9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

排列组合



排列组合
排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列,就是指从给定个数 的元素中取出指定个数的元素进行排序。 组合则是指从给定个数的元 素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序。排列组合的中心问题是 研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典 概率论关系密切。 定义及公式 排列的定义及其计算公式:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n,m 与 n 均为自然数

,下同)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列;从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元 素 的 排 列 数 , 用 符 号 A(n,m ) 表 示 。

A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外规定 0!=1(n! 表示 n(n-1)(n-2)...1,也就是 6!=6x5x4x3x2x1

组合的定义及其计算公式:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n) 个元素并成一组, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合; 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有组合的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。 C(n,m)=A(n,m)/m! ;C(n,m)=C(n,n-m) 。 (n≥m)

例题分析
难点

⑴从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较 强的抽象思维能力; ⑵限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别 是逻辑关联词和量词)准确理解; ⑶计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案 时需要的思维量较大; ⑷计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞 清概念、原理,并具有较强的分析能力。 例题

【例 1】 从 1、2、3、??、20 这二十个数中任取三个不同的数组 成等差数列,这样的不同等差数列有多少个? 分析: 首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排 列组合问题。 设 a,b,c 成等差,∴ 2b=a+c,可知 b 由 a,c 决定, 又∵ 2b 是偶数,∴ a,c 同奇或同偶,即:分别从 1,3,5,??, 19 或 2,4,6,8,??,20 这十个数中选出两个数进行排列,由此 就可确定等差数列,A(10,2)*2=90*2,因而本题为 180。 【例 2】 某城市有 4 条东西街道和 6 条南北的街道,街道之间的间 距相同,若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从 M 到 N 有多少种不同的走法? 分析:对实际背景的分析可以逐层深入:

(一)从 M 到 N 必须向上走三步,向右走五步,共走八步; (二)每一步是向上还是向右,决定了不同的走法; (三)事实上,当把向上的步骤决定后,剩下的步骤只能向右; 从而,任务可叙述为:从八个步骤中选出哪三步是向上走,就可以确 定走法数。 ∴ 本题答案为:C(8,3)=56。 分析

分析是分类还是分步,是排列还是组合 注意加法原理与乘法原理的特点,分析是分类还是分步,是排列还是 组合。 【例 3】在一块并排的 10 垄田地中,选择二垄分别种植 A,B 两种作 物,每种种植一垄,为有利于作物生长,要求 A,B 两种作物的间隔 不少于 6 垄,不同的选法共有多少种? 分析:条件中“要求 A、B 两种作物的间隔不少于 6 垄”这个条件不 容易用一个包含排列数,组合数的式子表示,因而采取分类的方法。 第一类:A 在第一垄,B 有 3 种选择; 第二类:A 在第二垄,B 有 2 种选择; 第三类:A 在第三垄,B 有 1 种选择, 同理 A、B 位置互换 ,共 12 种。 【例 4】从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只,其中恰好有一双同色的 取法有多少种?

(A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析:显然本题应分步解决。 (一)从 6 双中选出一双同色的手套,有 6 种方法; (二)从剩下的十只手套中任选一只,有 10 种方法。 (三)从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只,有 8 种 方法; (四)由于选取与顺序无关,因(二) (三)中的选法重复一次,因 而共 240 种。 或分步 ⑴从 6 双中选出一双同色的手套,有 C(6,1)=6 种方法 ⑵从剩下的 5 双手套中任选两双,有 C(5,2)=10 种方法 ⑶从两双中手套中分别拿两只手套,有 C(2,1)×C(2,1)=4 种方 法。 同样得出共⑴×⑵×⑶=240 种。 【例 5】 .身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列,在第一行的每 一个人都比他同列的身后的人个子矮,则所有不同的排法种数为 _______。 分析:每一纵列中的两人只要选定,则他们只有一种站位方法,因而 每一纵列的排队方法只与人的选法有关系,共有三纵列,从而有 C (6,2)×C(4,2)×C(2,2)=90 种。 【例 6】在 11 名工人中,有 5 人只能当钳工,4 人只能当车工,另外 2 人能当钳工也能当车工。 现从 11 人中选出 4 人当钳工, 4 人当车工,

