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人教版中职数学 基础模块上册3-5章教案



人教版中职数学教材 基础模块上册 3-5 章教案
目 录

第三章 函数..................................................................................................................................... 1 3.1.

1 函数的概念................................................................................................................... 1 3.1.2 函数的表示方法 ........................................................................................................... 5 3.1.3 函数的单调性............................................................................................................... 8 3.1.4 函数的奇偶性............................................................................................................. 13 3.2.1 一次、二次问题 ......................................................................................................... 17 3.2.2 一次函数模型............................................................................................................. 20 3.2.3 二次函数模型............................................................................................................. 24 3.3 函数的应用.................................................................................................................... 28 第四章 指数函数与对数函数 ....................................................................................................... 31 4.1.1 有理指数(一) .............................................................................................................. 31 4.1.1 有理指数(二) .............................................................................................................. 35 4.1.2 幂函数举例................................................................................................................. 39 4.1.3 指数函数..................................................................................................................... 42 4.2.1 对数............................................................................................................................. 46 4.2.2 积、商、幂的对数 ..................................................................................................... 49 4.2.3 换底公式与自然对数 ................................................................................................. 53 4.2.4 对数函数..................................................................................................................... 55 4.3 指数、对数函数的应用 ................................................................................................ 58 第五章 三角函数........................................................................................................................... 61 5.1.1 角的概念的推广 ......................................................................................................... 61 5.1.2 弧度制......................................................................................................................... 65 5.2.1 任意角三角函数的定义 ............................................................................................. 69 5.2.2 同角三角函数的基本关系式 ..................................................................................... 74 5.2.3 诱导公式..................................................................................................................... 78 5.3.1 正弦函数的图象和性质 ............................................................................................. 83 5.3.2 余弦函数的图象和性质 ............................................................................................. 87 5.3.3 已知三角函数值求角 ................................................................................................. 90

第三章 函数
3.1.1
【教学目标】 1. 理解函数的概念,会求简单函数的定义域. 2. 理解函数符号 y=f (x)的意义,会求函数在 x=a 处的函数值. 3. 通过教学,渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点. 【教学重点】 函数的概念及两要素,会求函数在 x=a 处的函数值,求简单函数的定义域. 【教学难点】 用集合的观点理解函数的概念. 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法和分组教学法.运用现代化教学手段,通过两个实例,分析抽象出函数概 念,使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素.然后通过求函数值与定义域的两类题目,深化对 函数概念的理解. 【教学过程】 环节 教学内容 1.试举出各类学过的一些函数例子. 师生互动 师: 事物都是运动变化的, 如:气温随时间在悄悄变化; 我国的国内生产总值在逐年增 长等.在这些变化中,都存在 导 入 2.初中函数定义 在一个变化过程中,有两个变量 x 和 y,如果给定一个 x 值,就相应地确 定了唯一的 y 值,那么我们就称 y 是 x 的函数, 其中 x 是自变量, y 是因变量. 一、函数概念 1. 问题 1 新 课 着两个变量,当一个变量变化 时,另一个变量随之发生变 化.在数学中,我们用函数来 描述两个变量之间的关系. 师:提出问题. 生:回忆解答. 师生共同回忆初中函数定 义. 学生阅读课本,讨论并回 问题一、二是为 突出本课重难点而设 计. 深度挖掘教材提 出的两个问题,在回 为知识迁移做准 备.在阅读适量的例 子后再回顾引出初中 定义, 由具体到抽象, 符合职校学生的认知 能力. 设计意图

函数的概念

一辆汽车在一段平坦的道路 答教师提出的问题.

上以 100 km/h 的速度匀速行驶 2 小时. (1)在这个问题中,路程、时间、速度 这三个量,哪些是常量?哪些是变量?

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(2)如何用数学符号表示行驶的路程 s (km)与行驶时间 t(h)的关系? (3) 行驶时间 ( t h) 的取值范围是什么? (4)对于行驶时间中的每一个确定的 t 值,你能求出汽车行驶的路程吗? (5)根据初中知识,关系式 s=100 t (0≤t≤2)表示的是函数关系吗? 2.问题 2 如果一个圆的半径用 r 表 教师针对学生的回答进行

顾了初中的函数知识 的基础上,进一步讨 论自变量的取值范 围,以及自变量与因 变量的对应关系,为 顺利引出函数定义做 准备.

示,它的面积用 A 表示.

通过阅读讨论分 析,利用学生原有知 识结构.

(1)你能用数学符号表示圆的面积 A 与 点评. 它的半径 r 之间的关系吗? (2)在 A 与 r 的关系式中,r 的取值范 新 围是什么? (3)关系式 A=? r2(r>0)表达的是一 种函数关系吗?因变量是哪个量?自变 课 量是哪个量? 3.两个事实 师:从问题 1 和问题 2 中, 可以看到两个重要的事实: (1)在每个例子中都指出 A x. f:对应法则 了自变量的取值集合; y. (2)都给出了对应法 则.对自变量的一个值,都有 4.函数概念 唯一的一个因变量值与之对

结合问题 1、 2的 实例,降低对函数概 念的理解难度.

分析两个实例, 归 纳得出两个事实,为 引出函数的概念做最 后的准备. 用图形能更直观 地表示两个重要事 实.

设集合 A 是一个非空的数集, 对 A 应. 内任意实数 x,按照某个确定的法则 f, 教师引导学生学习函数的

有唯一确定的实数值 y 与它对应,则称 概念. 这种对应关系为集合 A 上的一个函 学生阅读课本函数概念, 借助问题 1、问题 2 加深对函数概念的理 解. 强调“集合 A 是 一个非空的数集”、 “法则”、“唯一” 等关键词语. 师:函数的值域被函数的 f:对应法则 定义域和对应法则完全确定. .y. x. x. 人教版中职数学教材 基础模块上册 3-5 章教案 . 第 2 页 共 94 页 x. 使学生理解函数关系 实质是非空数集到非 空数集的对应关系.

数.记作:y=f (x).其中 x 为自变量, 在理解的基础上记忆函数概 y 为因变量.自变量 x 的取值集合 A 叫做函数的定义域.对应的因变量 y 的 取值集合叫做函数的值域. 5. A x. 念. 师:函数关系实质是非空 数集到非空数集的对应关系.

6.函数两要素:定义域和对应法则. 要检验给定两个变量之间的关系是 不是函数,只要检验: (1)定义域是否给出; (2)对应法则是否给出,并且根据这个 对应法则,能否由自变量 x 的每一个值, 确定唯一的 y 值. 例 1 判断下列图中对应关系是否是函 数: A 1 4 9 开平方 B
1 -1 2 -2 3 -3

使学生明确 (1) 函数值域不是函 数的要素的原因; (2) 函数两要素的作 用. 利用函数的两要 素来判断两变量的关 系是否是函数关系还 需要在以后的学习中 学生讨论例题中的对应关 系是否满足函数的定义,并解 答之. 教师总结,一个自变量 x 只能有唯一的 y 与之对应. 通过本例,使学生进 一步理解函数关系的 实质. 加以巩固.

A 新 4 5 6

2倍

B 8 10 12 B 1 4 5 6



A
1 -1 2 -2

平方

7.有关符号: (1) 函数 y=f (x)也经常写作函数 f (x)或 函数 f. (2) 也可以将 y 是 x 的函数记为 y= g(x),或者 y=h(x),等. 二、求函数值 函数 y=f (x)在 x=a 处对应的函 数值 y,记作 y=f (a). 1 例 2 已知函数 f (x)= . 2 x+1 学生分组讨论求解的方 求: f (0),f (1),f (-2), f (a). 法;
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教师讲解函数符号的含 义.

在本节中首次引 入了抽象的函数符号 f (x), 学生往往只接受 具体的函数解析式, 而不能接受 f (x),所 以应让学生从符号的 含义开始认识,这部 分教师必须讲解清 楚.

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1 1 1 解 f (0)= =1,f (1)= = , 0+1 2+1 3 1 1 1 f (-2)= =- .f (a)= . 3 -4+1 2 a+1

小组讨论后教师引导完 成. 教师引导学生求函数值. 进一步加强学生对 f (a)的理解.

练习 1 教材 P61,练习 A 组第 2 题. 三、函数的定义域 函数关系式中,函数的定义域有时 可以省略,如果不特别指明一个函数的 定义域,那么这个函数的定义域就是使 函数有意义的全体实数构成的集合. 例 3 求函数 y= 解 x+3 的定义域. x 教师强调函数的定义域是 一个集合. 总结求分式函数, 偶次根式 函数的定义域的方法.

要使已知函数有意义,
?x+3≥0 ? ?x≠0

当且仅当 求定义域题目不 必过难,重点在理解 定义域的概念.

所以函数的定义域为 {x | x≥-3,x≠0}. 练习 2 教材 P61,练习 B 组第 2 题.

教师强调定义域的表示形 式.

学生讨论求解.

小 结

1. 2. 3. 4.

函数概念. 两要素. 函数符号. 定义域.

师生合作.

梳理总结也可针 对学生薄弱或易错处 进行强调和总结.

作 业

教材 P61,练习 A 组第 2(3)题; 练习 B 组第 2(3)题.

巩固拓展.

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3.1.2
【教学目标】

函数的表示方法

1. 了解函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法. 2. 已知函数解析式会用描点法作简单函数的图象. 3. 培养学生数形结合、分类讨论的数学思想方法,通过小组合作培养学生的协作能力. 【教学重点】 函数的三种表示方法;作函数图象. 【教学难点】 作函数图象. 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法和分组讨论教学法.本节课先借助一个实例,简要介绍函数的三种表示方 法,进一步刻画函数概念;然后通过两个例题,使学生初步感知如何由解析式分析函数性质以指导画图, 避免画图的盲目性.通过本节教学,使学生初步了解数形结合研究函数的方法,为下面学习函数的单调性 和奇偶性做铺垫. 【教学过程】 环节 导 入 教学内容 1.函数的定义是什么? 2.你知道的函数表示方法有哪些呢? 1.函数的三种表示方法: (1) 解析法 师生互动 师:提出问题. 生:回忆思考回答. 学生阅读教材 P62 ,了解函 数的三种表示方法. 师:函数的三种基本表示方 (2) 列表法 新 (3) 图象法 课 2.问题. 由 3.1.1 节的问题中所给的函数解析式 s=100 t (0≤t≤2) 作函数图象. 解:列表(略); 画图 法, 各有各的优点和缺点, 有时把 这三种方法结合起来使用, 即由已 知的函数解析式, 列出自变量与对 应的函数值的表格, 再画出它的图 象. 师: 你知道画函数图象的步骤 是什么吗? 生:第一步:列表;第二步: 描点;第三步:连线. 师: 在问题及解答过程中, 我 们分别用到了哪些函数的表示方 法? 生:解析法、列表法、图象法 培养学 生勤于思考 善于分析的 意识和能 力. 设计意图 为 知 识 迁移做准备. 这一部 分内容简 单,可采用 阅读思考等 方式进行教 学,充分利 用教材资源 发挥学生的 主动性.

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本题的 设置起到了 承上启下的 作用.

