数列知识点总结

数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质 定义： an?1 ? an ? d （ d 为常数） 公式： an ? a1 ? ? n ?1? d 等差中项： x，A，y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 2. 前 n 项和公式: Sn ? 3. 等差数列的判定 （1）定义法: an?1 ? an ? d （ d 为常数） （2）等差中项法： an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) 4. 性质： ?an ? 是等差数列 （1）若 m ? n ? p ? q ，则 am ? an ? ap ? aq；
Sn，S2n ? Sn，S3n ? S2n…… 仍 （2） 数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ?仍为等差数列，

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

为等差数列，公差为 n 2 d ； （3）若三个数成等差数列，可设为 a ? d，a，a ? d （4） ?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn （ a， b 为常数，是关于 n 的常 数项为 0 的二次函数）
Sn 的最值可求二次函数 Sn ? an2 ? bn 的最值；或者求出 ?an ? 中的正、负

分界项， 即：当 a1 ? 0，d ? 0 ，解不等式组 ? 当 a1 ? 0，d ? 0 ，由 ?
?an ? 0 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an ?1 ? 0

?an ? 0 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0

(5)项数为偶数 2n 的等差数列 ?an ? ，有
S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 )

S偶 ? S 奇 ? nd ，

S奇 S偶

?

an . a n ?1

（6）项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ? ，有
S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) ，

S 奇 ? S 偶 ? an ，

S奇 S偶

?

n . n ?1

5.“片段和”性质：

1.等比数列的定义与性质 定义：
an ?1 ? q （ q 为常数， q ? 0 ） an

公式： an ? a1qn?1 . 等比中项： x、G、y 成等比数列 ? G2 ? xy ，或 G ? ? xy .
?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和： Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? （要注意！） (q ? 1) ? ? 1? q

性质： ?an ? 是等比数列
· an ? a p · aq （1）若 m ? n ? p ? q ，则 am

（2） Sn，S2n ? Sn，S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q n .

求数列的通项常用方法
(1)公式法：①等差数列通项公式；公式： an ? a1 ? ? n ?1? d ②等比数列通项公式。公式： an ? a1qn?1 .
1 1 1 ,9 , ? 求 an 8 16 32 1 （答： an ? 2n ? 1 ? n ?1 ） 2

例：已知数列 3 ,5 ,7

1 4

(2)作差法：

1 ,( n ? 1) 已知 Sn （即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) ）求 an ， an ? S Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2)

?

注意：由 Sn 求 an 时应注意什么？
n ? 1 时， a1 ? S1 ； n ? 2 时， an ? Sn ? Sn?1

.

例：已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ，求 an
n ?1 （答： an ? 3, ）； n 2 ,n ? 2

?

例：数列 ?an ? ， a1 ? （答： an ? ? （3）累加法：

1 2

1 1 a ? …… ? n an ? 2n ? 5 ，求 an 2 2 2 2

?14 (n ? 1) ?2
n ?1

(n ? 2)

）

若 an?1 ? an ? f (n) ，求 an ；
a2 ? a1 ? f (2) ? a3 ? a2 ? f (3) ? ? ? 两边相加得 an ? a1 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) …… …… ? an ? an ?1 ? f (n) ? ?

∴ an ? a0 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n)

或 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 例：数列 ?an ? 中， a1 ? 1，an ? 3n?1 ? an?1 ? n ? 2? ，求 an

an ? ? 3n ? 1? 答： 2 （ ）

1

例：（四川卷第 16 题）答案：

n( n ? 1) +1 ． 2

设数列 ?an ? 中， a1 ? 2, an?1 ? an ? n ?1 ，则通项 an ? ___________． （4）累乘法： 已知
an ?1 a a a ? f (n) 求 an ， an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) an an ?1 an ? 2 a1
4 ） n(n ? 1)
a n ?1 n ? ，求a n an n ?1 a 3 1 2 n ?1 1 又a 1 ? 3，∴a n ? ? · ?? ，∴ n ? n 2 3 n a1 n ，

例：数列 {an } 中， a1 ? 2 ，前 n 项和 S n ，若 S n ? n 2 an ，求 an （答： an ?

