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同角三角函数的基本关系与诱导公式专题训练


同角三角函数的基本关系与诱导公式专题训练
姓名:__________班级:__________学号:__________
一、选择题 17π 17π 1. cos(- )-sin(- )的值是 4 4 A. 2 B.- 2 C.0 D. 2 2 ( )

π π 解析:原式=cos(-4π- )-sin(-4π- ) 4 4 π π =cos(- )-sin(- ) 4 4 π π =cos +sin = 2. 4 4 答案:A 2m-5 m 2.已知 sinα= ,cosα=- ,且 α 为第二象限角,则 m 的允许值为( m+1 m+1 5 A. <m<6 2 B.-6<m< 5 2 C.m=4 3 D.m=4 或 m= 2 )

2m-5 2 m 2 解析:由 sin2α+cos2α=1 得,( ) +(- ) =1, m+1 m+1 3 ∴m=4 或 ,又 sinα>0,cosα<0,把 m 的值代入检验得, 2 m=4. 答案:C π 3 3. 已知 sin(x+ )=- , sin2x 的值等于 则 4 5 7 A.- 25 7 B. 25 18 C.- 25 18 D. 25 ( )

π 2 3 解析:sin(x+ )= (sinx+cosx)=- , 4 2 5 3 2 所以 sinx+cosx=- , 5 18 7 所以(sinx+cosx)2=1+sin2x= ,故 sin2x=- . 25 25 答案:A 4.设 a=sin15° +cos15° ,b=sin17° +cos17° ,则下列各式中正确的是 a2+b2 A.a< <b 2 a2+b2 B.a<b< 2 ( )

a2+b2 C.b< <a 2

a2+b2 D.b<a< 2

解析:a= 2sin(15° +45° )= 2sin60° , b= 2sin(17° +45° )= 2sin62° ,b>a. a2+b2 =sin260° +sin262° >2sin60° sin62° 3sin62° = , 2 a2+b2 ∴ >b>a. 2 答案:B π 5. 将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后, 得到函数 y=sin(x- )的图象, 6 则 φ 等于 π A. 6 11π B. 6 7π C. 6 5π D. 6 ( )

π π 11π 解析:依题意得 y=sin(x- )=sin(x- +2π)=sin(x+ ),将 y=sinx 的图象向左平 6 6 6 移 11π 11π π 个单位后得到 y=sin(x+ )的图象,即 y=sin(x- )的图象. 6 6 6

答案:B 6.在△ABC 中,角 A,B 均为锐角,且 cosA>sinB,则△ABC 的形状是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 ( )

π π π π π 解析:cosA=sin( -A)>sinB, -A,B 都是锐角,则 -A>B,A+B< ,C> . 2 2 2 2 2 答案:C π 7.给定性质:①最小正周期为 π;②图象关于直线 x= 对称.则下列四个函数中,同 3 时具有性质①②的是 x π A.y=sin( + ) 2 6 C.y=sin|x| π B.y=sin(2x+ ) 6 π D.y=sin(2x- ) 6 ( )

2π π π π π 解析:∵T= =π,∴ω=2.对于选项 D,又 2× - = ,所以 x= 为对称轴. ω 3 6 2 3 答案:D 8.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为 5 A. 18 3 B. 4 C. 3 2 7 D. 8 ( )

解析:设等腰三角形的底边为 a,顶角为 θ,则腰长为 2a. 4a2+4a2-a2 7 由余弦定理得 cosθ= = . 8a2 8

答案:D 1 9.△ABC 的两边长分别为 2,3,其夹角的余弦值为 ,则其外接圆的半径为( 3 9 2 A. 2 9 2 B. 4 9 2 C. 8 D.9 2 )

解析:由余弦定理得:三角形第三边长为 1 22+32-2×2×3× =3, 3 且第三边所对角的正弦值为 3 9 2 所以 2R= ?R= . 8 2 2 3 答案:C 10. 在△ABC 中, A, 所对的边长为 a, 则“a=b”是“acosA=bcosB”的 角 B b, A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ( )