为突破 本节课难点 3.针对上面的例子,思考并回答下列问题: (1) 在上例描点时,是怎样确定一个点的位置 的?哪个变量作为点的横坐标?哪个变量 作为点的纵坐标? (2) 函数的定义域是什么? (3) s 的值能大于 200 吗?能是负值吗?为什 么?函数的值域是什么? (4) 距离 s 随行驶时间 t 的增大有怎样的变 化? 而设计.问 教师引导学生利用函数图象 分析回答函数的性质. 题(4)为下节 引入函数的 单调性做准 师:由上例可以看出,我们在 列表、作图时,要认真分析函数, 避免盲目列表计算. 函数的图象有 利于我们研究函数的性质, 如本例 课 4.例 1 作函数 y=x3 的图象. 解 列表 中函数的定义域、值域以及 y 随 x 增大而增大等性质. 教师引导学生分析: 函数 y=x3 的定义域是 R, 当 x>0 时,y>0,这时函数的图 画图 象在第一象限,y 的值随着 x 的 值增大而增大; 当 x<0 时, y<0, 这时函数的图象在第三象限, y 的 值随着 x 的值减小而减小. 教师引导学生完成列表、 描点 及连线,完成函数图象. 师生合作完成例 1, 让学生体 会取值前如何分析研究函数式的 5.结合例 1 完成下列问题: (1) 函数 y=x3 的定义域、值域是什么? (2) 函数值 y 随 x 的增大有怎样的变化? (3) f(a)与 f(-a)相等吗?有怎样的关系? (4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图 特点. 学生分组讨论完成, 从讨论中 掌握分析函数性质的方法. 尽可能 把主动权交 给学生,使 学生在自主 探索中发现 问题解决问 题. 问题(3)(4)的 设置是为引 入函数的奇 偶性作准 备. 让学生 在作图过程 中体会函数 的性质,从 做中学. 备.



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形? 1 6.例 2 作函数 y= 2 的图象. x 解 列表 避免为 作图象而作 图象,让学 生在画图的 过程中学 习.

学生小组合作分析课本例 2 如何取值. 学生作出例 2 图象,教师针对 出现的情况进行点评或让学生互 评. 教师强调自变量的取值,即 {x | x≠0}.

画图

新 让学生 进一步掌握 分析函数性 质的方 法.并为下 一步学习函 数的单调性 与奇偶性做 准备.

课 7.结合例 2 解答下列问题: 1 (1) 函数 y= 2 的定义域、值域是什么? x (2) 在第一象限中, 函数值 y 随 x 的增大有怎样 的变化?在第二象限中呢? (3) f (a)与 f (-a)相等吗?有怎样的关系? (4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图 形? 小 结 1. 函数的三种表示方法. 2. 作函数图象. 学生分组讨论完成, 从讨论中 掌握分析函数性质的方法.

学生畅谈本节课的收获, 老师 梳理总 引导梳理,总结本节课的知识点. 结 也 可 针 对 学生薄弱或 易错处进行 强 调 和 总 结. 巩固拓 展.

作 业

教材 P65 ,练习 A 组第 3 题; 练习 B 组第 2 题.

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3.1.3
【教学目标】

函数的单调性

1.理解函数单调性的概念,掌握判断函数的单调性的方法. 2.通过教学,使学生领会数形结合的数学方法;培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力. 3.体验数学的严谨性,渗透由一般到特殊的辩证唯物主义观点. 【教学重点】 函数单调性的概念;学会运用图象法观察函数的单调性和用定义法证明一些函数的单调性. 【教学难点】 利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性. 【教学方法】 这节课主要采用类比教学法和分组教学法.教师用问题引导学生从函数图象的变化趋势类比得出增减 函数的概念,然后对图象进行代数分析,得出用定义证明函数单调性的步骤.从形的直观感知到严密的代 数分析,使学生领会数形结合研究函数的方法.借助两个证明题,深化学生对单调性概念的理解. 【教学过程】 环 节 教学内容 从常见的美丽的建筑物图片入 师生互动 师:播放动画,师 设计意图 联系实际, 激发兴趣.

导 手,让学生感知数学的美,激发学 生共同欣赏后,引导学 入 生的学习兴趣. 生观察部分曲线的变化 趋势,引入课题.

1.课件展示下列函数图象
y y=f(x) A
f(x1) f(x2) x2

师:提出问题,引 导观察思考:

B

1. 观察图象的变化 趋势怎样? 2. 你能看出当自变
x

从图象直观感知 函数的单调性.

O

x1

量增大或减少时函数值 如何变化吗?



y A

生:观察动画,思
y=f(x) B

考回答.

课 O

f(x1) x1

f(x2) x2

x

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2.增函数与减函数的定义: 增函数:在给定的区间上自变 量增大(减少)时,函数值也随着增 大(减少). 减函数:在给定的区间上自变 量增大(减少)时,函数值也随着减 少(增大).

教师引导学生归纳 增函数与减函数的定 义.

通过观察函数图 象直接给出增函数、 减函数的定义,符合 学生的特点,容易被 学生接受.

3.例 1 给出函数 y=f (x)的图象, 如图所示,根据图象指出这个函数 在哪个区间上是增函数?在哪个区 间上是减函数?
y

学生观察图象完成 此题,掌握用图象来判 断函数单调性的方法. 教师强调,在说明 函数单调性时,要指出 明确的区间.

从观察直观图象 入手,加深对单调性 定义的理解,掌握用 图象法判定函数单调 性的方法,使学过的 知识及时得到应用.

-1

o

1

2

3

4

x

解 函数 y=f (x)在区间[-1, 0], [2,3]上是减函数;在区间[0,1], [3,4]上是增函数. 4.练习 1 (1) 观察教材 P64 例 1 的函数 新 图象,说出函数在(-∞,+∞)上是 增函数还是减函数; (2) 观察教材 P65 例 2 的函数 图象,分别说出函数在(-∞,0)和 课 (0,+∞)上是增函数还是减函数. 5.设 y=f (x),在给定的区间 上,它的图象如图.
y y=f(x) A
f(x1) f(x2) x2

学生回答,教师点 评. 通过练习 1,让学 生进一步掌握利用函 数的图象来判断函数 单调性的方法,从而 提高学生的读图能 力,并与前面学过的 知识结合,对学过的 函数有更新的认识.
B

O

x1

x

教师带领学生结合 增函数图象分析如何利

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在此图象上任取两点 A(x1, y1), 用函数的解析式来判断 B(x2,y2),记 ?x=x2-x1,?y=y2-y1. 增函数 一个函数是增函数.

将增函数、减函 数定义中的定性说明 转化为定量分析.从 而给出利用函数解析 式来判断函数单调性 的方法.

自变量增大(?x>0), 函数值增大(?y>0). 启发学生思考, 完成从直观到抽象、 ?y >0 ?x 从感性思维到理性思 维的升华.

学生类比分析如何 利用函数的解析式来判 减函数 断一个函数是减函数. 在板书例题的过 程中,突出解题思路 与步骤. 自变量增大(?x>0), 函数值增大(?y<0). 教师指出利用函数 图象判断单调性的局限 性,引导学生从函数解 析式入手证明单调性的 ?y <0 ?x 思路与步骤.

教师讲解例题 2, 板书详细的解题过程. 6.例 2 证明函数 f (x)=3 x +2 在区间(-∞, +∞)上是增函数. 证明 设 x1,x2 是任意两个不 新 相等的实数,则 ? x=x2-x1 ? y=f (x2)-f (x1)

通过例题解答, 加深对函数单调性定 义的理解,并自然而 然地将定义运用到判 定函数单调性中,理 论与实践相辅相成.

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=(3 x2+2)-(3 x1+2) 课 =3(x2-x1), ?y 3(x2-x1) = >0. ?x x2-x1 因此,函数 f (x)=3 x+2 在区 间(-∞,+∞)上是增函数. 7. 总结由函数的解析式判定函 数单调性的步骤: S1 S2 计算 ?x 和 ?y; ?y 计算 k= . ?x

教师引导学生总结 解题步骤,可简记为: 一设、二求、三判 定.

突出重点,深化 证明步骤,分解难点.

通过学生讨论、 老师点拨,顺利帮助 ?y 学生判断 的正负. ?x

当 k>0 时, 函数在这个区间上 是增函数; 当 k<0 时, 函数在这个区间上 是减函数. 1 8.例 3 证明函数 f (x)=x 在 区间(0,+∞)上是减函数. 证明:设 x1,x2 是任意两个不 相等的正实数. 因为 ?x=x2-x1, 1 1 ?y=f(x2)-f(x1)=x -x 2 1 =
x1 ? x2 x1 x2 x2 ? x1 ?x =- . x1 x2 x1 x2

学生讨论并试解例 题.老师点拨、解答学 生疑难. 巩固用函数解析 式来判定单调性的思 路和步骤.

=-

又因为 x1 x2>0, 所以 ?y 1 =- <0. ?x x1 x2

因此,函数 f (x)= 新 (0,+∞)上是减函数. 9.练习 2 课

1 在区间 x
学生模仿练习.

巩固理解,形成 技能.

3 证明函数 f (x)= x 在区间 (-∞,0)上是减函数.

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1. 函数单调性的定义; 小 结 2. 判定函数单调性的方法.

学 生 阅 读 课 本 P66~68, 畅谈本节课的 收获. 老师引导梳理,总 结本节课的知识点.

梳理总结也可针 对学生薄弱或易错处 进行强调和总结.

作 业

教材 P 69,练习 A 组第 2 题; 练习 B 组第 1、2 题.

巩固拓展.

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3.1.4
【教学目标】

函数的奇偶性

1. 理解奇函数、偶函数的概念;掌握奇函数、偶函数的图象特征. 2. 掌握判断函数奇偶性的方法. 3. 通过教学,渗透数形结合思想,培养学生类比推理的能力,体会由具体到抽象、由特殊到一般的辩 证唯物主义思想. 【教学重点】 奇偶性概念与函数奇偶性的判断. 【教学难点】 理解奇偶性概念与奇函数、偶函数的定义域. 【教学方法】 这节课主要采用类比教学法.先由两个具体的函数入手,引导学生发现函数 f(x)在 x 与在- x 的函数 值之间的关系,由特殊到一般引出奇函数的定义,再由点的对称关系得出奇函数的图象特征.然后由学生 自主探索,类比得出偶函数定义.结合定义与例题总结出判断函数奇偶性的步骤,在解题过程中深化对概 念的理解. 【教学过程】 环节 教学内容 复习前面所学求函数值的知识. 导 入 1 已知:函数 f (x)=2 x 和 g (x)= x3. 4 试求当 x=±3, x=±2, x=±1, ?, 时的函数值,并观察相应函数值的关系. 学生计算相应的函数值. 教师引导学生发现规律, 总 新 发现规律: 对定义域 R 内的任意一个 x,都有 f (-x)=-f (x);g(-x)=-g(x). 课 证明: f (-x)=2 (-x)=-2 x=-f(x); 1 1 g (-x)= (-x)3=- x3=-g(x). 4 4 一、奇函数 1. 定义. 如果对于函数 y=f (x)的定义域 A 内 的任意一个 x 都有 教师通过引例, 归纳得到奇 函数定义. 由特殊到一 般,发挥学生自主 性. 结规律:自变量互为相反数时, 函数值互为相反数. 老师引导学生给出证明. 师生互动 教师提出问题,学生回答. 设计意图 为学生理解奇、 偶函数的定义做好 准备.

