2 =1+2sinxcosx-sin xcos x
2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 sin2x 2 1 1 ∴- ≤t≤ 2 2
令t=



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f(t)=1+2t-t2=-(t-1)2+2
在①的范围内求②的最值 当t=



1 π 7 ,即 x=kπ+ (k∈Z)时,f(x)max= Z 2 4 4 1 3π 1 当t=- ,即 x=kπ+ (k∈Z)时,f(x)min=- Z 2 4 4
附:求三角函数最值时应注意的问题 三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一,也是会考、高考必考内容,在求解 中欲达到准确、迅速,除熟练掌握三角公式外,还应注意以下几点: 一、注意 sinx、cosx 自身的范围 2 [例 1]求函数 y=cos x-3sinx 的最大值. 解:y=cos x-3sinx=-sin x-3sinx+1=-(sinx+ ∵-1≤sinx≤1, ∴当 sinx=-1 时,ymax=3 说明:解此题易忽视 sinx∈[-1,1]这一范围,认为 sinx=- 造成误解. 二、注意条件中角的范围 [例 2]已知|x|≤
2 2 2

3 2 13 )+ 2 4

3 13 时,y 有最大值 , 2 4

π
4

,求函数 y=cos x+sinx 的最小值.

2

解:y=-sin x+sinx+1=-(sinx-

1 2 5 )+ 2 4

∵-

π
4

≤ x≤

π
4

∴-

2 2 ≤sinx≤ 2 2

∴当 sinx=-

2 时 2

ymin=-(-

2 1 2 5 1? 2 - )+ = 2 2 4 2

说明:解此题注意了条件|x|≤ 小值,产生误解. 三、注意题中字母(参数)的讨论

π
4

,使本题正确求解,否则认为 sinx=-1 时 y 有最

[例 3]求函数 y=sin x+acosx+

2

5 3 π a- (0≤x≤ )的最大值. 8 2 2

解:∵y=1-cos x+acosx+

2

5 3 a a2 5 1 a- =-(cosx- )2+ + a- 8 2 2 4 8 2

a a2 5 1 ∴当 0≤a≤2 时,cosx= ,ymax= + a- 2 4 8 2
当 a>2 时,cosx=1,ymax=

13 3 a- 8 2

当 a<0 时,cosx=0,ymax=

5 1 a- 8 2

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说明:解此题注意到参数 a 的变化情形,并就其变化讨论求解,否则认为 cosx=

a 时, 2

y 有最大值会产生误解.
四、注意代换后参数的等价性 [例 4]已知 y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π),求 y 的最大值、最小值. 解:设 t=sinθ-cosθ= 2 sin(θ- ∴2sinθcosθ=1-t 又∵t= 2 sin(θ- ∴-1≤t≤ 2 当t=
2 2

π
4

)

∴y=-t +t+1=-(t- ),0≤θ≤π

π
4

1 2 5 )+ 2 4 π π 3π ∴- ≤θ- ≤ 4 4 4

1 5 时,ymax= 2 4

当t=-1 时,ymin=-1 说明:此题在代换中,据θ范围,确定了参数t∈[-1, 2 ],从而正确求解,若 忽视这一点,会发生t= 教学后记

1 时有最大值而无最小值的结论. 2

8



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