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2.1.2指数函数及其性质(第一课时)标记


2.1.2指数函数及其性质
第一课时

问题 引入
问题1、某种细胞分裂时,由1个分裂成 2个,2个分裂成4个,1个这样的细胞分 裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么?

研究
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次

……

y?2

x

细胞 总数

2个 21

4个 22

8个 23

16个 24

2

x

问题 引入
问题2、《庄子· 天下篇》中写道:“一尺 之棰,日取其半,万世不竭。”请你写出 截取x次后,木棰剩余量y关于x的函数关 系式?

研究
截取 次数
1次

2次

3次

4次

x次

1 x y?( ) 2

木棰 剩余

1 尺 2

1 尺 4

1 尺 8

1 尺 16

1 ( )x 尺 2

提炼

1 x y?2 y ?( ) 2 设问1:以上两个函数有何共同特征 ?
x

(1)均为幂的形式; (2)底数是一个正的常数; (3) 自变量x在指数位置.

定义 :
一般地,函数y ? a x (a ? 0, a ? 1)叫做指数 函数,其中x是自变量,函数的定义域是 R。

探究1:为什么要规定a>0,且a
x

? 1呢?
x

x ①若a=0, 则当x>0时,a =0; 当x ? 0时, a 无意义.

则对于x的某些数值,可使 a 无意义. ②若a<0,

1 如 (?2) ,这时对于 x ? , 在实数范围内函数值不存在. 4
x

则对于任何 x ? R,a ? 1 是一个常量, ③若a=1,
x

没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a?1。
x
x

在规定以后,对于任何 x ? R, a 都有意义,且 a ? 0, 因此指数函数的定义域是R,值域是(0,+∞).

探究2:观察指数函数的解析式有什么特点:

y ? 1? a
系数为1

x

自变量仅有 这一种形式

底数为正数且不为1

例1、下列函数是否是指数函数

y ? (1.5) , y ? 2a , y ? (?4) , y ? ?4 ,
x x x x

y?4

? x ?3

?1? x x , y ? ? ? , y ? b , y ? 2 ? 1. ?2?

2x

随堂练习:下列函数中,哪些是指数函数?

(1)y ? 4

x

( 2) y ? ?4 ( 4) y ? 4

x

(3) y ? x
我也不是

4

x ?1

判断下列哪些函数是指数函数.

() 1 y ? x ,x?R
2

( 2)y ? 2 ? 4 x , x ? R ( 3)y ? (?4) x ,x ? R
x

不是 不是 不是 是

1 ( 4)y ? (2a ? 1) (a ? , a ? 1), x ? R 2 x ( 5)y ? ? , x ? R 是 ( 6)y ? 42 x , x ? R



例2、 函数y ? (a 2 ? 3a ? 3)a x是指数函数 , 求a的值
?a 2 ? 3a ? 3 ? 1 ?a ? 1或a ? 2 ? ? 解:依题意,可知 ?a ? 0 ,解得 ?a ? 0 ?a ? 1 ?a ? 1 ? ?

?a ? 2

二、指数函数的图象和性质: 设问1:我们研究函数的性质,通常通过函数图象
来研究函数的哪几个性质? 1.定义域 2.值域 3.单调性 4.对称性等

设问2:那么得到函数的图象一般用什么方法?
列表、描点、连线 在同一坐标系中分别作出如下函数的图像:

y?2

x

?1? y?? ? ?2?

x

y ? 3x

?1? y ?? ? ? 3?

x

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

1 0 1
x

y

y

y

?1? y?? ? ? 2?

x

y ? ax
(a ? 1)

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 1
0
x

1 1

0

0

x

x

y

y

● 图象特征:
y ? ax
(a ? 1)

y ? ax
(0 ? a ? 1)

Y= 1

1 0

Y= 1
x

1 0
x

性质
?1? y?? ? ? 2?
x

y

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x y ? 2x

底互为倒数的 两个函数图像 关于y轴对称

1
x

?1? y?? ? ? 2?
?1? y?? ? ? 3?
x

x

当a>1时,a越大, y

=a

的图像在第一象限越靠近y轴

0

x

当0<a<1时,a越小, y

? a x的图像在第二象限越靠近y轴

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和特征:
a>1 图 象
1
6 5

0<a<1
6 5 4

4

3

3

2

2

1
1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

1.图象在x轴上方

特 2.从左到右上升 征 3.过定点 (0, 1)
4、a越大,向上越靠近y轴

从左到右下降

a越小,向上越靠近y轴

函数
图 象 定义域 值 域 定 点

y=ax (a>1)

y=ax (0<a<1)

指 数 函 数 性 质 一 览 表

(0,? ?)
(0,1) 在R上是增函数 在R上是减函数

R

性 质

单调性 若x>0, 则y>1 若x>0, 则0<y<1 若x<0, 则0<y<1 若x<0, 则y>1

例3、 如图为指数函数: (1) y ? a x (2) y ? b (3) y ? c
x x x

y

(1)

( 2)

( 3)
( 4)
O

(4) y ? d 的图象,
比较 a, b, c, d 与1的大小关系.

x

c ? d ?1? a ? b

练习:利用图象,比较下列各数的大小。
(1)2 ,
-1.7
1.7

3 , 1.6

1.7

1.7

3 ? 2 ? 1.6
1.7 1.7

1.7

(2)0.5?1.7 , 0.3-1.7 , 0.6?1.7

0.3

? 0.5
f?x? = 2x

?1.7

? 0.6

?1.7

6

g?x? = 3x

g?x? = 0.3x f?x? = 0.5x h?x? = 0.6x

6

5

5

4

h?x? = 1.6x

4

3

3

2

2

1

1

-4

-2

2

-2

2

4

应用:比较大小
例1、比较下列各组数的大小:
①、

1.7 ,1.7
1 3 1 2

2.5

3

②、0.81.3 ,0.61.3
0.3

③、a , a

(a ? 0, 且a ? 1) ④、1.7

,0.9

3.1

解:① 1.72.5、1.73可以看作函 数y=1.7x的两个函数值 ∵1.7>1



∴ y=1.7x在R上是增函数 又∵2.5<3
∴ 1.72.5 < 1.73 0.81.3>0.61.3

∵当x=1.3时,x>0

a ,a ③、
解:

1 3

1 2

(a ? 0, 且a ? 1)
x

④、 1.7

0.3

,0.9

3.1
1 3
1 3

时,y ? a 是R上的增函数,? a ③ 当a ? 1
④ ∵1.70.3>1,而0.93.1<1

?a

1 2
1 2

当0 ? a ? 1时,y ? a x是R上的减函数, a ? a

?1.70.3 ? 0.93.1

比较指数幂大小的方法: ①、异指同底:构造函数法(一个), 利用函数的单调性,若 底数是参变量要注意分类讨论。 ②、异底同指:构造函数法(多个),利用函数图象在y轴左右

两侧的特点。

小结:
1.指数函数的定义:函数

y ? a (a ? 0且a ? 1)
x

叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R。 2.指数函数的的图象和性质:


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