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f (-x)=-f (x), 则这个函数叫做奇函数. 2. 图象特征. 1 课件展示函数 f (x)=2 x 和 g (x)= 4 x3 的图象,动画展示对称性. 奇函数的图象都是以坐标原点为对 称中心的中心对称图形.
y (x,f (x))

师:播放动画. 生:观察动画,回顾轴对 称、中心对称图形的定义. 观察函数 f (x)=2 x 和 f (x) = 1 3 x 的图象,它的对称性如 4

提高学生的读 图能力,渗透数形 结合的数学思想.

在奇函数的定 义中定义域对应的 区间关于坐标原点

何? 总结奇函数的图象特征.

对称是学生思维的 难点.本环节为突

O (-x,f (-x))

x

破这一难点而设 计.

新 通过分组讨论 一个函数是奇函数的充要条件是,它 的图象是以坐标原点为对称中心的中心 课 对称图形. 例 1 判断下列函数是不是奇函数: 1 (1) f (x)= ; x x7. 解 1 (1) 函数 f (x)= 的定义域 x A={x | x ≠ 0}, 所以当 x ? A 时,-x ? A. 1 1 因为 f (-x)= =- =-f (x), x -x 1 所以函数 f (x)= 是奇函数. x (2) 函数 f (x)=-x 的定义域为 R, 所以当 x ? R 时,-x ? R. 因为 f(-x)=-(-x)3=x3=-f (x), 所以函数 f (x)=-x3 是奇函数. (3) 函数 f (x)=x+1 的定义域为 R, 所以当 x ? R 时,-x ? R. 因为 f (-x)=-x+1 板书解题过程; 其间穿插师生问答. 规范解题步 骤,使学生模仿形 成技能.
3

探究,使学生深刻 理解定义中隐含的 对定义域的要求.

(2) f (x)=-x3;

教师出示例题. 教师首先请学生讨论:判 断奇函数的方法. 学生尝试解答例题(1),对 学生的回答给以补充、 完善, 师 生共同总结判断方法: S1 判断当 x?A 时,是否 有-x ?A, 即函数的定义域对应 的区间是否关于坐标原点对称; S2 当 S1 成立时,对于任 意一个 x?A, 若 f(-x)=-f(x), 则函数 y=f(x)是奇函数. 在教师引导讲 解例题后紧跟相应 练习,使学生对每 一类型都有比较深 刻印象,符合学生 认知心理,为学生 更好地掌握定义奠 定基础. 例题根据各种 不同情况进行设 计,作了层次处理.

(3) f (x)=x+1;(4) f(x)=x+x3+x5+

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-f (x)=-(x+1)=-x-1, 所以 f (-x)≠-f (x). 所以函数 f (x)=x+1 不是奇函数. (4) 函数 f (x)=x+x3+x5+x7 的定义 域为 R,所以当 x ? R 时,-x ? R. 因为 f (-x)=-x-x -x -x =-(x+x3+x5+x7) =-f (x). 所以函数 f(x)=x+x3+x5+x7 是奇函 数. 练习 1 教材 P 73,练习 A 组 第 1 题. 二、偶函数 1. 定义. 新 如果对于函数 y=f (x)的定义域 A 内 的任意一个 x 都有 f (-x)=f (x), 则这个函数叫做偶函数. 课 2. 图象特征. 偶函数的图象都是以 y 轴为对称轴的 轴对称图形.
y (-x,f (x)) (x,f (x))
3 5 7

通过例题与练 习的解答,加深对 奇函数定义的理 解,并将定义运用 到解题中.

通过类比、自 学,培养学生的理 老师强调,引起学生重视. 性思维,提高学生 学生模仿练习. 的学习能力,加强 学生间的合作交 学生探究:偶函数. 师:结合函数 f (x)=x2 的 图象,出示自学提纲: 1. 偶函数的定义是什么? 2. 偶函数的图象有什么特 征?一个函数是偶函数的充要 条件是什么? 3. 偶函数对定义域的要求 是什么?
O x

流.

在掌握了奇函 数判断方法的基础 上,放手让学生自 己去进行偶函数的 判断,提高学生举 一反三解决问题的 能力.

生:自学教材 P71~72—— 偶函数的有关内容, 每四人为一

一个函数是偶函数的充要条件是,它

组, 讨论并回答自学提纲中提出

的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形. 的问题. 例 2 判断下列函数是不是偶函数: (1) f (x)=x +x ; (2) f (x)=x +1; (3) f (x)=x +x ; (4) f (x)=x2+1,x??-1,3?. 解 (2) 函数 f (x)=x2+1 的定义域为 R, 所以当 x ? R 时,-x ? R. 因为 f (-x)=(-x)2+1 生:分析解题思路.在黑 师:出示例题.
2 3 2 2 4

师: 以提问的方式检查学生 自学情况, 订正学生回答的问题 答案,并出示各知识点. 给学生以赏识性评价.

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第 15 页 共 94 页

=x2+1=f (x), 所以函数 f (x)=x2+1 是偶函数. 所以函数 f (x)=x2+1, x??-1, 3?不是偶 函数. 新 3. 对定义域的要求 一个函数为奇函数或者偶函数的前 课 提条件是这个函数的定义域关于原点对 称.

板上解答(1)(2)(3). 师:引导学生订正黑板上 根据学生做题 情况,了解学生对 本节课知识的掌握 情况.

(4) 因为 2??-1,3?,-2??-1,3?, 的答案, 规范解题过程, 梳理解 题步骤. 教师结合图象讲解(4).

对比(2),(4)的解题过程, 发现判断函数奇偶性时, 所给定

练习 2 判断下列函数是不是偶函数: 义域的重要性. (1) f (x)=(x+1)(x-1); (2) f (x)=x2+1,x?(-1,1]; (3) f (x)= 1 . x -1
2

结合函数的图象强调定义 域关于原点对称是一个函数为 奇函数或偶函数的前提.

1 x 1. 函数的奇偶性
定义 奇 函数

y

学生模仿练习; 师生统一订正.

1

图象特征

1. 学生读书、反思:



函数

读教材 P 69~73——函数 的奇偶性,总结本节课收获.

通过对比,加 深理解,强化记忆.



2. 判断函数奇偶性的步骤: S1 x?A ; S2 x?A: 若 f (-x)=-f (x), 则函数 y=f (x)是奇函数; 若 f (-x)=f (x), 则函数 y=f (x)是偶函数. 当 S1 成立时,对于任意一个 判 断 当 x?A 时 , 是 否 有 - 2. 教师引导梳理 (1) 出示表格,学生填表, 巩固所学内容. (2) 总结判断一个函数奇偶 性的步骤. 梳理总结也可 针对学生薄弱或易 错处进行强调和总 结.

作 业

教材 P74 ,习题第 5 题; 第 6 题(选做).

学生课后完成.

巩固拓展.

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3.2.1
【教学目标】

一次、二次问题

1. 通过实际问题感知一次、二次函数在实际生活中的应用. 2. 培养学生从实际问题中抽象出数学模型并应用模型去解决实际问题的能力. 3. 通过教学,培养学生应用数学的意识,提高学生分析问题、解决问题的能力. 【教学重点】 从实际问题中抽象简单的数学模型. 【教学难点】 从实际问题中抽象简单的数学模型. 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法.教师引导学生对实际问题先用列表计算与画图的方法来直观感知,然后 抽象成一次函数和二次函数来研究,通过教学,培养学生从实际问题中抽象出一次、二次函数模型并应用 模型去解决实际问题的能力. 【教学过程】 环节 教学内容 1.分别写出一次函数、二次函数的一 导 入 般形式. 2.函数分类: (1) y=3 x; (2) y=-3 x-2; 师生互动 生:同桌交流,合作完成. 师: 引导学生观察这四个关 系式的等号右边, 如果要将这些 函数进行分类, 如何分类比较合 唤醒对旧知识的 记忆. 设计意图

(3) y=x2-3 x-4;(4) y=-x2-2 x+3. 理?引入课题. 例 用长为 20 m 的绳子围成一个矩 师:投影例题. 对于求最值的问 题,历来是学生的难 点,不知从何处入手, 为了突破这一难点, 把 师: 提出问题, 引导学生分 该题进行了分解, 分为 1.试填下面的表格(见课件). 新 2. 设矩形的一边长为 x m, 另一边为 y m,能用含 x 的代数式来表示 y 吗? 3 . x 的值可以任意取吗?有限定范围 课 吗? 结论: y=10-x (0≤x≤10)是一次 函数. 对于第 4、5 步师生共同分 4. 又设矩形的面积为 S, 我们发现 S 是 析, 教师首先引导学生从表格中 从表格直观感知 面积的最值. 组交流,合作完成前 3 个问题. 5 个小问题.这样可降 生: 分组交流, 合作完成. 然 低学生分析问题的难 后每个小组都汇报交流结果, 如 度. 同时让学生进一步 果有疑义,其他小组可以补充, 掌握函数的第一种表 最后教师给出正确结论. 示法:列表法.

形,写出两边长之间的函数关系 .想想 看,两边长各是多少时,围成的矩形面 积最大?

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x 的函数,试写出这个函数的关系式.

找到当 x=5 时,矩形面积最大

5.从表中得出 x(x 为整数)为多长时, 是 25. 矩形面积获得最大值?

学生依据上面的表格画出 6. 作函数图象, 从图象中求出当 x 为何 值时,面积有最大值. 基本步骤:列表、描点、连线. 函数的图象.

S
20

教师首先引导学生关注图象 的最高点,得出 x=5 时矩形面 积最大是 25.

10

从图象直观感知 面积的最值.同时让


O
5 10

x

学生进一步掌握函数 教师进一步引导学生观察图 的第二种表示法:图 象,得出函数值的变化趋势. 象法.培养学生细心 观察、归纳、分析的 良好习惯和读图能 力.

结论: 当矩形的一边小于 5 m 时,函数值 课 随边长增加而增加; 当矩形的一边等于 5 m 时,矩形面 积获得最大值; 当矩形的一边大于 5 m 时,函数值 随边长增加而减小. 7.用配方法分析,当 x 为何值时,面积 有最大值. S=x(10-x) =-x2+10 x =-(x2-10 x) =-(x2-10 x+25-25) =-[(x-5)2-25] =-(x-5)2+25. 所以当 x=5 时, 矩形面积获得最大值. 结论: 4 a c-b2 b S=a(x+ )2+ . 2a 4a b 当 x=- 时,函数有最值 2a

从解析式直观感 师生共同解决. 教师引导学生关注配方法 的几个关键地方. 知面积的最值.同时 让学生进一步掌握函 数的第三种表示法: 解析法. 培养学生用 多种方法分析问题、 解决问题的能力.

教师引导学生回忆得出二 次函数配方后的形式.

形式中当 x=- b 时, 函数有最值的 2a 理解是难点,此处的 设计目的是为了突破 学生这一思维障

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4 a c-b2 . 4a

碍.加深对配方法的 理解.

练习 1 求自变量 x 为何值时, 函数取 得最大值或最小值? 新 (1) f (x)=-x2+3; (2) f (x)=-x2-8; (3) f (x)=x -5; 课 (4) f (x)=-(x-5) -3.
2 2

学生抢答. 通过练习 1、2, 让学生逐步掌握利用 配方法来研究二次函 数.同时进一步培养 学生细心观察、分析 问题的能力.