问共有多少种不同的选法? 分析:采用加法原理首先要做到分类不重不漏,如何做到这一点?分 类的标准必须前后统一。 以两个全能的工人为分类的对象, 考虑以他们当中有几个去当钳工为 分类标准。 第一类:这两个人都去当钳工,C(2,2)×C(5,2)×C(4,4)=10 种; 第二类:这两个人都去当车工,C(5,4)×C(2,2)×C(4,2)=30 种; 第三类:这两人既不去当钳工,也不去当车工 C(5,4)×C(4,4)=5 种。 第四类:这两个人一个去当钳工、一个去当车工,C(2,1)×C(5,3) ×C(4,3)=80 种; 第五类:这两个人一个去当钳工、另一个不去当车工,C(2,1)×C (5,3)×C(4,4)=20 种; 第六类:这两个人一个去当车工、另一个不去当钳工,C(5,4)×C (2,1)×C(4,3)=40 种; 因而共有 185 种。 【例 7】现有印着 0,1,3,5,7,9 的六张卡片,如果允许 9 可以 作 6 用,那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数? 分析:有同学认为只要把 0,1,3,5,7,9 的排法数乘以 2 即为所 求,但实际上抽出的三个数中有 9 的话才可能用 6 替换,因而必须分

类。 抽出的三数含 0,含 9,有 32 种方法; 抽出的三数含 0 不含 9,有 24 种方法; 抽出的三数含 9 不含 0,有 72 种方法; 抽出的三数不含 9 也不含 0,有 24 种方法。 因此共有 32+24+72+24=152 种方法。 【例 8】停车场划一排 12 个停车位置,今有 8 辆车需要停放,要求 空车位连在一起,不同的停车方法有多少种? 分析:把空车位看成一个元素,和 8 辆车共九个元素排列,因而共有 A(9,9)=362880 种停车方法。 特殊优先

特殊元素,优先处理;特殊位置,优先考虑。 【例 9】六人站成一排,求 ⑴甲、乙既不在排头也不在排尾的排法数 ⑵甲不在排头,乙不在排尾,且甲乙不相邻的排法数 分析:⑴按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数 第一步:排出首位和末尾、因为甲乙不在首位和末尾,那么首位和末 尾实在其它四位数选出两位进行排列、一共有 A(4,2)=12 种; 第二步:由于六个元素中已经有两位排在首位和末尾,因此中间四位 是把剩下的四位元素进行顺序排列, 共 A(4,4)=24 种;

根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共 12×24=288 种。 ⑵第一类:甲在排尾,乙在排头,有 A(4,4)种方法。 第二类:甲在排尾,乙不在排头,有 3×A(4,4)种方法。 第三类:乙在排头,甲不在排尾,有 3×A(4,4)种方法。 第四类:甲不在排尾也不在排头,乙不在排头也不在排尾,有 6×A (4,4)种方法(排除相邻) 。 共 A(4,4)+3×A(4,4)+3×A(4,4)+6×A(4,4)=312 种。 【例 10】对某件产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品进行一一测试, 至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发 现,则这样的测试方法有多少种可能? 分析: 本题意指第五次测试的产品一定是次品, 并且是最后一个次品, 因而第五次测试应算是特殊位置了,分步完成。 第一步:第五次测试的有 C(4,1)种可能; 第二步:前四次有一件正品有 C(6,1)中可能。 第三步:前四次有 A(4,4)种可能。 ∴ 共有 576 种可能。 捆绑与插空

【例 11】8 人排成一队 ⑴甲乙必须相邻 ⑵甲乙不相邻 ⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻

⑷甲乙必须相邻,丙丁必须相邻 ⑸甲乙不相邻,丙丁不相邻 分析:⑴甲乙必须相邻,就是把甲乙 捆绑(甲乙可交换) 和 7 人排 列 A(7,7)×A(2,2) ⑵甲乙不相邻,A(8,8)-A(7,7)×2。或 A(6,6)×A(7,2) ⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻, 先求甲乙必须相邻且与丙相邻 A (6,6) ×2×2 甲乙必须相邻且与丙不相邻 A(7,7)×2-A(6,6)×2×2 ⑷甲乙必须相邻,丙丁必须相邻 A(6,6)×2×2 ⑸甲乙不相邻,丙丁不相邻,A(8,8)-A(7,7)×2×2+A(6,6)× 2×2 【例 12】某人射击 8 枪,命中 4 枪,恰好有三枪连续命中,有多少 种不同的情况? 分析:∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻,因而这是一 个插空问题。另外没有命中的之间没有区别,不必计数。即在四发空 枪之间形成的 5 个空中选出 2 个的排列,即 A(5,2) 。 【例 13】 马路上有编号为 l,2,3,??,10 十个路灯,为节约用 电又看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两 只或三只,在两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件的关灯方法 共有多少种? 分析:即关掉的灯不能相邻,也不能在两端。又因为灯与灯之间没有 区别, 因而问题为在 7 盏亮着的灯形成的不包含两端的 6 个空中选出

