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高中数学复习专题讲座(第8讲)奇偶性与单调性(2)



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高中数学复习专

题系列讲座

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题目 高中数学复习专题讲座 处理具有单调性、奇偶性函数问题的方法(1) 高考要求 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样 特别是两性质的应用更加突出 本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单 调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象 帮助 考生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识 重难点归纳 (1)判断函数的奇偶性与单调性 若为具体函数,严格按照定义判断,注意变换中的等价性 若为抽象函数, 在依托定义的基础上, 用好赋值法, 注意赋值的科学性、 合理性 同时,注意判断与证明、讨论三者的区别,针对所列的训练认真体会, 用好数与形的统一 复合函数的奇偶性、 单调性 问题的解决关键在于 既把握复合过程, 又掌握基本函数 (2)加强逆向思维、数形统一 正反结合解决基本应用题目 (3)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目 此类题目要求 考生必须具有驾驭知识的能力,并具有综合分析问题和解决问题的能力 (4)应用问题 在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中, 往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法, 把问题中较复杂、 抽象的式 子转化为基本的简单的式子去解决 特别是 往往利用函数的单调性求实 际应用题中的最值问题 典型题例示范讲解 例 1 已知奇函数 f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式 f(x-
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3)+f(x2-3)<0,设不等式解集为 A, B=A∪{x|1≤x≤ 5 },求函数 g(x)=-3x2+3x -4(x∈B)的最大值 命题意图 本题属于函数性质的综合性题目,考生必须具有综合运用 知识分析和解决问题的能力 知识依托 主要依据函数的性质去解决问题 错解分析 题目不等式中的“f”号如何去掉是难点,在求二次函数在 给定区间上的最值问题时,学生容易漏掉定义域 技巧与方法 借助奇偶性脱去“f”号,转化为 x 的不等式,利用数形 结合进行集合运算和求最值
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由?

?0 ? x ? 6 得? 2 ?? 3 ? x ? 3 ? 3 ?? 6 ? x ? ?? 3 ? x ? 3 ? 3

且 x≠0,故 0<x< 6 ,
6

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又∵f(x)是奇函数,∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2), 又 f(x)在(-3,3)上是减函数, ∴x-3>3-x2,即 x2+x-6>0,解得 x>2 或 x<-3, 综上得 2<x< 6 ,即 A={x|2<x< 6 }, ∴B=A∪{x|1≤x≤ 5 }={x|1≤x< 6 }, 又 g(x)=-3x2+3x-4=-3(x-
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1 2

)2-

13 4

知 g(x)在 B 上为减函数,

∴g(x)max=g(1)=-4 例 2 已知奇函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,是
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否存在实数 m,使 f(cos2θ -3)+f(4m-2mcosθ )>f(0)对所有θ ∈ [0,

?
2

] 都成
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立?若存在,求出符合条件的所有实数 m 的范围,若不存在,说明理由 命题意图 本题属于探索性问题,主要考查考生的综合分析能力和逻 辑思维能力以及运算能力 知识依托 主要依据函数的单调性和奇偶性,利用等价转化的思想方 法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题 错解分析 考生不易运用函数的综合性质去解决问题,特别不易考虑 运用等价转化的思想方法 技巧与方法 主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题 解 ∵f(x)是 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴f(x)是 R 上 的增函数 于是不等式可等价地转化为 f(cos2θ -3)>f(2mcosθ -4m), 即 cos2θ -3>2mcosθ -4m,即 cos2θ -mcosθ +2m-2>0 设 t=cosθ ,则问题等价地转化为函数
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g(t)?=t2-mt+2m-2=(t-

m 2

)2-

m 4

2

+2m-2 在[0,1]上的值恒为正,
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又转化为函数 g(t)在[0,1]上的最小值为正 ∴当
m 2

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<0,即 m<0 时,g(0)=2m-2>0 ? m>1 与 m<0 不符;
m 2

当 0≤

≤1 时,即 0≤m≤2 时,g(m)=-
2 <m<4+2 2 ,?∴4-2

m 4

2

+2m-2>0
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? 4-2

2 <m≤2

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m 2

>1,即 m>2 时,g(1)=m-1>0 ? m>1

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∴m>2

综上,符合题目要求的 m 的值存在,其取值范围是 m>4-2 2
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另法(仅限当 m 能够解出的情况) [0,
?
2

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cos2 θ -mcosθ +2m-2>0 对于θ ∈

]恒成立,
?
2

等价于 m>(2-cos2θ )/(2-cosθ ) 对于θ ∈[0,

]恒成立

∵当θ ∈[0, ∴m>4-2
2

?
2
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]时,(2-cos2θ )/(2-cosθ ) ≤4-2 2 ,

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例 3 已知偶函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=0, 解不等式 f[log2(x2+5x+4)]≥0 ? 解 ∵f(2)=0,∴原不等式可化为 f[log2(x2+5x+4)]≥f(2) 又∵f(x)为偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴f(x)在(-∞,0)上为减函数且 f(-2)=f(2)=0 ∴不等式可化为 log2(x2+5x+4)≥2 ① 2 或 log2(x +5x+4)≤-2 ② 2 由①得 x +5x+4≥4,∴x≤-5 或 x≥0 ③
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由②得 0<x2+5x+4≤
?5? 2 10

1 4


?5? 2 10

≤x<-4 或-1<x≤



由③④得原不等式的解集为 {x|x≤-5 或
?5? 2
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10