练习 2 求自变量 x 为何值时,函数取 得最大值或最小值. (1) f (x)=x2-2 x-3; (2) f (x)=-x +4 x-8. 1.进一步熟悉用列表、画图或公 小 结 式来表示某个函数关系. 2 .用配方法求自变量 x 为何值 时,函数取得最值. 作 业 教材 P77,练习 A 组第 1 题; 练习 B 组第 1、2(选做)题.
2

学生自行解决, 教师巡视并 加以指导,同时有两名学生板 演.

学生阅读课本畅谈本节课 的收获, 老师引导梳理, 总结本 节课的知识点.

梳理总结,也可 针对学生薄弱或易错 处进行强调和总结.

巩固拓展.

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3.2.2
【教学目标】

一次函数模型

1. 掌握正比例函数和一次函数的关系;理解并掌握一次函数的性质. 2. 培养学生数形结合研究函数性质的能力,渗透平移变换的数学思想. 3. 体验数学的严谨性,培养学生理性分析问题的良好习惯. 【教学重点】 一次函数的性质. 【教学难点】 对正比例函数和直线的关系的理解. 【教学方法】 这节课主要采用讲练结合法.先定义一次函数,对特殊的一次函数——正比例函数,则采用由曲线与 方程的角度来描述正比例函数与直线的关系,然后再考察一次函数与正比例函数的关系,从而得出一次函 数的图象也是一条直线的结论,并结合函数的单调性深入分析一次函数的性质,将学生初中对具体的一次 函数的认识上升到一般的理性结论. 【教学过程】 环节 导 入 教学内容 师生互动 设计意图 教师引导学生在 复习旧知识的同时, 让学生自主探索新知 识,激发学生获取新 知的动力. 1. 一次函数的概念: 教师屏幕显示内容,学生 函数 y= (k,b 为常数, 合作完成. k )叫做一次函数. 结论: 正比例函数是特殊 当 b= 时,函数 y=k 叫做正 的一次函数. 比例函数. 师:函数 y=3 x 的图象 2. 在直角坐标系中作出 y=3 x 的图象. 是一条直线吗? 一、正比例函数 y=k x 的图象是什么形 状? 师: 你是怎么做出 y=3 x 以具体函数 y=3 x 为例, 的图象的? 令 x=0,则 y=0,所以函数 y=3 x 生:列表,描了两个点, 的图象过点 O(0,0).又 x=1,y=3 是方 连线. 程的另一个解,作点 A(1,3),过这两个 师:由方程 y=3 x 的两 点 O,A 作直线 OA. 个解我们做出了直线 OA,那 么方程 y=3 x 的所有解都在 y y=3x P 直线 OA 上吗?反过来,这条 4 直线上的所有点都满足 y=3 A 3 x 吗? 2 即方程 y=3 x 的解与直 1 线 OA 上的点是一一对应的 O 1 2 ? 2 ?1 x 吗? -1
-2 -3 -4



由学生的作图过 程引发学生思考,然 后在教师的问题引导 下,从曲线与方程的 角度来描述正比例函 数 y=3x 与直线 OA 的关系;



画出示意图使学 生更容易明确正比例 函数 y=3x 与直线 OA 上的点的一一对应关 系.

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我们来说明直线 OA 是正比例函数 y =3 x 的图象. 这一部分,教师结合图 (1) 设点 P(x , y) 为直线 OA 任一 示, 用简洁明了的语言讲解二 点,用相似三角形的知识说明点 P(x,y) 者之间的关系.学生了解即 也满足函数关系式 y=3 x. 可,不宜过多强调. (2) 以方程 y=3 x 的解为坐标的点 P(x,y)一定在直线 OA 上.
直线 OA 正比例函数 y=3 x

从更高的层次上 审视初中所学的一次 函数,培养学生的理 性思维以及思维的严 密性.

点 P(x,y)

方程 y=3 x 的解(x,y)



二、一次函数与正比例函数图象关系 例 1 在同一直角坐标系内作出下列函数 师: 正比例函数的图象是 y=x,y=x+2,y=x-2 的图象. 直线, 那么一次函数的图象也 步骤:列表、描点、连线. 是一条直线吗?它们的图象 y 之间有什么关系呢?一次函数 y=x+2 又有什么性质呢? 4
3 y=x 2 1 ? 2 ?1 O -1 -2 -3 -4 1 2 y=x-2 x



通过例 1, 让学生 进一步掌握利用列表 描点,连线画函数的 图象,并且根据图象 来分析一次函数和正 比例函数的关系,从 而提高学生的读图能 力,及文字语言转化 为数学语言的能 力.并与前面学过的 知识结合,对学过的 这两个函数有更新的 认识.

教师扮演组织者 师:出示观察与比较,提 的角色,鼓励学生大 观察与比较 正比例函数 y=x 与一次 示学生, 相同点可从图象形状 胆的猜测和探究,以 函数 y=x+2,y=x-2 图象有什么异 和倾斜度上分析. 不同点可从 培养学生的观察、归 同? 三条直线的位置关系等方面. 纳能力,让学生从中 填空 这 三个函数的图象形状都 生:观察图象,小组合作 体验独立获取知识的 是 ,并且倾斜程度 ,函数 y=x 讨论. 然后每组选一名代表汇 愉悦感和成就感. 的图象经过原点,函数 y=x+2 的图象与 报各组的交流结果, 最后师生 y 轴交于点 ,即它可以看作由直线 y=x 一起汇总得出结论. 通过动画演示, 向 平移 个单位长度而得到.函数 y 可调动学生学习的兴 =x-2 的图象与 y 轴交于点 ,即 师:动画演示. 趣和正确理解直线平 它可以看作由直线 y = x 向 平移 个 移变换的过程. 单位长度而得到. 学生讨论,得出结论. 讨论 (1) 一次函数 y=k x+b 的图象与

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正比例函数 y=k x 图象有什么关系? (2) 一次函数 y=k x+b 的图象与 x, y 轴的交点坐标是什么? 结论 (1) 一次函数 y = kx + b 的图象与正 比例函数 y=k x 图象的关系: 一次函数 y =kx+ b 的图象是一条直 线, 我们称它为直线 y=kx+b, 它可以看 作由直线 y=kx 沿 y 轴平移 |b| 个单位长 度得到.(当 b>0 时,向上平移;当 b<0 时,向下平移.) (2) 一次函数 y=k x+b 的图象是过 b 点(0,b),(- ,0)的一条直线. k 练习 1 指出下列直线是由哪个正比例函 数的图象平移得到的,并求下列直线与 x 轴,y 轴的交点坐标. (1)直线 y=5 x+1; (2)直线 y=5x-3; (3)直线 y=x+5; (4)直线 y=x-3. 三、一次函数的单调性 当 k>0 时, 函数 f(x)=kx+b 是增函 数.当 k<0 时,函数 f(x)=kx+b 是减函 数. 学生抢答练习 1.

由练习 1 的两个 问题, 从特殊到一般, 师生一起总结得出结 论. 改变教师直接给 出结论的惯例,让学 生通过练习,由特殊 到一般,自己独立的 去获取知识,培养学 生的归纳、 概括能力.

练习 1 帮助学生理 解知识,形成技能.



师生交流练习 1 后, 教师 提出问题: 一次函数是由正比 例函数平移得到的, 从图象上 看, 它们的单调性是怎样的? 你能证明你的结论吗?

培养学生的观察 能力和归纳总结能 力.



例 2 证明 一次函数 f(x)=kx+b (k>0) 师生共同解决例 2,教师 在(-∞,+∞)上是增函数. 板书详细的解题过程. 证明 设 x1, x2 是任意两个不相等的 实数,因为 Δ x=x2-x1,而且 Δy=k x2+b-k x1-b =k(x2-x1)=k Δx, 所以 Δ y k? x = =k>0. Δx ? x

所以当 k>0 时,函数 f (x)=k x+b 在(-∞,+∞) 上是增函数. 同理我们可以证明:当 k<0 时,函 教师引导学生归纳得出: 数 f(x)=k x+b 在(-∞,+∞) 上是减函 函数值的改变量与相应自变 数. 量的改变量成正比. 因为 ?y 是函数值的改变量, ?x 是自 变量的改变量,所以由 ?y=k ?x 还可知: 函数值的改变量与相应自变量的改变量成 正比.

在学生具备函数 增减性的知识以后, 用单调性的概念重新 审视初中所学的一次 函数,让学生对函数 的直观感知上升到理 性分析的层次上,同 时加深对函数单调性 概念的理解.并且为 引出一次函数的性质 作铺垫.

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四、总结一次函数的性质 师生共同总结得出一次函数 1.一次函数 y=k x+b 的图象是过点(0, 的性质. b b),(- ,0)的一条直线. k 2.当 k>0 时,函数 f (x)=kx+b 是增函 数. 当 k<0 时,函数 f (x)=k x+b 是减 函数. 3.函数值的改变量与相应自变量的改变 量成正比. 练习 2 说出下列直线与 x 轴, y 轴的交 点坐标,以及函数的增减性. (1) y=x+2; (2) y=-2 x-1; (3) y=3 x+1; (4) y=8 x. 1.一次函数 y=k x+b 与正比例函数 y =k x 的关系. 2.一次函数 y=k x+b 的性质. 教材 P 79,练习 A 组 第 1,2 题; 练习 B 组 第 3 题(选做). 学生口答,师生共同点 评. 通过练习 2, 加深 对函数性质的理解, 理论与实践相辅相 成.





小 结 作 业

学生阅读课本畅谈本节 课的收获,老师引导梳理,总 结本节课的知识点.

梳理总结也可针 对学生薄弱或易错处 进行强调和总结. 巩固拓展.

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3.2.3
【教学目标】

二次函数模型

1. 理解并掌握二次函数的图象和性质;了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系; 2. 通过教学,使学生初步掌握数形结合研究二次函数的方法; 3. 渗透数形结合思想, 渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点, 培养学生观察分析、 类比抽象的能力. 【教学难点】 函数对称性的分析与数形结合研究二次函数的方法. 【教学方法】 这节课主要采用启发式教学法和讲练结合法.本节课通过对例题中的二次三项式进行代数分析,探究 二次函数性质的由来,使学生从初中对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度.更重要的是在学习函 数的一般通性之后,以二次函数为载体较系统地呈现数形结合研究函数的方法,为后面学习其它函数的性 质奠定基础. 【教学过程】 环节 教学内容 二次函数的一般形式: y=a x2+b x+c (a≠0), 定义域是 R. 练习 1 下列函数中,哪些是二次函 数?若是,分别指出二次项系数,一次 项系数,常数项. 1 (1) y=2 x2+3 x-1; (2) y=x+ ; x (3) y=3(x-1)2+1; (4) y=(x+3)2-x2; (5) s=3-2 t2; (6) v=4 π r2. 引例 在同一坐标系内作出下列 函数的图象. y=x2, y=2 x2, y=3 x2, y=-x2,y=-2x2,y=-3 x2. 新 师: 如果 b=c=0, 则一般 2 式变为 y=a x (a≠0),下面我 们先来研究这类函数的性质. 出 示引例. 学生在初中已经重点学过 二次函数的作图, 所以教师只讲 2 述 y=x 的图象画法, 其余 5 个 函数的图象,学生分组合作解 答, 教师巡回观察. 最后通过屏 幕演示,集体对照. 通过引例,使学 生进一步掌握二次函 数图象的描点作图 法,并根据所做图象 来分析函数 y=a x2 中系数 a 对图象的 影响,提高学生读图 能力. 学生合作,集体 回忆初中所学二次函 数的知识. 师生互动 教师引导学生回忆二次函 数的一般式,并让学生举例. 教师在引导学生 复习旧知识的同时, 让 学生自主探索新知识, 激发学生获取新知的 动力. 设计意图

导 入

学生口答.

y ? 3x2

y ? 2x2
y ? x2



y ? ?x

2

y ? ?2 x 2 y ? ?3x 2
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生: 观察图象, 小组合作讨 论. 然后每组选一名代表汇报各 观察图象并完成填空 组的交流结果, 最后师生一起汇 函数 y=a x2 的图象,当 a>0 时开 总得出结论. 口 .当 a<0 时开口 ,对称轴 是 ,顶点坐标是 . 函数是 函数 (用奇或偶填空) . |a| 越 大,开口越 . 例 1 研讨二次函数 f (x)= 1 2 x +4 x+6 的性质与图象. 2 (1) 因为 f (x)= 1 2 x +4 x+6 2 师生共同解决例 1, 教师详 细板书解题过程, 带领学生仔细 分析各个性质的由来. 通过对例 1 中二 次三项式的代数分 析,使学生对二次函 数的直观感知上升到 理性认识的高度,更 重要的是使学生掌握 数形结合研究函数的 方法,初步培养学生 的画图、识图能力.