1 2 2 1 ? ( )2 = 3 , 3

解析:a=b?A=B?acosA=bcosB,条件是充分的;acosA=bcosB?sinAcosA= π sinBcosB?sin2A=sin2B?2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B 或 A+B= ,故条件是不 2 必要的. 答案:A π 11.已知函数 f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x= ,则 a 的值为 12 ( 1 A. 2 B. 3 C. 3 3 D.2 )

π 解析:函数 y=sinx 的对称轴方程为 x=kπ+ ,k∈Z,f(x)= a2+1sin(2x+φ),其中 2 1 π π tanφ= ,故函数 f(x) 的对称轴方程为 2x+φ=kπ+ ,k∈Z,而 x= 是其一条对称 a 2 12 π π π 1 轴方程,所以 2× +φ=kπ+ ,k∈Z,解得 φ=kπ+ ,k∈Z,故 tanφ= =tan(kπ 12 2 3 a π 3 + )= 3,所以 a= . 3 3 答案:C 12.已知函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析 式可能为 ( )

x π A.f(x)=2cos( - ) 2 3 π B.f(x)= 2cos(4x+ ) 4 x π C.f(x)=2sin( - ) 2 6 π D.f(x)=2sin(4x+ ) 4 解析:设函数 f(x)=Asin(ωx+φ),由函数的最大值为 2 知 A=2,又由函数图象知 5π 2π 1 π 该函数的周期 T=4×( - )=4π,所以 ω= ,将点(0,1)代入得 φ= ,所以 f(x) 3 3 2 6 1 π 1 π =2sin( x+ )=2cos( x- ). 2 6 2 3 答案:A 1+cos2x+8sin2x π 13.当 0<x< 时,函数 f(x)= 的最小值为 2 sin2x A.2 B.2 3 C.4 D.4 3 cosx 4sinx · =4,当 sinx cosx ( )

1+cos2x+8sin2x 2cos2x+8sin2x cosx 4sinx 解析:f(x)= = = + ≥2 sin2x 2sinxcosx sinx cosx

cosx 4sinx 1 π 1 且仅当 = ,即 tanx= 时,取“=”,∵0<x< ,∴存在 x 使 tanx= ,这时 sinx cosx 2 2 2 f(x)min=4. 答案:C

二、填空题 14.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 B=60° ,C=75° ,a=4, 则 b=________. a b 4 b 解析:易知 A=45° ,由正弦定理 = 得 = ,解得 b=2 6. sinA sinB sin45° sin60° 答案:2 6 cos10° 3sin10° + 15.计算: =________. 1-cos80° cos10° 3sin10° 2cos(10° + -60° 2cos50° ) 解析: = = = 2. 2sin240° 2sin40° 1-cos80° 答案: 2 16.在△ABC 中,已知 tanA=3tanB,则 tan(A-B)的最大值为________,此时角 A 的 大小为________. tanA-tanB 3tanB-tanB 2tanB 3 解析: 由于 tan(A-B)= = = ≤ .当且仅当 1= 1+tanAtanB 1+3tanB· tanB 1+3tan2B 3

3tanB 时取“=”号,则 tanB= 答案: 3 3 60°

3 ?tanA= 3?A=60° . 3

17.如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π),x∈R 的部分图象,则下 列命题中,正确命题的序号为________. π ①函数 f(x)的最小正周期为 ; 2 ②函数 f(x)的振幅为 2 3; 7π ③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x= ; 12 π 7π ④函数 f(x)的单调递增区间为[ , ]; 12 12 2π ⑤函数的解析式为 f(x)= 3sin(2x- ). 3 5π π 解析: 由图象可知, 函数 f(x)的最小正周期为( - )×2=π, 故①不正确; 函数 f(x) 6 3 5π π + 6 3 7π 的振幅为 3, 故②不正确; 函数 f(x)的一条对称轴方程为 x= = , 故③正确; 2 12 π 7π 7π ④不全面, 函数 f(x)的单调递增区间应为[ +2kπ, +2kπ], k∈Z; 3sin(2× 由 12 12 12 7π π 2π +φ)= 3得 2× +φ= +2kπ,k∈Z,即 φ=2kπ- ,k∈Z,∵-π<φ<π,故 k 12 2 3 2π 2π 取 0,从而 φ=- ,故 f(x)= 3sin(2x- ). 3 3 答案:③⑤ 三、解答题 π π 18.已知 tan(α+ )=-3,α∈(0, ). 4 2 (1)求 tanα 的值; π (2)求 sin(2α- )的值. 3 tanα+1 π 解:(1)由 tan(α+ )=-3 可得 =-3. 4 1-tanα 解得 tanα=2. π 2 5 5 4 (2)由 tanα=2,α∈(0, ),可得 sinα= ,cosα= .因此 sin2α=2sinαcosα= , 2 5 5 5 3 π π π 4 1 3 3 cos2α=1-2sin2α=- ,sin(2α- )=sin2αcos -cos2αsin = × + × = 5 3 3 3 5 2 5 2

