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高考数学第一轮复习 12椭圆单元试卷



第十二单元

椭圆、双曲线、抛物线

一.选择题 (1) 抛 物 线 x 2 ? 4 y 上 一 点 A 的 纵 坐 标 为 4 , 则 点 A 与 抛 物 线 焦 点 的 距 离 为 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 (2) ( A D 若 焦 点 在 )

x2 y 2 1 x 轴 上 的 椭 圆 , 则 ?

?1 的 离 心 率 为 2 2 m
3 2

m=

3





8 3

2 3
2 2

(3) 若 方 程 x +ky =2 表 示 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 , 那 么 实 数 k 的 取 值 范 围 是 ( ) A (0, +∞) B (0, 2) C (1, +∞) D (0, 1)

x2 y2 ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,F1、F2 分别 (4) 设 P 是双曲线 2 ? 9 a 是 双 曲 线 的 左 、 右 焦 点 , 若 | PF1 |? 3 , 则 | PF2 |?
( B 6 C 7 D 9 2 (5) 对于抛物线 y =2x 上任意一点 Q, 点 P(a, 0)都满足|PQ|≥|a|, 则 a 的取值范围是 ( C ?? ?, 1? ) D ) A 1 或 5

A [0, 1] (-∞, 0)

B (0, 1)

x2 y2 2 (6) 若椭圆 2 ? 2 ? 1(a?b? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 被抛物线 y =2bx 的焦 a b
点 ( 分 成 ) 5 : 3 两 段 , 则 此 椭 圆 的 离 心 率 为

16 17 2 5 D 5
A (7) 已知双曲线 的离心率为 ( A ) B

B

4 17 17

C

4 5

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的一条准线与抛物线 y 2 ? ?6x 的准线重合,则该双曲线 2 a

3 2

3 2
用心 爱心 专心

C

6 2

D

2 3 3
-1-

(8) 设 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y =2px(p>0)上的两点,并且满足 OA⊥OB. 则 y1y2 等于 ( ) 2 2 2 A – 4p B 4p C – 2p 2 D 2p (9) 已知双曲线 x ?
2

2

???? ????? ? y2 ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1 ? MF 2 ? 0, 则点 M 到 x 2
的 距 离 为

轴 ( A

)

4 3

B

5 3

C

2 3 3

D 3

(10) 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P, 、F 若 △ F1PF2 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 则 椭 圆 的 离 ( ) A 二.填空题







2 2

B

2 ?1 2

C 2? 2

D 2 ?1

(11) 若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是 10,0 ,则双曲线的方程是 __________. 2 2 (12)设中心在原点的椭圆与双曲线 2 x -2y =1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该 椭圆的方程是 . (13) 过双曲线

?

?

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、N a 2 b2

两点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_________. (14) 以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? 的轨迹为椭圆; ③方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
2

1 (OA ? OB ), 则动点 P 2

④双曲线

x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. 25 9 35
(写出所有真命题的序号)

其中真命题的序号为 三.解答题 (15)点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆 36 20

上,且位于 x 轴上方, PA ? PF .求点 P 的坐标; .
用心 爱心 专心 -2-

(16) 已知抛物线 C: y=-

1 2 x +6, 点 P(2, 4) 、A、B 在抛物线上, 且直线 PA、PB 的倾斜角互 2

补. (Ⅰ)证明:直线 AB 的斜率为定值; (Ⅱ)当直线 AB 在 y 轴上的截距为正数时, 求△PAB 面积的最大值及此时直线 AB 的方程.

x2 y2 ? ? 1 (a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直 a2 b2 4 线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c.求双曲线的离心率 e 的取值范围 5
(17) 双曲线

用心

爱心

专心

-3-

(18) 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F, 是抛物线上横坐 A 标为 4、且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN ? FA ,垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M,当 K (m,0) 是 x 轴上一动点 时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.