1 = (x2+8 x+12) 2 1 = (x+4)2-2. 2 新 由于对任意实数 x, 都有 1 (x+4)2≥0, 2



所以 f (x)≥-2, 并且,当 x=-4 时取等号, 即 f(-4)=-2. 得出性质: x=-4 时,取得最小值-2.记为 ymin=-2. 点(-4,-2)是这个图象的顶点. (2) 当 y=0 时, 1 2 x +4 x+6=0, 2 x2+8 x+12=0, 解得 x1=-6,x2=-2. 故该函数图象与 x 轴交于两点 (-6,0),(-2,0). (3) 列表作图. y

分析图象与 x 轴的 交点,一方面为描点 作图,另一方面为下 节研究函数与方程, 不等式的关系做铺 垫.

-6

-4

-2 O -2

x

教师引导学生观察图象可 得出:函数的对称轴是直线 x=-4. 师:这个结论是否是正确的 呢? 教师通过问题 1、2,引导 学生证明上述结论正确.

以 x=-4 为中间值,取 x 的一些 值,列出这个函数的对应值表然后画出

对称性的教学设 计是为了启发学生完 成从直观到抽象、从 感性思维到理性思维 的升华.教师让学生 经历“观察—发现 —验证—归纳”四

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函数的图象. 观察上表或图形回答: 1.关于 x=-4 对称的两个自变量的值 对应的函数值有什么特点? 答:相同. 2. -4-h 与-4+h (h>0) 关于 x=- 4 对称吗? 分别计算-4-h 与-4+h 的函数 值,你能发现什么? 答:f (-4-h)=f (-4+h). 得出性质: 直线 x=-4 为该函数的对称轴. 函数在(-∞,-4]上是减函数,在 [-4,+∞)上是增函数. 小结例 2 中的函数性质: 1.开口. 2.最值. 3.顶点. 4.对称轴. 5.单调性. 练习 2(课本例 3) 用配方法求函数 f (x)=3 x2+2 x+1 的最小值和图象的 对称轴,并说出它在哪个区间上是增函 数,在哪个区间上是减函数? 解:f (x)=3 x2+2 x+1 2 =3(x2+ x)+1 3 2 1 1 =3(x2+ x+ - )+1 3 9 9 1 2 =3(x+ )2+ 3 3 1 2 所以 y=f(- )= ,函数图象的对称轴 3 3 1 1 是直线 x=- ,在(-∞,- ]上是减 3 3 1 函数,在[- ,+∞)上是增函数. 3 例 2 研讨二次函数 f (x)=-x -4x+3 的性质与图象.
2

个过程, 感受数学的 严密性、科学性.

小结函数性质, 将例 1 的分析条理化.



学生模仿练习. 老师巡回观 察点拨、解答学生疑难. 通过练习 2,进一 步练习配方法以及巩 固二次函数的性质.



小结 二次函数的性质.(表格见 课件)

例 2 是二次函数中 a<0 的 类型,学生可类比例 1,自己得 出图象与性质. 例 1 与例 2 分别是二次函数 以表格的形式整 中 a>0,a<0 的两种类型,教 理二次函数性质,使 师引导学生填表, 自己总结出二 知识结构一目了然. 次函数的性质表格,对比记忆.

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本例题有两种方 法,方法一:在图象 例 3 已知二次函数 y=x2-x-6 说出: 例 3 板书详细的解题过程. 中用区间分析法,方 (1) x 取哪些值时,y=0; 法二;求一元二次方 通过此例题, 教师总结一元 (2) x 取哪些值时,y>0, 程或一元二次不等式 二次方程、 一元二次不等式与二 的解集的方法.教师 x 取哪些值时,y<0. 在讲解时可根据学生 解 (1)求使 y=0 的 x 的值,即 次函数之间的关系: 2 2 求二次方程 x -x-6=0 的所有根. 求二次方程 ax +bx+c=0 的实际情况进行讲解 和拓展. 方程的判别式 的解, 就是求二次函数: y=a x2 2 方法一:在图象 ?=(-1) -4?1?(-6)=25>0, +bx+c(a≠0)的根; 中用区间分析法是比 解得:x1=-2,x2=3. 2 求不等式 a x +b x+c<0 较简单的一种方法, (2)画出简图,函数的开口向上. 从图象上可以看出,它与 x 轴相交于两 的解集,就是求使二次函数:y 通过此法可进一步培 养学生的读图,识图 点(-2,0),(3,0),这两点把 x 轴分成 =ax2+bx+c(a≠0 )的函数值 能力,培养学生数形 三段. 小于 0 的自变量的取值范围; 结合的思想. 所以当 x?(-2,3)时,y<0. 2 当 x?(-∞,-2)∪(3,+∞)时,y>0. 求不等式 a x +b x+c>0 的解集,就是求使二次函数 y y=a x2+b x+c(a≠0)的函数值 大于 0 的自变量的取值范围. -2 3 x





-6

学生模仿练习. 老师巡回观 察点拨、解答学生疑难.

练习 3 下列函数自变量在什么范围内 取值时,函数值大于 0、小于 0 或等于 0. (1) y=x2+7 x-8; (2) y=-x2+2 x+8. 总结二次函数,二次方程,二次不 等式三者之间的关系(表格见课件). 小 结 1.二次函数的性质. 学生阅读课本畅谈本节课 2.一元二次方程、一元二次不等 的收获, 老师引导梳理, 总结本 式与二次函数的关系. 节课的知识点. 3.数形结合研究二次函数的方法. 教材 P 84,练习 A 组第 1、2 题; 教材 P 85, 练习 B 组 1、 2题 (选做) .

巩固用图象法解 一元二次不等式的步 骤.

利用表格总结, 使所学知识系统化.

梳理总结也可针 对学生薄弱或易错处 进行强调和总结.

作 业

巩固拓展.

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3.3
【教学目标】

函数的应用

1. 会应用一次函数和二次函数解决有关简单实际问题. 2. 培养学生建立简单的数学模型及应用模型去解决实际问题的能力. 3. 通过教学,培养学生应用数学的意识,提高学生分析问题、解决问题的能力. 【教学重点】 应用函数知识解决一些简单的实际问题. 【教学难点】 从实际问题中抽象出函数模型. 【教学方法】 这节课主要采用讲练结合法.教师将四个例题与练习穿插在一起,教师引导与学生主动参与相结合, 培养学生的审题能力,以及从实际问题中抽象出数学模型并应用模型去解决实际问题的能力. 【教学过程】 环节 导 入 教学内容 我们前面学习了一次函数,二次函 数的图象与性质,下面学习几个函数应 用的例子. 例 1 一种商品,如果单价不变,购买 8 件商品需付 120 元,写出这种商品件 数 x 和总价值 y 之间的函数关系式. y=15 x, x?N 例 2 火车从北京站开出 12 km 后,以 80 km/h 匀速行使.试写出火车总路程 s 与作匀速运动的时间 t 之间的函数关 系式. s=12+80 t, t≥0 新 练习 1 教材 P 87,练习第 1、2 题. 课 例 3 某单位计划建筑一矩形围墙.现 有材料可筑墙的总长度为 l,如果要使 墙围出的面积最大,问矩形的长、宽各 等于多少? 解 设矩形长是 x, 1 则宽为 (l-2 x), 2 得矩形的面积为 师生互动 设计意图

开门见山, 直接进 入课题.

师: 提出问题, 引导观察思 考: 1. 购买一件商品须付多少 例 1、 例 2 是一次 元? 函数模型的应用,难 2. 路程、速度与时间之间 度较小,可让学生自 的函数关系是什么? 己解决. 生:同桌交流,合作完成. 培养学生的阅 读能力、文字语言转 关键: 找等量关系、 列函数 化 为 数 学 语 言 的 能 关系式、确定自变量的取值范 力. 围.

例 3 教师引导学生画图分 析题意: (1)设矩形长是 x, 则宽为多 少?

例 3 是二次函数最 值问题,以学生为主

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S=x

l-2 x l =-x2+ x 2 2

l l l =-[x2- x+( )2-( )2] 2 4 4 l l2 =-(x- )2+ . 4 16 l 所以该函数在 x= 时取最大值, 4 l2 l 且 Smax= ,这时宽也为 .即这个矩 16 4

(2)面积如何表达?它是个 题分析解题思路. 什么函数?如何求它的最大 值? 教师简单点拨,学生合作完 成.教师屏幕显示具体过程. 教师引导学生回忆二次函 数的配方过程. 并强调配方法的 几个关键步骤: (1) 提系数; (2) 所配常数为一次项系 数一半的平方.





函数最值问题是 函数应用中的重点同 l 形是边长等于 的正方形时,所围出 4 时也是难点,此题的 的面积最大. 设计目的是为了突破 例 3 结束后, 教师引导学生 学生这一思维障 练习 2 教材 P88,练习第 5 题. 总结解函数应用题的一般步骤: 碍.提高学生的建模 1. 设未知数(确定自变量 能力,同时进一步巩 例 4 一家旅社有客房 300 间,每间房 和函数); 固配方法在二次函数 租 20 元,每天都客满.旅社欲提高档 2. 找等量关系,列出函数 中的应用. 次,并提高租金.如果每间房租增加 2 关系式; 在板书例题的过 元,客房出租数会减少 10 间.不考虑 3. 化简,整理成标准形式 程中,突出解题思路 其他因素旅社将房间租金提高到多少 (一次函数,二次函数等); 与步骤. 时,每天客房的租金收入最高. 4. 利用函数知识,求解(通 解: 设提高 x 个 2 元, 则将有 10 x 常是最值问题); 间客房空出,则客房租金总收入为: 5. 写出结论. 对于例 4 的教学,让 y=(20+2 x)(300-10 x) 学生读懂题意是解决 2 =-20 x +600 x-200 x+6 000 问题的关键. 2 =-20(x -20 x+100-100)+6 000 对例 4, 老师须带领学生详 2 =-20(x-10) +8 000. 细分析题意, 解题时只点拨如何 每个例题之后, 由此可得当 x=10 时, ymax=8 000, 假设未知量, 启发学生讨论并尝 分别设计练习 1, 2, 3, 即每间租金为 20+10?2=40 元时,每 试解答. 让学生模仿例题解 天租金的总收入最高为 8 000 元. 答,强化数学建模思 想以及熟练掌握函数 练习 3 教材 P88,练习第 8 题. 应用题的解题步骤. 解函数应用题的一般步骤: 1. 设未知数(确定自变量和函数); 2. 找等量关系,列出函数关系式; 学生阅读课本畅谈本节课 3. 化简,整理成标准形式(一次函 的收获, 老师引导梳理, 总结本 数,二次函数等); 节课的知识点. 4. 利用函数知识,求解(通常是最 值问题); 5. 写出结论. 教材 P 88,习题第 3、4、7 题.