4+3 3 . 10 4 π 19.已知 sin(π-α)= ,α∈(0, ). 5 2 α (1)求 sin2α-cos2 的值; 2 5 1 (2)求函数 f(x)= cosαsin2x- cos2x 的单调递增区间. 6 2 4 4 解:∵sin(π-α)= ,∴sinα= . 5 5 π 3 又∵α∈(0, ),∴cosα= . 2 5 α (1)sin2α-cos2 2 1+cosα =2sinαcosα- 2 3 1+ 5 4 3 =2× × - 5 5 2 = 4 . 25

5 3 1 (2)f(x)= × sin2x- cos2x 6 5 2 = 2 π sin(2x- ). 2 4

π π π 令 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 π 3 得 kπ- ≤x≤kπ+ π,k∈Z. 8 8 π 3 ∴函数 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ π],k∈Z. 8 8 20.已知函数 f(x)=2sinxcosx+ 3(2cos2x-1). π (1)将函数 f(x)化为 Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的形式,填写下表,并画出函数 f(x)在 2 1 5 区间[- π, π]上的图象; 6 6 x ωx+φ f(x) 0 π 2 π 3 π 2 2π

(2)求函数 f(x)的单调减区间. 解:(1)f(x)=2sinxcosx+ 3(2cos2x-1) π =sin2x+ 3cos2x=2sin(2x+ ). 3 x ωx+φ f(x) - 0 0 π 6 π 12 π 2 2 π 3 π 0 7π 12 3 π 2 -2 5π 6 2π 0

图. π π 3π (2)由 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z)得 2 3 2 π 7π kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z), 12 12 π 7π 故函数 f(x)的单调减区间为[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 12 12 π π 21.已知函数 f(x)=2sinxcos( -x)- 3sin(π+x)cosx+sin( +x)cosx. 2 2 (1)求函数 y=f(x)的最小正周期和最值; (2)指出 y=f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称. 解:(1)f(x)=2sin2x+ 3sinxcosx+cos2x =1+sin2x+ 3sinxcosx 1-cos2x 3 =1+ + sin2x 2 2 π 3 =sin(2x- )+ , 6 2 y=f(x)最小正周期 T=π. 3 5 3 1 y=f(x)的最大值为 +1= ,最小值为 -1= . 2 2 2 2 3 π (2)∵y= +sin(2x- )的图象 2 6

????? y=sin2x 的图象. ?
22.(本小题满分 12 分)如图所示,甲船由 A 岛出发向北偏东 45° 的方向做匀速直线航行,速度为 15 2海里/小时,在甲 船从 A 岛出发的同时,乙船从 A 岛正南 40 海里处的 B 岛

左移

个单位 12 3 下移 个单位 2

?

1 出发,朝北偏东 θ(tanθ= )的方向作匀速直线航行,速度 2 为 10 5海里/小时. (1)求出发后 3 小时两船相距多少海里? (2)求两船出发后多长时间距离最近?最近距离为多少海里? 解:以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立如图所示 的平面直角坐标系. 设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P(x1,y1),Q(x2,y2). =15t ?x1=15 2tcos45° 则? , ?y1=x1=15t 1 2 5 由 tanθ= 可得,cosθ= , 2 5 sinθ= 5 , 5