≤x≤-4 或-1<x≤

?5? 2

10

或 x≥0}

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学生巩固练习 1 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数, f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时, f(x)=x, 则 f(7 5)等于( ) A 0 5 B -0 5 C 1 5 D -1 5 2 已知定义域为(-1,1)的奇函数 y=f(x)又是减函数,且 f(a-3)+f(9 2 -a )<0,?则 a 的取值范围是( )
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A
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(2 2 ,3)

B

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(3, 10 ) C

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(2 2 ,4)

D

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(-2,3)

3 若 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(-3)=0,则 xf(x)<0 的解集为_________ 4 如果函数 f(x)在 R 上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且 f(x+2)=
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-f(x),试比较 f( 5
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1 3

),f(

2 3

),f(1)的大小关系_________

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已知 f(x)是偶函数而且在(0,+∞)上是减函数,判断 f(x)在(-∞,0)
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上的增减性并加以证明 6
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已知 f(x)=

a ?2 ?1
x

1? 2

x

(a∈R)是 R 上的奇函数,

(1)求 a 的值; - (2)求 f(x)的反函数 f 1(x); (3)对任意给定的 k∈R+,解不等式 f 1(x)>lg 7
7 4
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1? x
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k
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定义在(-∞,4]上的减函数 f(x)满足 f(m-sinx)≤f( 1 ? 2 m -
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+cos2x)对任意 x∈R 都成立,求实数 m 的取值范围 8
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已知函数 y=f(x)=

ax

2

?1

bx ? c

(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当 x>0 时,
5
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f(x)有最小值 2,其中 b∈N 且 f(1)<

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2

(1)试求函数 f(x)的解析式; (2)问函数 f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出 点的坐标;若不存在,说明理由 参考答案: 1 解析 f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2) =-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5 答案 B 2 解析 ∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数又是减函数, 且 f(a-3)+f(9-a2)<0 ∴f(a-3)<f(a2-9)
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?? 1 ? a ? 3 ? 1 ? ∴ ?? 1 ? a 2 ? 9 ? 1 ? 2 ?a ? 3 ? a ? 9

∴a∈(2 2 ,3)

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答案 3
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A
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解析

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由题意可知

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xf(x)<0 ? ?

?x ? 0

?x ? 0 或? ? f (x) ? 0 ? f (x) ? 0

?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ? ? 或? ? ? 或? ? f ( x ) ? f ( ? 3) ? f ( x ) ? f ( 3) ? x ? ?3 ? x ? 3

∴x∈(-3,0)∪(0,3)
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答案 (-3,0)∪(0,3) 4 解析 ∵f(x)为 R 上的奇函数
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∴f(

1 3

)=-f(-

1 3

),f(

2 3

)=-f(-

2 3

),f(1)=-f(-1),
1 3

又 f(x)在(-1,0)上是增函数且- ∴f(- 答案
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>-
2 3

2 3

>-1
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1 3

)>f(-
1 3

2 3

)>f(-1),∴f(
2 3

1 3

)<f(

)<f(1)

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f(
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)<f(

)<f(1)

5 解 函数 f(x)在(-∞,0)上是增函数,设 x1<x2<0,因为 f(x)是偶函 数, 所以 f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),由假设可知-x1>-x2>0,又已知 f(x)?在(0, +∞)上是减函数,于是有 f(-x1)<f(-x2),即 f(x1)<f(x2),由此可知,函数 f(x) 在(-∞,0)上是增函数 6 解 (1)a=1
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(2)f(x)=

2 ?1
x

2 ?1
x

(x∈R) ? f
1? x k

--1

(x)=log2

1? x 1? x

(-1<x<1 )

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(3)由 log2

1? x 1? x

>log2

? log2(1-x)<log2k,

∴当 0<k<2 时,不等式解集为{x|1-k<x<1 } ;当 k≥2 时,不等式解 集为{x|-1<x<1 }
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7解
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? ? m ? sin x ? 4 ? m ? 4 ? sin x ? 7 ? ? 2 , 即? ? 1 ? 2 m ? ? cos x ? 4 7 2 4 ? ? m ? 1 ? 2 m ? ? ? sin x ? sin x ? 1 ? 4 7 ? 2 m ? sin x ? 1 ? 2 m ? ? cos x ? ? 4

对 x∈R 恒成立,
?m ? 3 ? ?? 3 1 ?m ? 或 m ? 2 2 ?

∴m∈[

3 2

,3]∪{

1 2

}

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(1)∵f(x)是奇函数,
ax
2

∴f(-x)=-f(x),即

?1

bx ? c

? ?

ax

2

?1

? bx ? c

? bx ? c ? bx ? c

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高中数学复习专题系列讲座

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∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=

ax

2

?1

?

a b

x?

1 bx

≥2

a b
2



bx

当且仅当 x=
5 2

1 a

时等号成立,于是 2
5 2
1
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a b
2

=2,∴a=b2,
1 2

由 f(1)<



a ?1 b





b

2

?1 b
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5 2

,∴2b2-5b+2<0,解得

<b<2,

又 b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+

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x

(2)设存在一点(x0,y0)在 y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-
?x 2 ?1 0 ? y0 ? ? x0 x0,-y0)也在 y=f(x)图象上,则 ? 2 ? (2 ? x0 ) ? 1 ? ? y0 ? 2 ? x0 ?

消去 y0 得 x02-2x0-1=0,x0=1± 2

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∴y=f(x)图象上存在两点(1+ 2 ,2 2 ),(1- 2 ,-2 2 )关于(1,0)对称 课前后备注
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