小 结

梳理总结也可针 对学生薄弱或易错处 进行强调和总结.

作 业

巩固拓展.

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第四章 指数函数与对数函数
4.1.1 有 理 指 数 (一 )

【教学目标】 1. 理解整数指数幂及其运算律,并会进行有关运算. 2. 培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力. 3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;培养学生合作交流等良好品质. 【教学重点】 零指数幂、负整指数幂的定义. 【教学难点】 零指数幂及负整指数幂的定义过程,整数指数幂的运算. 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法和分组教学法. 在引入指数幂时, 以在国际象棋棋盘上放米粒为导入素材, 既体现数学的应用价值,也能引起学生的学习兴趣.从正整指数的运算法则中的 am =am-n (m>n,a ≠ 0) an 这一法则出发,通过取消m>n的限制引入了零指数幂和负整指数幂的定义,从而把正整指数幂推广到整数 指数幂.在本节教学中,要以取消m>n这一条件为出发点,让学生积极大胆地猜想,以此增强学生的参与 意识,从而提高学生的学习兴趣. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 在一个国际象棋棋盘上放一些米 学生在教师的引导下观察 通过问题的引入 粒,第一格放 1 粒,第 2 格放 2 粒, 图片,明确教师提出的问题,通 激 发 学 生 学 习 的 兴 第 3 格放 4 粒??一直到第 64 格, 那 过观察课件,归纳、探究答案. 趣. 么第 64 格应放多少粒米? 第 1 格放的米粒数是 1; 第 2 格放的米粒数是 2; 在问题的分析过 第 3 格放的米粒数是 2× 2; 师:通过上面的解题过程, 程中, 培养学生归纳推 你能发现什么规律?那么第 64 理的能力. 2个2 格放多少米粒,怎么表示? 第 4 格放的米粒数是 2× 2× 2; 学生回答, 教师针对学生的 回答给予点评.并归纳出第 64 为引出 an 设下伏 3个2 格应放的米粒数为 263. 笔. 第 5 格放的米粒数是 2× 2× 2× 2; ?? 师: 请用计算器求 263 的值. 用计算器使问题 4个2 学生解答. 得到解决. 第 64 格放的米粒数是 2× 2× 2× ?× 2.
63 个 2

导 入

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新 课

一、正整指数幂 1.定义 一般地, an (n?N+) 叫做 a 的 n 次 幂,a 叫做幂的底数,n 叫做幂的指 数.并且规定: a1=a. 幂 a
n

教师板书课题.

学生理解概念.

学生在初中已学过 此概念,用投影的形 式展现,学生容易联 想起以前的内容. 明确各部分的名 称.通过强调 n 是正 整数,为零指数和负 整指数的引入作铺 垫.

教师强调 n 是正整数. 指数 (n?N+)

底数 当 n 是正整数时,an 叫正整指数幂. 练习 1 填空 (1) 23× 24= ;am?an= (2) (23)4= ;(am)n= (3) 24 = 23 am ; n= a
m

; ; (m>n,

学生回顾正整指数幂的运 算法则,并尝试解决练习 1、2. 通过练习,让学 练习 1,学生分小组抢答; 生回顾正整指数幂的 练习 2,学生通过约分解得 运算律. 23 =1. 23

a≠0); (4) (xy)3= 新 练习 2 计算 ;(ab) = 23 . 23 .

师:如果取消

m -n am =a an

(m>n,a ≠ 0) 中 m>n 的限制, 如何通过指数的运算来表示? 课 二、零指数幂 规定: a0=1 (a≠0) 2 =2 23
3 3-3

=20

教师板书: 零指数幂 a0=1 (a≠0). 师: 请同学们结合零指数幂 的定义完成练习 3. 学生解答. 教师强调练习 4 中, 等式成 立的条件,即 a ≠ b.

由特殊到一般, 由具体的例子入手, 引出零指数幂的定 义.

练习 3 填空 (1) 80= ; 0 (2) (-0.8) = ; 练习 4 式子 (a - b)0 = 1 是否恒成 立?为什么? 练习 5 计算 (1) 2 ; 24
3

突破思维困境, 引入零指数幂.

(2)

2 . 25

3

练习 5, 学生可通过约分解 答.
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第 2 题的目的是 要让学生记住 a0=1 (a≠0) 中的 a≠0 这一条件.

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师:实数 m 与 n 的大小关 系除了 m>n,m=n 还有 m< 三、负整指数幂 我们规定: 1 a-1= (a≠0) a 1 a-n= n (a≠0, n?N+) a 练习 6 填空 (1) 8–2= ;(2) (0.2)-3= . n.当 m<n 时,运算法则 a
m-n

am = an

一定成立吗?

学生尝试解决教师提出的 问题.

教师板书:负整指数幂 1 a-n= n (a≠0, n?N+), a 并强调 a 的取值. 练习 6 由学生解答, 练习 7 要求小组合作探究解决. 教师针对学生的解答进行 点评, 并强调练习 7 中的等式成 立的条件,即 a ≠ b. 师: 从数的分类可知, 在定 义了零指数幂和负整指数幂以 后, 我们就把正整指数幂推广到 了整数指数幂的范围.

类比零指数的引 入,负整指数的引入 就顺理成章了.

练习 7 式子(a-b)-4= 恒成立?为什么? 四、实数系 整数 分数

1 是否 (a-b)4

有理数 实数 无理数 新

正整数 零 负整数

练习 7 是为了让 学生注意,在负整指 数幂中底数 a 的取值 范围. 重新回顾实数的 分类,展示幂指数的 推广过程,帮助学生 理解“把正整指数幂 推广到了整数指数幂 的范围”这句话. 使学生对幂的运 算法则给予重新认 识.

五、整数指数幂的运算法则 课 am?an=a ; (am)n=amn ; (ab)m=a mb m.
m+ n

师:正整指数幂的运算法 则, 对整数指数幂的运算仍然成 立. 板书运算法则. 通过演示将 am 的运算归 an

结到 am?an 中去,即 练习 8 (1) (2x)–2= (2) 0.001–3= (3) ( (4) x3 –2 ) = r2 . ; ; ; am =am?a-n=am +(–n)=am–n. an 学生解答, 练习 8 要求小组 合作解决. 教师在讲解上述题目时, 应 再现每题运算过程中用到的运 算律. 突出本节知识, 突出运算法则.

x2 = b2c

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1.指数幂的推广 正整指数幂

零指数幂 负整指数幂

小 整数指数幂 结 2. 正整指数幂的运算法则对整数指数 幂仍然成立: (1) am?an=am+n; (2) (am)n=amn; (3) (ab)m=a m b m.

回顾本节主要内容, 加深理 简洁明了地概括 解零指数和负整指数幂的概念、 本节课的重要知识, 牢记运算律. 使学生易于理解记 忆.

作 业

必做题:P98,练习 A 第 1 题, 选做题:P103,习题第 1 题(9).

标记作业.

针对学生实际,对课 后书面作业实施分层 设置,安排必做习题 和选做习题两层.

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4.1.1
【教学目标】

有 理 指 数 (二 )

1. 了解根式的概念和性质; 理解分数指数幂的概念;掌握有理数指数幂的运算性质. 2. 会对根式、分数指数幂进行互化.培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力. 3. 培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题. 【教学重点】 分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质. 【教学难点】 对分数指数幂概念的理解. 【教学方法】 这节课主要采用问题解决教学法. 在引入分数指数幂时,先讲方根的概念,根据方根的定义,得到根式具有的性质.在利用根式的运算 性质对根式的化简过程中,引导学生注意发现并归纳其变形特点,进而由特殊情形归纳出一般规律.在对 根式的性质进行练习以后,为了解决运算的合理性,引入了分数指数幂的概念,从而将指数幂推广到了有 理数范围.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后,将有理指数幂推广到实数指数幂.考虑到职校学生的 实际情况,并没有给出严格的推证. 【教学过程】 环节 教学内容 1.整数指数幂的概念. an=a?a?a???a (n 个 a 连乘); a0=1 (a≠0); 导 入 1 -n a = n (a≠0,n?N+). a 2.运算性质: am?an=am+n; (am)n=amn; (ab)m=a m b m. 师生互动 设计意图

师:上节课我们把正整 以旧引新 指数幂推广到了整数指数 提出问题, 引入 幂,那么我们能不能把整数 本节课题. 指数幂推广到分数指数幂, 进而推广到有理指数幂和 实数指数幂呢?这节课我 们就来探讨这个问题. 复习上节 师:首先来复习一下上 所学内容. 节课所学的内容. 学生回答教师提出的 问题,教师及时给予评价. 教师板书课题. 引入方根 的概念为下一 步引入分数指 数做基础.

一、根式有关概念 定义: 一般地, 若 xn=a (n>1, n?N), 则 x 叫 做 a 的 n 次方根. 新 课

学生理解方根概念. 例如: (1) 由 32=9 知,3 是 9 的二次方根(平方根); 由(-3)2=9 知, -3 也是 9 的二次方根(平方根); (2) 由(-5)3=-125 知,-5 是-125 的三次方根 教师通过举例让学生 (立方根); 进一步理解方根的概念.

使学生加 深对方根概念 的理解,为总

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(3) 由 64=1 296 知,6 是 1 296 的 4 次方根. 有关结论: (1) 当 n 为奇数时: 正数的 n 次方根为正数, 负数 的 n 次方根为负数.记作: x= a. (2) 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个(互为 相反数).记作: x=± a. (3) 负数没有偶次方根. (4) 0 的任何次方根都为 0. 当 a有意义时, a叫做根式,n 叫根指数. 正数 a 的正 n 次方根叫做 a 的 n 次算术根. 例如: 2叫做 2 的 3 次算术根; -2不叫根 新 式,因为它是没有意义的. 二、根式的性质 (1) ( a) =a. 课 例如,( 27) =27,( -3) =-3. (2) 当 n 为奇数时, an=a;
?a(a≥0) n 当 n 为偶数时, an=|a| =? . ?-a(a<0)
n 3
3

结出结论作铺 垫. 由方根的 概念引入其数 学记法, 为引入 根式的概念作 准备.

n

学生在教师的引导下 进一步理解根式的概念.

n

引入根式、 根指数的概念. 学生重新构建根式、根 指数的概念, 教师强调当 a 有意义时, a叫做根式.
n n

n

n

3

4

n

n

5

5

例如: (-5)3=-5, 23 =2; 52=5, (-3)4=|-3|=3. 观察下面的运算: (a ) =a
2 3 3 1 3 3 1 3?3 4

3

3

=a =a2

① ②

学生理解根式的性质, 通过实例演示,将性质应用 到运算之中. 教 师 用语 言叙 述 根式 性质: (1) 实数 a 的 n 次方根的 n 次幂是它本身; (2) n 为奇数时,实数 a 的 n 次幂的 n 次方根是 a 本身; n 为偶数时,实数 a 的 n 次 幂的 n 次方根是 a 的绝对 值.