?x2=10 5tsinθ=10t, 故? ?y2=10 5tcosθ-40=20t-40.
(1)令 t=3,P、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20), |PQ|= (45-30)2+(45-20)2= 850=5 34. 即出发后 3 小时两船相距 5 34海里. (2)由(1)的解法过程易知: |PQ|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 = (10t-15t)2+(20t-40-15t)2 = 50t2-400t+1 600 = 50(t-4)2+800≥20 2, ∴当且仅当 t=4 时,|PQ|取得最小值 20 2. 即两船出发后 4 小时时,相距 20 2海里为两船的最近距离. π π 23.已知函数 f(x)=sin2x+2 3sin(x+ )cos(x- )-cos2x- 3. 4 4 (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间; π 25 (2)求函数 f(x)在[- , π]上的最大值和最小值,并指出此时相应的 x 的值. 12 36 π 3 24.已知函数 f(x)=2cosxsin(x+ )- . 3 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期 T; (2)若△ABC 的三边 a,b,c 满足 b2=ac,且边 b 所对角为 B,试求 cosB 的取值范

围,并确定此时 f(B)的最大值. π 3 解:(1)f(x)=2cosx· sin(x+ )- 3 2 π π 3 =2cosx(sinxcos +cosxsin )- 3 3 2 1 3 3 =2cosx( sinx+ cosx)- 2 2 2 =sinxcosx+ 3· 2x- cos 3 2

1+cos2x 1 3 = sin2x+ 3· - 2 2 2 1 3 = sin2x+ cos2x 2 2 π =sin(2x+ ). 3 2π 2π ∴T= = =π. |ω| 2 a2+c2-b2 a2+c2-ac (2)由余弦定理 cosB= 得,cosB= 2ac 2ac = a2+c2 1 2ac 1 1 1 - ≥ - = ,∴ ≤cosB<1, 2ac 2 2ac 2 2 2

π π 而 0<B<π,∴0<B≤ .函数 f(B)=sin(2B+ ), 3 3 π π π π ∵ <2B+ ≤π,当 2B+ = , 3 3 3 2 π 即 B= 时,f(B)max=1. 12

第三章

第二节
题组一

同角三角函数基本关系式与诱导公式
同角三角函数基本关系式的应用 ( )

5 1.已知 cos(α-π)=- ,且 α 是第四象限角,则 sin(-2π+α)=样 13 12 A.- 13 12 B. 13 12 C.± 13 5 D. 12

5 5 解析:由 cos(α-π)=- 得,cosα= ,而 α 为第四象限角, 13 13 12 ∴sin(-2π+α)=sinα=- 1-cos2α=- . 13 答案:A π 3π 3 2.已知 α∈( , ),tan(α-7π)=- ,则 sinα+cosα 的值为 2 2 4 1 A.± 5 1 B.- 5 1 C. 5 7 D.- 5 ( )

3 π 3 4 解析:tan(α-7π)=tanα=- ,∴α∈( ,π),sinα= ,cosα=- ,∴sinα+cosα= 4 2 5 5 1 - . 5 答案:B π sin( +θ)-cos(π-θ) 2 3.已知 tanθ=2,则 = π sin( -θ)-sin(π-θ) 2 A.2 B.-2 C.0 2 D. 3

(

)

π sin( +θ)-cos(π-θ) 2 cosθ-(-cosθ) 2cosθ 2 2 解析: = = = = =-2. π cosθ-sinθ cosθ-sinθ 1-tanθ 1-2 sin( -θ)-sin(π-θ) 2 答案:B

题组二 1 4.(tanx+ )cos2x= tanx A.tanx 解析:(tanx+ = B.sinx

化 简 问 题 ( C.cosx 1 D. tanx )

1 sinx cosx )cos2x=( + )cos2x tanx cosx sinx

sin2x+cos2x cosx 1 · 2x= cos = . sinxcosx sinx tanx

答案:D π π π π 5.sin(π+ )sin(2π+ )sin(3π+ )?sin(2010π+ )的值等于________. 6 6 6 6 11 1 1 1 解析:原式=(- ) (- )? =- 2010. 22 2 2 2 答案:- 1 22010

6.如果 sinα· cosα>0,且 sinα· tanα>0, α 化简:cos · 2 α 1-sin 2 α +cos · α 2 1+sin 2 α 1+sin 2 . α 1-sin 2

sin2α 解:由 sinα· tanα>0,得 >0,cosα>0. cosα 又 sinα· cosα>0,∴sinα>0, π ∴2kπ<α<2kπ+ (k∈Z), 2 α π 即 kπ< <kπ+ (k∈Z). 2 4 α 当 k 为偶数时, 位于第一象限; 2 α 当 k 为奇数时, 位于第三象限. 2 α ∴原式=cos · 2 α (1-sin )2 2 α +cos · α 2 cos2 2 α (1+sin )2 2 α cos2 2

α α α 1-sin 1+sin 2cos 2 2 2 α α =cos · +cos · = 2 α 2 α α |cos | |cos | |cos | 2 2 2

?2 =? ?-2

α ( 在第一象限时) 2 α ( 在第三象限时) 2 .

