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数列知识点总结



数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质 定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数) 公式: an ? a1 ? ? n ?1? d 等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 2. 前 n 项和公式: Sn ? 3. 等差数列的判定 (1)定义法: an?1 ? an ? d ( d 为常数) (2)等差中项法: an?1 ?

an ? an ? an?1 (n ? 2) 4. 性质: ?an ? 是等差数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq;
Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍 (2) 数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ?仍为等差数列,

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

为等差数列,公差为 n 2 d ; (3)若三个数成等差数列,可设为 a ? d,a,a ? d (4) ?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ( a, b 为常数,是关于 n 的常 数项为 0 的二次函数)
Sn 的最值可求二次函数 Sn ? an2 ? bn 的最值;或者求出 ?an ? 中的正、负

分界项, 即:当 a1 ? 0,d ? 0 ,解不等式组 ? 当 a1 ? 0,d ? 0 ,由 ?
?an ? 0 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an ?1 ? 0

?an ? 0 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0

(5)项数为偶数 2n 的等差数列 ?an ? ,有
S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 )

S偶 ? S 奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . a n ?1

(6)项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ? ,有
S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) ,

S 奇 ? S 偶 ? an ,

S奇 S偶

?

n . n ?1

5.“片段和”性质:

1.等比数列的定义与性质 定义:
an ?1 ? q ( q 为常数, q ? 0 ) an

公式: an ? a1qn?1 . 等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G2 ? xy ,或 G ? ? xy .
?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意!) (q ? 1) ? ? 1? q

性质: ?an ? 是等比数列
· an ? a p · aq (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am

(2) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q n .

求数列的通项常用方法
(1)公式法:①等差数列通项公式;公式: an ? a1 ? ? n ?1? d ②等比数列通项公式。公式: an ? a1qn?1 .
1 1 1 ,9 , ? 求 an 8 16 32 1 (答: an ? 2n ? 1 ? n ?1 ) 2

例:已知数列 3 ,5 ,7

1 4

(2)作差法:

1 ,( n ? 1) 已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an , an ? S Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2)

?

注意:由 Sn 求 an 时应注意什么?
n ? 1 时, a1 ? S1 ; n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

.

例:已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an
n ?1 (答: an ? 3, ); n 2 ,n ? 2

?

例:数列 ?an ? , a1 ? (答: an ? ? (3)累加法:

1 2

1 1 a ? …… ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2 2

?14 (n ? 1) ?2
n ?1

(n ? 2)



若 an?1 ? an ? f (n) ,求 an ;
a2 ? a1 ? f (2) ? a3 ? a2 ? f (3) ? ? ? 两边相加得 an ? a1 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) …… …… ? an ? an ?1 ? f (n) ? ?

∴ an ? a0 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n)

或 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 例:数列 ?an ? 中, a1 ? 1,an ? 3n?1 ? an?1 ? n ? 2? ,求 an

an ? ? 3n ? 1? 答: 2 ( )

1

例:(四川卷第 16 题)答案:

n( n ? 1) +1 . 2

设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? an ? n ?1 ,则通项 an ? ___________. (4)累乘法: 已知
an ?1 a a a ? f (n) 求 an , an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) an an ?1 an ? 2 a1
4 ) n(n ? 1)
a n ?1 n ? ,求a n an n ?1 a 3 1 2 n ?1 1 又a 1 ? 3,∴a n ? ? · ?? ,∴ n ? n 2 3 n a1 n ,

例:数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an (答: an ?

例如:数列?a n ?中,a1 ? 3,
解:

a2 a a · 3 ?? n a1 a2 a n?1

(5)等比型递推公式
an ? can?1 ? d ( c、 d 为常数, c ? 0,c ? 1,d ? 0 )可转化为等比数列,
设 an ? x ? c ? an?1 ? x ? ? an ? can?1 ? ? c ?1? x 令 (c ? 1) x ? d ,∴ x ? 的等比数列 ∴ an ?
d d d ? ? ,c 为公比 ,∴ ?an ? ? 是首项为 a1 ? c ?1 c ?1 c ? 1? ?

d d ? n ?1 d ? n?1 d ? ? ? ? a1 ? · c ,∴ an ? ? a1 ? ? ?c ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ?
n ?1

? 4? 数列?a n ?满足a1 ? 9,3a n?1 ? a n ? 4,求a n (a n ? 8? ? ? ? 3? 例:

? 1)

(6)倒数法 如: a1 ? 1,an ?1 ?
2an ,求 an an ? 2

由已知得:

a ?2 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ,∴ ? ? an?1 2an 2 an an?1 an 2

?1? 1 1 1 1 1 · ? ? n ? 1? , ∴ ? ? 为等差数列, ? 1 ,公差为 ,∴ ? 1 ? ? n ? 1? 2 a1 an 2 2 ? an ?
∴ an ?
2 n ?1

补充:

数列的前 n 项和常用方法
(1)公式法: ①等差数列求和公式; Sn ?

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

?na1 (q ? 1) ? ②等比数列求和公式; Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? (q ? 1) ? ? 1? q

特别声明: 运用等比数列求和公式, 务必检查其公比与 1 的关系, 必 要 时 需 分 类 讨 论 . ; ③ 常 用 公 式 : 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) ,
2
12 ? 22 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [ 6

n(n ? 1) 2 ] 2

(2)分组求和法: 等差 + 等比 例: (3)倒序相加法: 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数 相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和。
S n ? a 1 ? a 2 ? ?? ? a n ?1 ? a n ? ? ?相加 S n ? a n ? a n ?1 ? ?? ? a 2 ? a 1 ? ?