3 个空放置熄灭的灯。∴ 共 C(6,3)=20 种方法。 方法二: 把其中的 3 只灯关掉总情况有 C(8,3)种 关掉相邻的三只有 C(6,1)种 关掉相邻的两只有 2*C(7,2)-12 种 所以满足条件的关灯方法有: C(8,3)-C(6,1)-[2*C(7,2)-12] =56-6-(42-12) =20 种 间接计数法

⑴排除法 【例 14】三行三列共九个点,以这些点为顶点可组成多少个三角形? 分析:有些问题正面求解有一定困难,可以采用间接法。 所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数, ∴ 共 76 种。 【例 15】正方体 8 个顶点中取出 4 个,可组成多少个四面体? 分析:所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数, ∴ 共 C(8,4)-12=70-12=58 个。 【例 16】1,2,3,??,9 中取出两个分别作为对数的底数和真数, 可组成多少个不同数值的对数? 分析:由于底数不能为 1。

⑴当 1 选上时,1 必为真数,∴ 有一种情况。 ⑵当不选 1 时,从 2--9 中任取两个分别作为底数,真数,共 A(8,2) =56,其中 log2 为底 4=log3 为底 9,log4 为底 2=log9 为底 3,log2 为 底 3=log4 为底 9,log3 为底 2=log9 为底 4. 因而一共有 56-4+1=53 个。 【例 17】 六人排成一排,要求甲在乙的前面, (不一定相邻) ,共有 多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢? 分析: (一)实际上,甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称, 具有相同的排法数。因而有 A(6,6)/2=360 种。 (二)先考虑六人全排列 A(6,6)种;其次甲乙丙三人实际上只能按照 一种顺序站位,因而前面的排法数重复了 A(3,3)种, ∴ 有 A(6, 6)/A(3,3)=120 种。 【例 18】5 男 4 女排成一排,要求男生必须按从高到矮的顺序,共有 多少种不同的方法? 分析: (一)首先不考虑男生的站位要求,共 A(9,9)种;男生从左 至右按从高到矮的顺序,只有一种站法,因而上述站法重复了 A(5,5) 次。因而有 A(9,9,)/A(5,5,)=9×8×7×6=3024 种 若男生从右至左按从高到矮的顺序,只有一种站法, 同理也有 3024 种,综上,有 6048 种。 (二)按照插空的方式进行思考。 第一步:4 个女生先在 9 个位置中选择 4 个,为 A(9,4)种方式; 第二步:男生站剩下的位置,因为必须从高到矮的顺序,没有规定方

向,所以有 2 种; 综上,总的站法数有 A(9,4)×2=6048 种。 【例 19】 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行,共有多少种 不同的方法? 分析:先认为三个红球互不相同,共 A(5,5)=120 种方法。 而由于三个红球所占位置相同的情况下,共 A(3,3)=6 变化,因而 共 A(5,5)/A(3,3)=20 种。 公式 P 是指排列,从 N 个元素取 R 个进行排列(即排序) 。 (P 是旧 用法,教材上多用 A,Arrangement) 公式 C 是指组合,从 N 个元素取 R 个,不进行排列(即不排序) 。 挡板的使用

【例 20】10 个名额分配到八个班,每班至少一个名额,问有多少种 不同的分配方法? 分析:把 10 个名额看成十个元素,在这十个元素之间形成的九个空 中,选出七个位置放置档板,则每一种放置方式就相当于一种分配方 式。因而共 36 种。 区别与联系

所有的排列都可以看作是先取组合,再做全排列;同样,组合如补充 一个阶段(排序)可转化为排列问题。 【例 21】用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数,