将数学语 言(符号)转化为 文字语言, 使学 生加深对性质 的理解.

(a ) =a

2 3?3

上面两式的运算,用到了法则 (am)n=amn, 但无法用整数指数幂来解释,但是①式的含义是 a 连乘 3 次得到 a, 所以 a 可以看作是 a 的 3 次方 根;②式的含义是 a 连乘 3 次得到 a ,所以 a 可 以看作是 a2 的 3 次方根. 因此我们规定
2 3
2

学生认真观察.

设置障碍, 使学生积极寻 找解决途径, 从 而调动学生思 维的积极性. 通过教师 引导, 学生找到 使运算合理的 途径.

1 3

1 3

在教师的引导下,学生 寻找解惑途径.

2 3

引入正分

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a = a,a = a2, 以使运算合理. 三、分数指数幂 一般地,我们规定: a= a
m n n 1 n n

1 3

3

2 3

3

数指数幂的概 念. 学生在教师的引导下, 由特殊到一般,积极构建分 数指数幂的概念. 类比负整 数指数幂的定 义, 引入负分数 指数幂的概念. 师:负整数指数幂是怎 么定义的?如何来定义负 分数指数幂呢? 学生在教师的引导下, 类比负整指数幂的定义,形 成负分数指数幂的概念. 师:至此,我们把整数 指数幂推广到了有理指数 幂.有理指数幂还可以推广 到实数指数幂.使学生形成 实数指数幂的概念. 将有理指 数幂推广到实 数指数幂, 并给 出实数指数幂 的运算法则.

(a>0);
n

a = am=( a)m (a>0,m,n?N+, 且 m 为既约分数). n a
- m n



1 a
m n

(a>0,m,n?N+,



m 为既约分数) . n





四、实数指数幂的运算法则 (1) aα?aβ=aα+β; (2) (aα) β=aα β; (3) (a b) α=a α b α. 以上 aα,aβ 中,a>0,b>0,且 α,β 为任意实数. 练习 1 8 ?8 =8
2 3 1 3 3 5 2 5 3+2 5

加深对有 理指数幂的理 解, 并使学生进 一步掌握指数 幂的运算法则.

=81=8;

学生做练习.

8 =(8 )2=22=4; 3 3? 3 ? 3 =3?3 ?3 ?3 9; (a b ) =(a ) ?(b ) =a b . 例 1 利用函数型计算器计算(精确到 0.001): (1) 0.2
1.52

3

6

1 2

1 3

1 6

1 + 1+ 1+ 1

=3

2 3 6

= 32 =

使学生掌 握函数型计算 器的使用.

2 1 3 4 3

2 3 3

1 4 3

3
2 4

; (2) 3.14 ; (3) 3.1 .

-2

2 3

例 2 利用函数型计算器计算函数值. 已知 f (x)=2.71x, 求 f (-3), f (-2), f(-1), f (1),f (2),f (3) (精确到 0.001). 请同学们结合教材在小组内合作完成.

教师讲解例 1 第(1)题 的操作方法. 学生结合教材,完成例 1 第(2)、(3)题,学习用计算 工具来求指数幂 ab 的值. 使学生进 一步巩固函数 计算器的使用

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练习 2 教材 P 98, 练习 A 组 第 3 题, 练习 B 组第 3 题. 1. 根式 分数指数幂 零指数幂 正整指数幂 负整指数幂 小 整数指数幂 结 分数指数幂 实数指数幂 3.利用函数型计算器求 ab 的值. 有理指数幂 学生在教师的引导下 回顾本节课的主要内容,加 深理解根式和分数指数幂 的概念;理顺实数指数幂的 推广过程;回顾计算器的使 用方法.

方法. 简洁明了 地概括本节课 的重要知识, 便 于学生理解记 忆.

2.

理顺本节 指数幂的推广 思路, 使学生思 维清晰.

作 业

必做题:教材 P 98,练习 B 组第 1 题; 选做题:教材 P 98,练习 B 组第 2 题.

针对学生 实际, 对课后书 面作业实施分 层设置, 安排基 本练习题和选 做题两层.

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4.1.2
【教学目标】

幂函数举例

1. 了解幂函数的概念,会求幂函数的定义域,会画简单幂函数的图象. 2. 培养学生用数形结合的方法解决问题.注重培养学生的作图、读图的能力. 3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;培养合作交流等良好品质. 【教学重点】 幂函数的定义. 【教学难点】 会求幂函数的定义域,会画简单幂函数的图象. 【教学方法】 这节课主要采用启发式和讲练结合的教学方法. 1 从函数 y=x,y=x2,y= 等导入,通过观察这类函数的解析式,归纳其共性,引入幂函数的概念.在 x 例 1 求函数的定义域中,对于分数指数及负整指数的幂函数要转化为分式或根式的形式,讲解时,注意引 导,让学生在解答问题的过程中自己归纳总结规律.函数图象是研究函数性质的有利工具,教师在讲授例 2 时,可以采用分组的方式,让学生一起合作完成函数的图象,并从本例中找出幂函数的某些性质. 【教学过程】 环节 教学内容 1.指数幂 an=a?a?a???a (n 个 a 连乘) a0=1; a-n=
1 n

师生互动 学生在教师的引 导下,回顾指数幂的 有关定义及运算法 则.

设计意图 复习上 节内容,为本 节学习做准 备.

1 (a≠0, n?N+); an

导 入

a = a (a>0); m n a = am (a>0,m,n∈N+,且 为既约分数); n a
- m n m n

n



1 a
m n

m (a>0,m,n∈N+,且 为既约分数). n

2.观察函数 y=x2,y=x3,y=x 及 y=x .
-1

师:以上函数表 达式的共同特征是什 么?你还能举出类似 的函数吗? 学生观察函数的 表达式,回答教师提 出的问题. 学生在教师的引 导下归纳幂函数的概 念.

通过实 例引入本节 课题,确定本 节的学习目 标.

一、幂函数的概念 一般地,形如 新 课 y=x? 的函数我们称为幂函数.
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由学生 自己归纳幂 函数的概念, 有利于他们

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把握和理解 新概念. 练习 1 判断下列函数是不是幂函数 (2) y=2 x ; (4) y=x2+3.
3 5

(1) y=2 x; (3) y=x ;
7 8

学生回答练习 1, 进一步理解幂函数的 使学生 概念. 针对学生的回 加强对幂函 答,教师结合定义点 数概念的理 评. 解.

例 1 写出下列函数的定义域: (1) y=x ; (3) y=x ;
1 2
-2

3

(2) y=x ; (4) y=x
3

1 2

3 - 2



解:(1) 函数 y=x 的定义域为 R; (2) 函数 y=x ,即 y= x ,定义域为[0,+∞); 新

在教师的引导下 利用指数幂的有关定 义,师生共同完成例 题. 学生寻找规律, 形成解题规律.

通 过 例 题演示,使学 生进一步掌 握求幂函数 定义域的方 法.



师:由上例我们 1 -2 (3) 函数 y=x ,即 y= 2 ,定义域为(-∞,0)∪(0, x 可以看出,当幂函数 +∞); 的指数?为负整数 时,一般是先将函数 3 - 1 2 (4) 函数 y=x ,即 y= ,其定义域为(0,+∞). 表达式转化为分式形 x3 式;当幂函数的指数 ? 为分数时,一般是 练习 2 求下列函数的定义域: 先将函数表达式转化 4 1 为根式,然后再来求 - - 3 2 -3 (1) y=x ; (2) y=x ; (3) y=x . 函数的定义域. 教师根据学生的 二、幂函数的性质 解答进行点评,并给 例 2 作出下列函数的图象: 予相应评价. 1 师:函数图象可 2 (1) y=x; (2) y=x ; 以直观反映函数性 -1 2 质,是研究函数性质 (3) y=x ; (4) y=x . 的有利工具,请同学 们回顾一下,作函数 (1)列表: 图象分为哪三步? 学生回答.
X y=x
1 2

总结规 律.

使学生 应用刚学过 的新知识.

… … … … …

-3 -3 / 9 - 1 3

-2 -2 / 4 - 1 2

-1 -1 / 1 -1

0 0 / 0 /

1 1 1 1 1

2 2 1.41 4 1 2 3 1.73 9 1 3

… … … … …

学生分组完成列 表. 回顾作 图过程,进一 步明确函数 图象是研究 函数性质的

y=x

y=x2 y=x-1

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(2)描点; (3)连线. 幂函数的性质 幂函数随幂指数 α 的取值不同,它们的性质和图 象也不尽相同,但也有一些共性,例如,所有的幂函 数都通过点(1,1),都经过第一象限等.
3 4

有利工具. 师生共同完成描 点和连线,有条件的 学校可利用计算机进 行作图. 教师结合函数图 象说明幂函数的性 质. 在画图 过程中,学会 与人合作. 使 学 生 对幂函数的 性质有简单 的了解. 复习作 图过程,并强 化学生读图 能力培养. 简洁明了概 括本节课的 重要知识,学 生易于理解 记忆. 基于学 生实际,对课 后书面作业 实施分层设 置的同时设 置了计算机 上的练习,让 学生自己在 操作过程中 寻找学习的 乐趣.





练习 3 调性.

画出函数 y=x 的图象,并指出其奇偶性、单

学生在教师的引 导下完成练习. 1.幂函数的定义 2.求幂函数的定义域 3.通过幂函数的图象分析幂函数的性质 师生共同回顾幂 函数的概念,定义域 的求法以及幂函数的 图象和性质.

小 结

1.教材 P 100,练习 A 第 1 题. 2.计算机上的练习 在同一坐标系中画出函数 y=x3 与 y= x 的图象, 作业 并指数这两个函数各有什么性质以及它们的图象关系 (操作步骤参照教材 172 页).
3

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4.1.3
【教学目标】

指数函数

1. 掌握指数函数的定义、图象、性质及其简单的应用. 2. 培养学生用数形结合的方法解决问题的能力. 3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;培养独立思考等良好的个性品质. 【教学重点】 指数函数的图象与性质. 【教学难点】 指数函数的图象性质与底数 a 的关系. 【教学方法】 这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法. 本节课由生活中的真实例子导入新课, 引入指数函数的定义, 并通过一组练习深化指数函数的定义. 先 通过列表——描点——连线得到指数函数的图象,然后在教师的启发下,充分利用函数的图象来研究函数 的性质.为了加强学生对函数性质的应用,增加了一道求函数定义域的例题,然后安排一定数量的练习, 体现练为主线,讲练结合的教学方法. 【教学过程】 环节 教学内容 一种放射性物质不断变化为其他物质,每经 过 1 年剩留的质量约是原来的 84%.试写出这种 物质的剩留量随时间变化的函数解析式. 师生互动 教师分析解题的 过程,得到 y=0.84x. 设计意图 通过实例引 入,让学生得到 指数函数的一些 特征,从而有了 感性认识,对理 解和掌握指数函 数的定义、性质 会起到很好的帮 助作用. 由实例的引 入,进而归纳出 这种自变量在指 数位置上的函数 ——指数函数.