2Sn ? ?a1 ? a n ? ? ?a 2 ? a n?1 ? ? ?? ? ?a1 ? a n ???
1 1 1 x2 例:已知 f ( x) ? ,求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 2 3 4 1? x 7 (答: ) 2

(4)错位相减法: 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相 乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导 方法). 若 ?an ? 为等差数列, ?bn ? 为等比数列,求数列 ?anbn ? (差比数列) 前 n 项和,可由 Sn ? qSn ,求 Sn ,其中 q 为 ?bn ? 的公比.

如: Sn ? 1? 2x ? 3x2 ? 4x3 ? ……? nxn?1
x · Sn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? 4x4 ? ……? ? n ?1? xn?1 ? nxn

① ②

①—② ?1? x ? Sn ? 1? x ? x2 ? ……? xn?1 ? nxn
x ? 1 时, S n ?

?1 ? x ? ? nx
n

n

?1 ? x ?

2

1? x

, x ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?

n ? n ? 1? 2

5.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式, 且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式 有: ① 1 ? 1 ? 1 ; ② 1 ? 1 (1 ? 1 ) ;

n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ), ? ③ 2? 2 ? ( ? ? 2? ? ? ; k k ? 1 2 k ? 1 k ? 1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k n 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ] ;⑤ ④ ; ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)! 2 2 ? 1 ? ? 2( n ? n ? 1) . ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? n ? n ?1 n n ? n ?1 n 1 ? (答: 如(1)求和: 1 ? 1 ? ? ? ); 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1) 3n ? 1 1 (2)在数列 {an } 中, a n ? ,且 Sn=9,则 n=_____ n ? n ?1

(答:99);

习题
1.设{an}是等差数列, 若 a2=3, a 7 =13, 则数列{an}前 8 项的和为 ( (福建卷第 3 题) A.128 B.80 C.64 D.56 ) )

2. 已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( (全国Ⅰ卷第 7 题) A.64 B.81 C.128 D.243

3.已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,若 bn ? a2n ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和等于( A.30 )(北京卷第 7 题) C.90 D.186

B.45

4.记等差数列的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 4, S4 ? 20 ,则该数列的公差 d ? ( A.2 )(广东卷第 4 题) B .3 C .6
5 2

D.7

5.在数列 {an } 中,an ? 4n ? ,a1 ? a2 ??? an ? an2 ? bn ,n ? N * ,其中 a , b 为 常数,则 ab ? .(安徽卷第 15 题) 6.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n D.1 ? n ? ln n (江西卷第 5 题)
1 n



7.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n .(Ⅰ)设 bn ?

an .证明:数列 2 n ?1

?bn ? 是等差数列;(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .(全国Ⅰ卷第 19
题)

8.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 2n ,(Ⅰ)求 a1 , a4 ;(Ⅱ)证明: (Ⅲ)求 ?an ? 的通项公式. (四川卷第 21 题) ?an?1 ? 2an ? 是等比数列;

习题答案
1. 略解:∵ a2 +a 7 = a 1 +a 8 =16,∴{an}前 8 项的和为 64,故应选 C. 2.答案:A. 3.略解:∵a 5 -a 2 =3d=9,∴ d=3,b 1 = a2 ? 6 ,b 5 =a 10 =30, ?bn ? 的前 5 项和等于 90,故答案是 C. 4.略解:∵ S4 ? S2 ? S2 ? 4d ? 12, d ? 3 ,故选 B. 5.答案:-1. 6.答案:A. 7.略解: (Ⅰ)bn?1 ? bn =
an ?1 an an ?1 ? 2an 2 n ? = = n =1, 则 ?bn ? 为等差数列, 2 n 2 n ?1 2n 2

b1 ? 1 , bn ? n , an ? n2n?1 .







Sn ? 1? 20 ? 2? 21 ??? (n ?1)? 2n?2 ? n? 2n?1

, , 得

2Sn ? 1? 21 ? 2? 22 ??? (n ?1)? 2n?1 ? n? 2n Sn ? ? 2n n ?01? 2 1?
? n 2 ? ? 1


n






?1



? n2

n n = (n? ?1)2 ? 2 ?1 . ?2

8.略解: (Ⅰ) ∵ a1 ? S1, 2a1 ? S1 ? 2 , 所以 a1 ? 2, S1 ? 2 . 由 2an ? Sn ? 2n 知,
2an?1 ? Sn?1 ? 2n?1 ? an?1 ? Sn ? 2n?1





an?1 ? Sn ? 2n?1





a4 ? S3 ? 24 ? 40 . a2 ? S1 ? 22 ? 2 ? 22 ? 6, S2 ? 8 , a3 ? S2 ? 23 ? 8 ? 23 ? 16, S3 ? 24 ,
an ?1 ? 2an ? ? S n ? 2n ?1 ? ? ? S n ? 2n ? ? 2n ?1 ? 2n ? 2n , (Ⅱ) 由题设和①式知,
∴ ?an?1 ? 2an ? 是首项为 2,公比为

2 的等比数列.

(Ⅲ)
an ? ? an ? 2an?1 ? ? 2 ? an?1 ? 2an?2 ? ??? 2n?2 ? a2 ? 2a1 ? ? 2n?1 a1 ? ? n ?1? ? 2n?1



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