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中学数学竞赛讲义——直线与圆的方程



直线与圆的方程
例 1 在Δ ABC 中,AB=AC,∠A=900,过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E,求证:∠ ADB=∠CDE。 [证明] 见图 10-1,以 A 为原点,AC 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系。设点 B,C 坐标分 x y 别为(0,2a),(2a,0),则点 D 坐标为(a, 0)。直线 BD 方程为 ? ? 1 , ①直线 BC

方 a 2a 程为 x+y=2a, ②设直线 BD 和 AE 的斜率分别为 k1, k2, k1=-2。 则 因为 BD ? AE, 所以 k1k2=-1. 1 ? 1 1 所以 k 2 ? ,所以直线 AE 方程为 y ? x ,由 ? y ? 2 x, 解得点 E 坐标为 ? 4 a, 2 a ? 。 ? ? ? 2 2 ?3 3 ? ?
? x ? y ? 2a

所以直线 DE 斜率为
k3 ?

2 a 3 4 a?a 3

因为 k1+k3=0.所以∠BDC+∠EDC=1800,即∠BDA=∠EDC。
? 2.

例 2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明:三角形另两条边 截圆所得的弧所对的圆心角为 600。 [证明] 以 A 为原点, 平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴, 建立直角坐标系见图 10-2, 设⊙D 的半径等于 BC 边上的高, 并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB, 的交点分别为 E, AC F, 设半径为 r, 则直线 AB, 的方程分别为 y ? 3 x , y ? ? 3x .设⊙D 的方程为(x-m)2+y2=r2. AC ①设点 E,F 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1 ? 3x1 , y 2 ? ? 3x 2 ,分别代入①并消去 y 得 2 ( x1 ? m) 2 ? 3x12 ? r 2 ? 0.( x2 ? m) 2 ? 3x2 ? r 2 ? 0. 所以 x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根。 由韦达定理 ? x1 ?
? ? x2 ? ? ?x x ? 1 2 ? m , 2 ? m2 ? r 2 ? 4

,所以|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2

=4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2. 所以|EF|=r。所以∠EDF=600。 2.到角公式的使用。 例 3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1,C2,正Δ PQR 三顶点在此双曲线上,求证:P,Q,R 不 可能在双曲线的同一支上。 [证明] 假设 P,Q,R 在同一支上,不妨设在右侧一支 C1 上,并设 P,Q,R 三点的坐标分 ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 别为 ? x1 , ?, ? x 2 , ?, ? x3 , ?, 且 0<x1<x2<x3. 记∠RQP=θ ,它是直线 QR 到 PQ 的角,由假设 ? ?? ?? x1 ? ? x2 ? ? x3 ? ? ? 知直线 QR,PQ 的斜率分别为 k1 由到角公式 tan? ? k 2 ? k1 ?
1 ? k1 k 2 ?
1 1 ? x3 x2 1 ? ?? x3 ? x 2 x 2 x3

1 1 ? , k 2 ? x1 x 2 ? ? 1 . x1 ? x 2 x1 x 2

1 1 ? x1 x 2 x 2 x3 x ( x1 ? x3 ) ? 2 2 ? 0. 1 x1 x 2 x3 ? 1 1? 2 x1 x 2 x3

所以θ 为钝角,与Δ PQR 为等边三角形矛盾。所以命题成立。 3.代数形式的几何意义。 例4 求函数 f ( x) ? x 4 ? 3x 2 ? 6 x ? 13 ? x 4 ? x 2 ? 1 的最大值。

[解]

因为 f ( x) ? ( x 2 ? 2) 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? ( x ? 0) 2 表示动点 P(x, x2)到两定点 A(3, 2),

B(0, 1)的距离之差,见图 10-3,当 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点 C 与点 P 重合时,f(x)取 最大值|AB|= 10 . 4.最值问题。 例 5 已知三条直线 l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0 围成Δ ABC, m 求 为何值时,Δ ABC 的面积有最大值、最小值。 [解]记 l1, l2, l3 的方程分别为①,②,③。在①,③中取 x=-1, y=0,知等式成立,所以 A(-1, 0) 为 l1 与 l3 的交点;在②,③中取 x=0, y=m+1,等式也成立,所以 B(0, m+1)为 l2 与 l3 的交点。 1 ? 1? 设 l1, l2 斜率分别为 k1, k2, 若 m ? 0,则 k1?k2= m? ? ? ? ?1 , SΔ ABC= | AC | ? | BC | ,由点到直 2 ? m? 2 2 | ?m ? 1 ? m | 1 | ?1 ? m ? m | | m ? m ? 1 | ? ? 线距离公式|AC|= ,|BC|= 。 1 ? m2 m2 ? 1 1 ? m2 1 ? m2 1 m2 ? m ? 1 1 ? m ? 3 2 2 ? ?1 ? 2 所以 SΔ ABC= ? ? 。因为 2m≤m +1,所以 SΔ ABC≤ 。又因为-m -1≤ 2 2 2 ? m ? 1? 4 m ?1 1 m 1 2m,所以 ? ? 2 ,所以 SΔ ABC≥ . 2 m ?1 4 3 1 当 m=1 时,(SΔ ABC)max= ;当 m=-1 时,(SΔ ABC)min= . 4 4 ?1 ? x ? y ? 4, 5.线性规划。例 6 设 x, y 满足不等式组 ? (1)求点(x, y)所在的平面区域;
? y ? 2 ?| 2 x ? 3 | .