参考答案 一选择题:
用心 爱心 专心 -4-

1.D [解析]:点 A 与抛物线焦点的距离就是点 A 与抛物线准线的距离,即 4 ? (?1) ? 5 2.B [解析]:∵焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y 2 1 2?m 1 ? ? 1 的离心率为 ,∴ ? 2 2 m 2 2

则 m= 3.D

3 2

[解析]: ∵方程 x +ky =2,即

2

2

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 2 2 k

∴ 4.C

2 ?2 k

故0 ? k ?1

[解析]:双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,故 a ? 2 9 a2

又 P 是双曲线上一点, || PF | ? | PF2 ||? 4 , | PF1 |? 3 , | PF2 |? 7 故 而 则 1 5.C [解析]:对于抛物线 y =2x 上任意一点 Q, 点 P(a, 0)都满足|PQ|≥|a|, 若 a ? 0, 显然适合
2 若 a ? 0 ,点 P(a, 0)都满足|PQ|≥|a|就是 a ? (a ?
2

y2 2 ) ? y2 2

y2 ? 1 ? 1 ,此时 0 ? a ? 1 即a ? 4
则 a 的取值范围是 ?? ?, 1? 6.D

b 2 ? 5 , c ? 2b ? 5c 2 ? 4a 2 ? e ? c ? 2 [解析]: b 3 a 5 c? 2 c?
7.D [解析]:双曲线

x2 a2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的准线为 x ? ? a2 a2 ?1

用心

爱心

专心

-5-

抛物线 y 2 ? ?6 x 的准线为 x ? 因为两准线重合,故 8.A

3 2

3 2 2 , a =3,则该双曲线的离心率为 3 a2 ?1 2
=
2

a2

[解析]:∵A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y =2px(p>0)上的两点,并且满足 OA⊥OB. ∴ k OA ? k OB ? ?1, ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ? 则 y1y2 = – 4p 9.C [解析]:∵ MF1 ? MF 2 ? 0, ∴点 M 在以 F1F2 为直径的圆 x 2 ? y 2 ? 3 上
2

( y1 y 2 ) 2 ? y1 y 2 ? 0 4 p2

???? ????? ?

?x 2 ? y 2 ? 3 2 ? 故由 ? 得 | y |? y2 2 3 ?1 ?x ? 2 ?
则点 M 到 x 轴的距离为 10.D [解析]:不妨设点 P 在 x 轴上方,坐标为 (c,

2 3 3

b2 ) ,∵△F1PF2 为等腰直角三角形 a

∴|PF2|=|F1F2|,即

b2 a2 ? c2 c ?2 ?1 ? e 2 ? 2e ? 2c ,即 2 a a a

故椭圆的离心率 e 是 2 ? 1

二填空题: 11. x ?
2

y2 ?1 9 y2 ? ? ,又它的一个焦点是 10,0 9

[解析]: 因为双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x , 则设双曲线的方程是 x ?
2

?

?

故 ? ? 9? ? 10 ? ? ? 1 12.

x2 ? y2 ? 1 2
[解析]:双曲线 2 x -2y =1 的焦点为( ? 1,0) ,离心率为 2
2 2

用心

爱心

专心

-6-

故椭圆的焦点为( ? 1,0) ,离心率为

2 , 2
x2 ? y2 ? 1 2

则 c ? 1, a ? 13. 2 [解析]:设双曲线

2, b ? 1 ,因此该椭圆的方程是

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左焦点 F1,右顶点为 A,因为以 MN a 2 b2

为直径的圆恰好过双曲线的右顶点, 故|F1M|=|F1A|, ∴ 14. ③④ [解析]:根据双曲线的定义必须有 | k |?| AB | ,动点 P 的轨迹才为双曲线, 故①错 ∵ OP ?

b2 ? a ? c ∴ e2 ?1 ? 1 ? e ?e ? 2 a

1 (OA ? OB ), ∴P 为弦 AB 的中点,故 ?APC ? 900 2

则动点 P 的轨迹为以线段 AC 为直径的圆。故②错 三解答题 (15) 解:由已知可得点 A(-6,0) ,F(4,0) 设点 P 的坐标是 ( x, y),则AP ? {x ? 6, y}, FP ? {x ? 4, y} ,由已知得

? x2 y2 ?1 3 ? ? 则2 x 2 ? 9 x ? 18 ? 0, x ? 或x ? ?6. ? 36 20 2 ?( x ? 6)(x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
由于 y ? 0, 只能 x ?