题组三 π 1 π 7.已知 cos( +α)=- ,则 sin( -α)= 4 2 4 1 A.- 2 1 B. 2 C.- 2 2

条件求值问题 ( D. 2 2 )

π π π π 解析:sin( -α)=cos[ -( -α)]=cos( +α) 4 2 4 4

1 =- . 2 答案:A 1 8. 已知 A 为锐角, lg(1+cosA)=m, lg =n, lgsinA 的值为 则 1-cosA 1 A.m+ n B.m-n 1 1 C. (m+ ) 2 n 1 D. (m-n) 2 ( )

解析:两式相减得 lg(l+cosA)-lg

1 =m-n? 1-cosA

lg[(1+cosA)(1-cosA)]=m-n?lgsin2A=m-n, ∵A 为锐角,∴sinA>0, m-n ∴2lgsinA=m-n,∴lgsinA= . 2 答案:D 3 sin(π-α)cos(2π-α)cos(-α+ π) 2 9.已知 f(α)= π cos( -α)sin(-π-α) 2 (1)化简 f(α); 3 1 (2)若 α 为第三象限角,且 cos(α- π)= ,求 f(α)的值; 2 5 31 (3)若 α=- π,求 f(α)的值. 3 sinαcosα(-sinα) 解:(1)f(α)= =-cosα. sinα· sinα 3 1 1 (2)∵cos(α- π)=-sinα= ,∴sinα=- , 2 5 5 又∵α 为第三象限角, 2 6 ∴cosα=- 1-sin2α=- , 5 ∴f(α)= 2 6 . 5

31 5 (3)∵- π=-6×2π+ π 3 3 31 31 ∴f(- π)=-cos(- π) 3 3 5 =-cos(-6×2π+ π) 3 5 π 1 =-cos π=-cos =- . 3 3 2

题组四

公式的灵活应用

10.已知 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中 a、b、α、β 都是非零常数,若 f(2 009)= -1,则 f(2 010)等于 A.-1 B.0 C.1 D.2 ( )

解析:法一:∵f(2 009)=asin(2 009π+α)+bcos(2 009π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-(asinα+bcosβ)=-1, ∴f(2 010)=asin(2 010π+α)+bcos(2 010π+β) =asinα+bcosβ=1. 法二:f(2 010)=asin(2 010π+α)+bcos(2 010π+β) =asin[π+(2 009π+α)]+bcos[π+(2 009π+β)] =-asin(2 009π+α)-bcos(2 009π+β) =-f(2 009)=1. 答案:C 11.若 f(cosx)=cos3x,则 f(sin30° )的值为________. 解析:∵f(cosx)=cos3x, ∴f(sin30° )=f(cos60° )=cos(3×60° )=cos180° =-1. 答案:-1 12.(2010· 宁波模拟)已知函数 f(x)=sinx+cosx,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)求函数 F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域和最小正周期; 1+sin2x (2)若 f(x)=2f′(x),求 2 的值. cos x-sinxcosx 解:(1)∵f′(x)=cosx-sinx, ∴F(x)=f(x)f′(x)+f2(x) =cos2x-sin2x+1+2sinxcosx π =1+sin2x+cos2x=1+ 2sin(2x+ ), 4 函数 F(x)的值域为[1- 2,1+ 2], 2π 最小正周期为 T= =π. 2 (2)∵f(x)=2f′(x)?sinx+cosx=2cosx-2sinx, 1 ∴cosx=3sinx?tanx= , 3 1+sin2x 2sin2x+cos2x ∴ 2 = 2 cos x-sinxcosx cos x-sinxcosx

11 2tan2x+1 9 11 = = = . 2 6 1-tanx 3


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