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高中数学选修2精品课件3.2.1立体几何中的向量方法(一)



前面,我们把

平面向量

推广到

空间向量

向量 渐渐成为重要工具

立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.

一、点的位置向量<

br />思考:如何确定一个点在空间的位置? 在空间中,我们取一定点O作为基点,

那么空间中任意一点P的位置就可以用 向量OP来表示。我们把向量OP称为 点P的位置向量。 P

A

二、直线的向量参数方程

空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定. l P , 对于直线 l 上的任一点 P 存在实数 t 使得 AP ? t AB

a
B
A

此方程称为直线的向量参数方程。这 样点A和向量 a 不仅可以确定直线 l的 位置,还可以具体写出l上的任意一点。

OP ? OA ? ta , OP ? xOA ? yOB (x ? y ? 1)

三、平面的法向量
空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两条相 交直线来确定.

n
b

P
a

对于平面 ? 上的任一点 P , 存在有序实数对 ( x, y) ,使得

? O

OP ? xa ? yb

这样,点O与向量 a、 b 不仅可以确定平面?的位 置,还可以具体表示出 ? 内的任意一点。 除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向 量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.

平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在

直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平 面 ? ,记作 n ⊥? ,如果 n⊥? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量. n 给定一点 A 和一个向量 , 那么 l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 完全确定的. n

?

A

几点注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量n 是平面的法向量,向 量m 是与平面平行或在平面 内,则有 n ? m ? 0

问题:如何求平面的法向量?
(1)设出平面的法向量为 n ? ( x, y, z)
(2)找出(求出)平面内的 两个不共线的 向量的坐标a ? (a1, b1, c1 ),b ? (a2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 ?n ? a ? 0 方程组? ?n ? b ? 0
(4)解方程组,取其中的一 个解,即得法向量。

例1:已知AB ? (2, 2,1), AC ? (4,5,3), 求平面ABC的 法向量。 变式:求其单位法向量
解:设平面的法向量为n ? (x,y,z),
则n ? AB, n ? AC ? (x,y,z) (2, 2,1) ? 0,(x,y,z) (4,5,3) ? 0, 1 ? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ?x ? 即? , 取z ? 1,得 ? 2 ?4 x ? 5 y ? 3 z ? 0 ? ? y ? ?1 3 1 ? n ? ( , ?1,1), | n |? 2 2

1 2 2 ? 求平面ABC的单位法向量为 ? ( , - ,) 3 3 3

思考2:
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置,所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗? 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗?

四、平行关系:
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

线线平行
线面平行

l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ; l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0 ;

面面平行

? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv .

注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 法向量为u ? (a2 , b2 , c2 ),则 包括线在面内,面面平行包括面面重合 .

设直线l的方向向量为a ? (a1 , b1 , c1 ), 平面?的

l // ? ? a ? u ? 0 ? a1a2 ? b1b2 ? c1c2 ? 0;

五、垂直关系: 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ?
的法向量分别为 u, v ,则

线线垂直

l ⊥m ? a ⊥b ? a?b ? 0;

线面垂直 l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ; 面面垂直 ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.

a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 ? 0时,a // u ? ? ? a2 b2 c2

若a ? (a1, b1, c1 ), u ? (a2 , b2 , c2 ),则 l ? ? ? a // u ? a ? ku ? a1 ? ka2 , b1 ? kb2 , c1 ? kc2 .

巩固性训练1
1.设

a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直

列条件,判断l1,l2的位置关系.

(1)a ? (2,?1,?2), b ? (6,?3,?6) (2)a ? (1,2,?2), b ? (?2,3,2) (3)a ? (0,0,1), b ? (0,0,?3)

平行

(4)(-2,1,4),(6,3,3)

巩固性训练2
1.设

u, v

分别是平面α,β的法向量,根据 垂直 平行

下列条件,判断α,β的位置关系.

(1)u ? (?2,2,5), v ? (6,?4,4) (2)u ? (1,2,?2), v ? (?2,?4,4) (3)u ? (2,?3,5), v ? (?3,1,?4)

相交

巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为 (-2,-4,k),若 ? // ? ,则k= ;若 ? ? ? 则 k= 。 2、已知 l // ? ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 ? 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 ? 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ? ? ,则m= .

例2、用向量法证明:一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行,则这两个平面平行。

六、夹角:
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
两直线 l , m 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤

?
2

), cos ? ?

a?b a b



? 所成的角为 ? (0 ≤? ≤ 直线 l 与平面

?
2

),sin ? ?

a?u a u



二面角 ? ─l ─ ? 的大小为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ? ), cos ? ?
以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.

u?v u v

.

若二面角的平面角为?1,?,?的法向量分别为m, n, 且m, n的夹角为? 2,则?1与? 2的关系为__________

l

m

? a ? b
? ? ? ? l // m ? a // b ? a ? ?b

? a

? u

l

?
? ? ? ? l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0

? u
?
?
? ? ? ? ? // ? ? u // v ? u ? ?v

? v

l

? a ? b

m

? ? ? ? l ? m ? a ? b ? a?b ? 0

l

? a
?

? u

? ? ? ? l ? ? ? a // u ? a ? ?u

? u
?

? v
?

? ? ? ? ? ? ? ? u ? v ? u?v ? 0

l

l

? a

?

? b

m

? ? a b ?

m

? ? |a?b | cos? ? ? ? l , m的夹角为 ?, | a || b |

? ? a u
?

l

? a
?

l

?

?

? ? ? |a?u| cos( ? ? ) ? ? ? l , ?的夹角为 ?, 2 | a || u |

? u

? u ? v
?

?

?

? ? | u?v | ? , ?的夹角为 ?, cos? ? ? ? | u || v |

? u

?

? v

?

?

? ? | u?v | cos? ? ? ? ? , ?的夹角为 ?, | u || v |

例1:已知两点(, A 1 - 2, 3),( B 2, 1, - 3),求A,B连线与 三坐标平面的交点。

练习:已知两点(, A 1 2, 3),( B 2, 1, 2),(, P 11, 2),点Q在 OP上运动,求当QA QB取得最小值时,点Q的坐标。

设OQ ? ?OP ? (?, ?, 2? ),
?QA QB ? 6? ?16? ? 10
2

4 2 ?当? ? 时, QA QB取得最小值 ? 。 3 3

4 4 8 此时Q ( , ,) 3 3 3



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