例如：数列?a n ?中，a1 ? 3，
解：

a2 a a · 3 ?? n a1 a2 a n?1

（5）等比型递推公式
an ? can?1 ? d （ c、 d 为常数， c ? 0，c ? 1，d ? 0 ）可转化为等比数列，
设 an ? x ? c ? an?1 ? x ? ? an ? can?1 ? ? c ?1? x 令 (c ? 1) x ? d ，∴ x ? 的等比数列 ∴ an ?
d d d ? ? ，c 为公比 ，∴ ?an ? ? 是首项为 a1 ? c ?1 c ?1 c ? 1? ?

d d ? n ?1 d ? n?1 d ? ? ? ? a1 ? · c ，∴ an ? ? a1 ? ? ?c ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ?
n ?1

? 4? 数列?a n ?满足a1 ? 9，3a n?1 ? a n ? 4，求a n （a n ? 8? ? ? ? 3? 例：

? 1）

（6）倒数法 如： a1 ? 1，an ?1 ?
2an ，求 an an ? 2

由已知得：

a ?2 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ，∴ ? ? an?1 2an 2 an an?1 an 2

?1? 1 1 1 1 1 · ? ? n ? 1? ， ∴ ? ? 为等差数列， ? 1 ，公差为 ，∴ ? 1 ? ? n ? 1? 2 a1 an 2 2 ? an ?
∴ an ?
2 n ?1

补充：

数列的前 n 项和常用方法
（1）公式法： ①等差数列求和公式； Sn ?

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

?na1 (q ? 1) ? ②等比数列求和公式； Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? (q ? 1) ? ? 1? q

特别声明： 运用等比数列求和公式， 务必检查其公比与 1 的关系， 必 要 时 需 分 类 讨 论 . ； ③ 常 用 公 式 ： 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) ，
2
12 ? 22 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ， 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [ 6

n(n ? 1) 2 ] 2

（2）分组求和法： 等差 + 等比 例： （3）倒序相加法： 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数 相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和。
S n ? a 1 ? a 2 ? ?? ? a n ?1 ? a n ? ? ?相加 S n ? a n ? a n ?1 ? ?? ? a 2 ? a 1 ? ?

2Sn ? ?a1 ? a n ? ? ?a 2 ? a n?1 ? ? ?? ? ?a1 ? a n ???
1 1 1 x2 例：已知 f ( x) ? ，求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 2 3 4 1? x 7 （答： ） 2

（4）错位相减法： 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相 乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 n 和公式的推导 方法）. 若 ?an ? 为等差数列， ?bn ? 为等比数列，求数列 ?anbn ? （差比数列） 前 n 项和，可由 Sn ? qSn ，求 Sn ，其中 q 为 ?bn ? 的公比.

如： Sn ? 1? 2x ? 3x2 ? 4x3 ? ……? nxn?1
x · Sn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? 4x4 ? ……? ? n ?1? xn?1 ? nxn

① ②

①—② ?1? x ? Sn ? 1? x ? x2 ? ……? xn?1 ? nxn
x ? 1 时， S n ?

?1 ? x ? ? nx
n

n

?1 ? x ?

2

1? x

， x ? 1 时， Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?

n ? n ? 1? 2

5．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式， 且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式 有： ① 1 ? 1 ? 1 ； ② 1 ? 1 (1 ? 1 ) ；

n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )， ? ③ 2? 2 ? ( ? ? 2? ? ? ； k k ? 1 2 k ? 1 k ? 1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k n 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ] ；⑤ ④ ； ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)! 2 2 ? 1 ? ? 2( n ? n ? 1) . ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? n ? n ?1 n n ? n ?1 n 1 ? （答： 如（1）求和： 1 ? 1 ? ? ? ）； 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1) 3n ? 1 1 （2）在数列 {an } 中， a n ? ，且 Sｎ＝９，则 n＝_____ n ? n ?1

（答：99）；

习题
1.设{an}是等差数列， 若 a2=3， a 7 =13， 则数列{an}前 8 项的和为 （ （福建卷第 3 题） A．128 B．80 C．64 D．56 ） ）