⑴可组成多少个不同的四位数? ⑵可组成多少个不同的四位偶数 ⑶可组成多少个能被 3 整除的四位数? 分析:⑴有 A(6,4)-A(5,3)=300 个。 ⑵分为两类:0 在末位,则有 A(5,3)=60 种:0 不在末位,则有 C (2,1)×A(5,3)-C(2,1)×A(4,2)=96 种。 ∴ 共 60+96=156 种。 ⑶先把四个相加能被 3 整除的四个数从小到大列举出来,即先选 0,1,2,3 0,1,3,5 0,2,3,4 0,3,4,5 1,2,4,5 它们排列出来的数一定可以被 3 整除,再排列,有:4×[A(4,4)-A (3,3)]+A(4,4)=96 种。 分组问题

【例 22】 5 名学生分配到 4 个不同的科技小组参加活动,每个科技 小组至少有一名学生参加,则分配方法共有多少种? 分析: (一)先把 5 个学生分成二人,一人,一人,一人各一组。 其中涉及到平均分成四组,有 C(5,3)=10 种分组方法。可以看成 4 个板三个板不空的隔板法。

(二)再考虑分配到四个不同的科技小组,有 A(4,4)=24 种, 由(一) (二)可知,共 10×24=240 种。 几何问题 【例 23】某区有 7 条南北向街道,5 条东西向街道(如右图)

⑴图中共有多少个矩形? ⑵从 A 点到 B 点最近的走法有多少种? 分析:⑴在 7 条竖线中任选 2 条,5 条横线中任选 2 条,这样 4 条线 可组成 1 个矩形,故可组成矩形 C(7,2) ·C(5,2)=210 个 ⑵每条东西向的街道被分成 4 段,每条南北向的街道被分成 6 段,从 A 到 B 最短的走法,无论怎样走,一定包括 10 段,其中 6 段方向相 同,另外 4 段方向相同,每种走法,即是从 10 段中选出 6 段,这 6 段是走东西方向的,共有 C(10,6)=C(10,4)=210 种走法(同样可 以从 10 段中选出 4 段走南北方向,每一种选法即是 1 种走法) 。所以 共有 210 种走法。

口诀
排列、组合、二项式定理公式口诀: 加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排 列。

两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转 化。 排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考 虑。 不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合恒等式,定义证明建模 试。 关于二项式定理,中国杨辉三角形。两条性质两公式,函数赋值变换 式。



更多相关文章:
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)
[解析] 本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有 2 种方法,第二步将 3 名电脑编程人员分成两组,一组 1 1 2 1 人另一...
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
10 的传球方式有___ 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用 公式进行运算,树图会收到意想不到的结果 练习: 分别编有 1,2,3,4,5 号码的人与椅,其中 ...
36.排列组合问题
课程名称:排列组合 教学内容和地位: 教学内容: 1.两个计数原理 2.排列的概念与排列数的计算公式。 3.组合的概念与组合数的计算公式。 地位: 1.此部分的题目...
排列组合及概率统计基础
本讲内容 10.1 10.1.1 排列组合基础排列的基本概念及实例 从 n 个不同的元素中,任取 m(m≤n)个元素(被取元素各不相同)按照一定的顺序排成 一列,叫做...
排列组合的意义
排列组合的意义_四年级数学_数学_小学教育_教育专区。文中的排列、组合对小学生可能有一定的帮助 一、 排列组合定义 1、什么是 C 公式 C 是指组合,从 N 个...
高中数学排列组合相关公式
排列组合公式——熊雄 排列定义:从 n 个不同的元素中,取 r 个不重复的元素,按次序排列,称为从 n 个中取 r 个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,...
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题的类型及解答策略_高二数学_数学_高中教育_教育专区。排列组合类型题排列组合问题的类型及解答策略 排列组合问题,联系实际,生动有趣,但题型多样,思路灵活...
排列组合基础知识
排列组合基础知识_高三数学_数学_高中教育_教育专区。介绍加法原理、乘法原理、排列及组合的相关基础知识。排列组合基础知识 一、两大原理 1.加法原理 (1)定义:做...
排列组合问题之插板法
排列组合问题之插板法_公务员考试_资格考试/认证_教育专区。排列组合问题之插板法: 排列组合问题之插板法:插板法是用于解决“相同元素”分组问题,且要求每组均“...
更多相关标签:
排列组合公式    排列组合算法    排列组合公式c    关键词排列组合    排列组合计算器    排列    排列组合计算公式    排列数公式    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图