(2)设 a>-1,在(1)区域里,求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。 [解] (1)由已知得 ? y ? 2 ? 2 x ? 3, 或 ?
? ?2 x ? 3 ? 0, ? ?1 ? x ? y ? 4,
?1 ? x ? y ? 4, ? y ? 2 ? 3 ? 2 x, ? 2 x ? 3 ? 0. ?

解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示,其中各直线方程如图所示。AB:y=2x-5;CD: y=-2x+1;AD:x+y=1;BC:x+y=4. (2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距,直线 l 与阴影相交,因为 a>-1,所以它过顶点 C 时,f(x, y)最大,C 点坐标为(-3,7),于是 f(x, y)的最大值为 3a+7. 如果-1<a≤2,则 l 通过 点 A(2,-1)时,f(x, y)最小,此时值为-2a-1;如果 a>2,则 l 通过 B(3,1)时,f(x, y)取 最小值为-3a+1. 6.参数方程的应用。 例 7 如图 10-5 所示,过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点,在该直线上取 P 点,使 P 到 直线 y=2 的距离等于|PQ|,求 P 点的轨迹方程。 ? x ? t cos? [解] 设直线 OP 的参数方程为 ? (t 参数)。 ? y ? t sin ? 代入已知圆的方程得 t2-t?2sinα =0. 所以 t=0 或 t=2sinα 。所以|OQ|=2|sinα |,而|OP|=t. 所以|PQ|=|t-2sinα |,而|PM|=|2-tsinα |. 所以|t-2sinα |=|2-tsinα |. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sinα =-1. 当 t=±2 时,轨迹方程为 x2+y2=4;当 sinα =1 时,轨迹方程为 x=0. 7.与圆有关的问题。 例 8 点 A,B,C 依次在直线 l 上,且 AB=ABC,过 C 作 l 的垂线,M 是这条垂线上的动点, 以 A 为圆心,AB 为半径作圆,MT1 与 MT2 是这个圆的切线,确定Δ AT1T2 垂心 的轨迹。

[解] 见图 10-6,以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴建立坐标系,H 为 OM 与圆的交点,N 为 T1T2 与 OM 的交点,记 BC=1。 以 A 为圆心的圆方程为 x2+y2=16,连结 OT1,OT2。因为 OT2 ? MT2,T1H ? MT2,所以 OT2//HT1,同 理 OT1//HT2,又 OT1=OT2,所以 OT1HT2 是菱形。所以 2ON=OH。 又因为 OM ? T1T2,OT1 ? MT1,所以 OT12 ? ON?OM。设点 H 坐标为(x,y)。 b y ?x y? 点 M 坐标为(5, b),则点 N 坐标为 ? , ? ,将坐标代入 OT12 =ON?OM,再由 ? 得 5 x ?2 2?
16 ? ? ? 16 ? 2 ?x? ? ? y ? ? ? . 5? ? ?5?
2 2

4 AB,所求轨迹是以 K 为圆心,AK 为半径的圆。 5 例 9 已知圆 x2+y2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A,B,且 OA,OB 与 x 轴正方向所成的角是α 和β ,见图 10-7,求证:sin(α +β )是定值。 [证明] 过 D 作 OD ? AB 于 D。则直线 OD 的倾斜角为 ? ? ? ,因为 OD ? AB,所以 2?

在 AB 上取点 K,使 AK=

tan

? ??
2

2

? ?1 ,
?? 1 2

所以 tan ? ? ?
2

。所以

s in(? ? ? ) ?

4 2 ?? . 5 ?? ? ? ? 1 ? tan 2 ? ? 2 ? ?

2 tan

? ??

例 10 已知⊙O 是单位圆,正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦,试确定|OD|的最大值、最小 值。 [解] 以单位圆的圆心为原点,AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系,设点 A,B 的坐标分别为 A(cosα ,sinα ),B(cosα ,-sinα ),由题设|AD|=|AB|=2sinα ,这里不妨设 A 在 x 轴上方, 则α ∈(0,π ).由对称性可设点 D 在点 A 的右侧(否则将整个图形关于 y 轴作对称即可),从 而点 D 坐标为(cosα +2sinα ,sinα ), 所以|OD|= (cos? ? 2 sin ? ) 2 ? sin 2 ? ? 4 sin 2 ? ? 4 sin ? cos? ? 1 = 2(s in 2? ? cos 2? ) ? 3 ? 3 ? 2 2 s in? 2? ? ? ? . ? ?
? 4?

因为 ? 2

?? ? 2 ? 2 2 s in? 2? ? ??2 2 4? ?

,所以 2 ? 1 ?| OD |? 2 ? 1.

3 7 当 ? ? ? 时,|OD|max= 2 +1;当 ? ? ? 时,|OD|min= 2 ? 1. 8 8 例 11 当 m 变化且 m≠0 时,求证:圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心在一条定直线上,并求 这一系列圆的公切线的方程。 ?a ? 2m ? 1, [证明] 由 ? 消去 m 得 a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 上。设公切线方 ?b ? m ? 1

程为 y=kx+b,则由相切有 2|m|= | k (2m ? 1) ? (m ? 1) ? b | ,对一切 m≠0 成立。即
1? k 2

(-4k-3)m +2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1) =0 对一切 m≠0 成立 所以 ?
3 ? 3 7 ?? 4k ? 3 ? 0, 即 ?k ? ? 4 , 当 k 不存在时直线为 x=1。所以公切线方程 y= ? x ? 和 x=1. ? 4 4 ?k ? b ? 1 ? 0, ? 7 ? ?b ? 4 . ?

2

2



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