2. 已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3，a2 ? a3 ? 6 ，则 a7 ? （ （全国Ⅰ卷第 7 题） A．64 B．81 C．128 D．243

3.已知等差数列 ?an ? 中， a2 ? 6 ， a5 ? 15 ，若 bn ? a2n ，则数列 ?bn ? 的前 5 项和等于（ A．30 ）（北京卷第 7 题） C．90 D．186

B．45

4.记等差数列的前 n 项和为 Sn ，若 S2 ? 4, S4 ? 20 ，则该数列的公差 d ? （ A．2 ）（广东卷第 4 题） B ．3 C ．6
5 2

D．7

5.在数列 {an } 中，an ? 4n ? ，a1 ? a2 ??? an ? an2 ? bn ，n ? N * ,其中 a , b 为 常数，则 ab ? ．（安徽卷第 15 题） 6.在数列 {an } 中， a1 ? 2 ， an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ，则 an ? （ A． 2 ? ln n B． 2 ? (n ? 1) ln n C． 2 ? n ln n D．1 ? n ? ln n （江西卷第 5 题）
1 n

）

7.在数列 ?an ? 中， a1 ? 1 ， an?1 ? 2an ? 2n ．（Ⅰ）设 bn ?

an ．证明：数列 2 n ?1

?bn ? 是等差数列；（Ⅱ）求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ．（全国Ⅰ卷第 19
题）

8.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 2n ，（Ⅰ）求 a1 , a4 ；（Ⅱ）证明： （Ⅲ）求 ?an ? 的通项公式． （四川卷第 21 题） ?an?1 ? 2an ? 是等比数列；

习题答案
1. 略解：∵ a2 +a 7 = a 1 +a 8 =16，∴{an}前 8 项的和为 64，故应选 C． 2.答案：A． 3.略解：∵a 5 -a 2 =3d=9，∴ d=3，b 1 = a2 ? 6 ，b 5 =a 10 =30， ?bn ? 的前 5 项和等于 90，故答案是 C． 4.略解：∵ S4 ? S2 ? S2 ? 4d ? 12, d ? 3 ,故选 B. 5.答案：－1． 6.答案：A． 7.略解： （Ⅰ）bn?1 ? bn =
an ?1 an an ?1 ? 2an 2 n ? = = n =1， 则 ?bn ? 为等差数列， 2 n 2 n ?1 2n 2

b1 ? 1 ， bn ? n ， an ? n2n?1 ．

（

Ⅱ

）

Sn ? 1? 20 ? 2? 21 ??? (n ?1)? 2n?2 ? n? 2n?1

， ， 得

2Sn ? 1? 21 ? 2? 22 ??? (n ?1)? 2n?1 ? n? 2n Sn ? ? 2n n ?01? 2 1?
? n 2 ? ? 1

．
n

两

式

相
?1

减

? n2

n n = (n? ?1)2 ? 2 ?1 ． ?2

8.略解： （Ⅰ） ∵ a1 ? S1, 2a1 ? S1 ? 2 ， 所以 a1 ? 2, S1 ? 2 ． 由 2an ? Sn ? 2n 知，
2an?1 ? Sn?1 ? 2n?1 ? an?1 ? Sn ? 2n?1

得

，

an?1 ? Sn ? 2n?1

①

∴

a4 ? S3 ? 24 ? 40 ． a2 ? S1 ? 22 ? 2 ? 22 ? 6, S2 ? 8 ， a3 ? S2 ? 23 ? 8 ? 23 ? 16, S3 ? 24 ，
an ?1 ? 2an ? ? S n ? 2n ?1 ? ? ? S n ? 2n ? ? 2n ?1 ? 2n ? 2n ， （Ⅱ） 由题设和①式知，
∴ ?an?1 ? 2an ? 是首项为 2，公比为

2 的等比数列．

（Ⅲ）
an ? ? an ? 2an?1 ? ? 2 ? an?1 ? 2an?2 ? ??? 2n?2 ? a2 ? 2a1 ? ? 2n?1 a1 ? ? n ?1? ? 2n?1