3 5 3 5 , 于是 y ? 3,? 点P的坐标是 ( , 3 ). 2 2 2 2

(16) (Ⅰ)证: 易知点 P 在抛物线 C 上, 设 PA 的斜率为 k, 则直线 PA 的方程是 y-4=k(x-2). 代入 y=-

1 2 2 x +6 并整理得 x +2kx-4(k+1)=0 此时方程应有根 xA 及 2, 2

由韦达定理得: 2 2 2xA=-4(k+1) , ∴xA=-2(k+1). ∴yA=k(xA-2)+4.=-k -4k+4. ∴A(-2(k+1), -k -4k+4). 由于 PA 与 PB 的倾斜角互补, 故 PB 的斜率为-k. 2 同理可得 B(-2(-k+1), -k +4k+4) ∴kAB=2. (Ⅱ) ∵AB 的方程为 y=2x+b, b>0.代入方程 y=-

1 2 1 2 x +6 消去 y 得 x +2x+b-6=0. 2 2

1 2 [4 2 ] |AB|=2 ( ? 2 ) ? (b ? 6) ? 2 5(16 ? 2b) .
∴S=

1 1 b 5 16 ? |AB|d= ·2 ( ? 2b) 2 2 5
用心 爱心 专心 -7-

16 ? 2b ? b ? b 3 64 3 . (16 ? 2b) ? b ? b ? ( ) ? 3 9 16 此时方程为 y=2x+ . 3
(17) 解:直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a>1, 得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 =

b(a ? 1)

同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2 = s= d1 +d2=

a2 ? b2 b(a ? 1) a2 ? b2

.

.

ab
2 2

a ?b 4 2ab 4 2 由 s≥ c,得 ≥ c,即 5a c 2 ? a 2 ≥2c . 5 5 c
于是得 5 e 2 ? 1 ≥2e .即 4e -25e+25≤0.
2 2

=

2ab . c

5 2 ≤e ≤5.由于 e>1>0, 4 5 所以 e 的取值范围是 ?e? 5 2
解不等式,得 (18) 解: (1)抛物线 y ? 2 px的准线为 x ? ?
2
2

p p , 于是 4 ? ? 5,? p ? 2. 2 2

∴抛物线方程为 y = 4x. (2)∵点 A 的坐标是(4,4) 由题意得 B(0,4) , ,M(0,2) ,

4 3 ; MN ? FA,? k MN ? ? , 3 4 4 3 则 FA 的方程为 y= (x-1) ,MN 的方程为 y ? 2 ? ? x. 3 4
又∵F(1,0) ∴ k FA ? ,

8 4 ? ? ?x ? 5 ? y ? 3 ( x ? 1) ? ? , 得? 解方程组 ? ?y ? 2 ? ? 3 x ?y ? 4 ? ? 5 4 ? ?

8 4 ? N ( , ). 5 5

(3)由题意得,圆 M 的圆心是点(0,2) ,半径为 2. 当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离, 当 m≠4 时,直线 AK 的方程为 y ?

4 ( x ? m), 4?m

即为 4 x ? (4 ? m) y ? 4m ? 0, ,令 d ? 2, 解得m ? 1

圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 d ?

| 2m ? 8 | 16 ? (m ? 4) 2

?当m ? 1 时,直线 AK 与圆 M 相离;
当 m=1 时,直线 AK 与圆 M 相切; 当 m ? 1 时,直线 AK 与圆 M 相交.

用心

爱心

专心

-8-



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