导 入

一、指数函数的定义 一般地,函数 y=ax (a>0 且 a?1,x?R) 叫做指数函数.其中 x 是自变量,定义域为 R. 新 课 探究 2 为什么要规定 a>0,且 a≠1 呢? (1) 若 a=0, 则当 x>0 时,ax =0;
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教师板书课题.

探究 1 y=2?3x 是指数函数吗?

通过探究问题, 教 师强调指数函数的解 析式 y=ax 中,ax 的系 数是 1. 学生分组合作探 究教师提出的问题. 教 师在学生分组探究的 对于 a>0, 且 a≠1 这一点, 学生容易忽略,

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当 x≤0 时,ax 无意义. (2) 若 a<0, 则对于 x 的某些数值,可使 ax 无意义. 1 1 如 (-2)x,这时对于 x= ,x= ,?等等, 4 2 在实数范围内函数值不存在. (3) 若 a=1, 则对于任何 x?R,ax=1,是一个常量,没有 研究的必要性. 为了避免上述各种情况,所以规定 a > 0 且 a?1. 在规定以后,对于任何 x?R,ax 都有意义, 且 ax > 0. 因此指数函数的定义域是 R,值域是 (0,+∞). 练习 1 指出下列函数哪些是指数函数: (1) y=4?3x; (2) y=?x; (3) y=0.3x; (4) y=x3. 新 二、指数函数的图象和性质 1 在同一坐标系中分别作出函数 y=2x 和 y=( )x 2 课 的图象. (1)列表:略. (2)描点:略. (3)连线:略.
y

过程中要注意巡视指 导.

通过讨论研究, 可以加深学生的 印象,从而把新 旧知识衔接得更 好.同时又可以 强化学生对指数 函数的定义的理 解记忆.

师: 函数的图象是 研究函数性质的有力 工具, 那么指数函数的 图象是怎样的?如何 作指数函数的图象 呢? 教师引导学生一 起把描出的点用光滑 的曲线连接起来, 得到 x 指数函数 y = 2 的图 象. 重复描点、 连线的 步骤, 在同一坐标系中 1 完成指数函数 y = ( )x 2 的图象. 让学生完成 画图过程,从画 图过程中加深对 指数函数的感性 认识.

1 y=( )x 2

9 8 7 6 5 4 3 2 1

y=2x

有条件的学 校可以让学生通 过计算机画图软 件上机操作.

O -3 -2 -1

1

2

3

x

练习 2

1 作函数 y=3x 与 y=( )x 的图象. 3

请同学分组完成 练习 2, 教师巡查指导. 学生完成题目后, 利用实物投影将学生 的解答投影到屏幕. 师:指数函数:

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1 y = 2x ,y = ( )x , y= 3x 2 探究 3 1 1 观察 y=2x,y=( )x,y=3x 与 y=( )x 的图象, 2 3 么共同的特征?又有 哪些不同? 找出图象特征. (1) 图象向左右无限延伸; (2) 图象在 x 轴上方,向上无限延伸,向下无限接 近于 x 轴; 师: 你能用学过的 数学语言来表示这些 函数的性质吗? (3) 图象都经过点(0,1); 教师引导学生用 (4) a=2 或 a=3 时,从左向右看图象逐渐上升; 数学语言来表示这些 1 1 a= 或 a= 时,从左向右看图象逐渐下降. 函数的性质. 2 3 探究 4 (1)“图象向左右无限延伸”揭示了“函数的定义 域为 R” ; 新 (2)“图象在 x 轴上方,向上无限延伸,向下无限 接近于 x 轴” 揭示了 “函数的值域为(0, +∞); (3)“图象都经过点(0,1)”揭示了“当 x=0 时, 课 ax=1”; (4) “a=2 或 a=3 时, 从左向右看图象逐渐上升; 1 1 a= 或 a= 时,从左向右看图象逐渐下降”揭 2 3 示了“当 a>1 时,指数函数是增函数;当 0<a <1 时,指数函数是减函数”.
表 4-1 指数函数的图象与性质
a>1 0<a<1

1 与 y=( )x 的图象有什 3

为了学习指 数函数的性质, 先引导学生观察 四个函数的图象 特征,从而顺理 成章地总结出指 数函数的性质, 这符合人认识问 题的一般规律: 由特殊到一般, 学生很容易接 受. 锻炼学生的 口头表达能力以 及文字语言与数 学语言的转化能 力.

学生分组, 采用小 组合作形式完成.

师生共同完成该 表.

y
图 象

y

y=1

(0,1)

(0,1) y=1

O
定义 域 值域

x
R

O

x

(0,+?) (0,1) 增函数 减函数 X≥0 时,0<y≤1; x<0 时,y>1

定点

单调

x≥0 时,y≥1;


x<0 时,0<y<1

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练习 3 全体学生一起回 x (1) 指数函数 y=a ,当 时,函数是增 答. 函数;当 时,函数是减函数. (2)若函数 f(x)=(a+1)x 是减函数, 则 a 的取值范围 是 . 教师强调: 对于比 例 1 用指数函数的性质, 比较下列各题中两个值 较大小的问题, 若是底 的大小: 数相同, 通过构造一个 -0.1 -0.2 2.5 3 指数函数, 用指数函数 (1) 1.7 和 1.7 ; (2) 0.8 和 0.8 . x 解 (1) 考察函数 y=1.7 , 单调性来解决. 它在实数集上是增函数. 因为 2.5<3,所以 1.72.5<1.73. 学生画图验证. 请同学们用函数的图象来验证一下答案是否 正确? 学生用计算器验 x (2) 考察函数 y=0.8 , 证. 它在实数集上是减函数. 因为 -0.1>-0.2, 所以 0.8 <0.8 . 请同学们用计算器验证一下答案是否正确? 练习 4 比较下列各题中两个值的大小: (1) 0.70.8 0.70.7; (2) 1.1 1.1 ; n m (3) 如果 2 <2 ,则 n
x
-2.1 -2 -0.1 -0.2

设置本练习 其目的为了进一 步强化学生对指 数函数性质的掌 握. 通过构造指 数函数来比较两 值的大小,并让 学生采用不同的 途径来进行检 验.

学生练习并解答.

m. 学生体会求定义 域的方法. 增加本例为 学生顺利解答课 后相关练习及习 题做基础. 加深训练.

例 2 求函数 y= 3 -3 的定义域. 解:要使函数有意义,则有 3x-3≥0, 所以 3x≥3, 所以 x≥1. 所以函数的定义域为 [1,+∞). 练习 5 求函数 y= 2 -4 的定义域. 1.指数函数的定义; 2.指数函数的图象与性质; 3.应用: (1) 比较大小; (2) 求函数的定义域. 1. 必做题:教材 P102,练习 A 组 第 2 题; 选做题:教材 P102,练习 B 组 第 2 题. 作 业 2.计算机上的练习 1 在同一坐标系中画出函数 y=10x 与 y=( )x 的图 10 象,并指出这两个函数各有什么性质以及它们的 图象关系(操作步骤参照教材 167 页).
x

小 结

师生共同回顾本 节主要内容, 加深理解 指数函数的概念、 图象 与性质.

简洁明了概 括本节课的重要 知识,学生易于 理解记忆.

标记作业.

针对学生实 际,对课后书面 作业实施分层设 置,安排基本练 习题和计算机上 的练习两层.

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4.2.1
【教学目标】 1. 理解对数的概念,掌握对数式与指数式的互化.

对数

2. 培养学生的类比、分析、转化能力,提高理解和运用数学符号的能力. 3. 通过对数概念的建立,明确事物的辩证发展和矛盾转化的观点,培养学生科学严谨的治学态度. 【教学重点】 对数的概念,对数式与指数式的相互转化. 【教学难点】 对数概念及性质的理解掌握. 【教学方法】 这节课主要采用启发式和分组合作教学法.在教学过程中遵循学生是教学的主体的精神,要给学生提 供各种可能的参与机会,调动学生学习的积极性,使学生化被动为主动.利用多媒体辅助教学,引导学生 从实例出发,认识对数的模型,体会引入对数的必要性.在教学重难点上,步步设问、启发学生积极思维, 通过课堂练习、学生讨论的方式来加深理解重点,更好地突破难点和提高教学效率.让学生在教师的引导 下,充分地动手、动口、动脑,掌握学习的主动权. 【教学过程】 环节 教学内容 1.庄子曰:一尺之棰,日取其半,万 导 入 世不竭. (1)取 5 次,还有多长? (2)取多少次,还有 0.125 尺? 2.细胞分裂问题,经过几次分裂后细 胞的个数为 4 096 个? 2x=4 096. 一、对数的概念 一般地,如果 a (a>0 且 a≠1)的 b 次幂等于 N,即 ab=N,那么幂指数 b 新 课 “以 a 为底 N 的对数 b”记作 b=logaN (a>0 且 a≠1), 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 注意: 教师强调规范的书 写格式,底数的限制,并 引导学生讨论真数 N 的取 值. 准确理解对数定义 中底数的限制,为以后 对数函数定义域的确定 作准备.同时注意对数 的书写,避免因书写不 叫做以 a 为底 N 的对数. 师生互动 学生通过课件的演 示,在教师的带领下明确 问题内涵. 师:这两个问题都是 已知底数和幂的值求指 数的问题. 设计意图 通过生活实例引 入, 体现数学的应用性, 引发学生的好奇心. 展示分析问题的过 程,化解问题的难度, 使学生通过寻找规律, 归纳问题的答案.

教师给出对数的定 义,并举例说明: 因为 42=16,所以 2 是以 4 为底 16 的对数; 因为 43=64,所以 3 是以 4 为底 64 的对数.

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(1) 底数的限制:a>0 且 a≠1; (2) 对数的书写格式; (3) 对数的真数大于零. 二、对数式与指数式的关系 由对数的定义可知,a =N 与 b= logaN 两个等式所表示的是 a,b,N 三 个量之间的同一关系的两种不同表示 形式.例如:32=9 ?2=log39. 对数式与指数式的互化: ab=N ? b=log a N 练习 1 (1) 将下列指数式写成对数式: 22=4; 62=36; 7.60=1; 34=81. (2) 将下列对数式写成指数式: log39=2; log416=2; log5125=3; log749=2. 练习 2 将下列指数式写成对数式 ( 其 中 a>0 且 a≠1): 21=2; 60=1; 三、对数的性质 (1) loga a=1,即底数的对数等于 1; (2) loga1=0,即 1 的对数等于零; (3) 0 和负数没有对数. 1 例 1 求 log22,log21,log216,log2 . 2 解 (1) 因为 21=2, 所以 log22=1; (2) 因为 20=1,所以 log21=0; (3) 因为 24=16,所以 log216=4; 1 1 (4) 因为 2-1= ,所以 log2 =-1. 2 2 四、常用对数 以 10 为底的对数叫做常用对数. 为 了简便,log10N 简记作 lgN. 例 2 求 lg 10,lg 100,lg 0.01. 解 (1) 因为 101=10, 所以 lg10=1; (2) 因为 102=100,所以 lg100=2; 学生解答. 对提出的问题要求 小组合作解决. 师:强调 lgN 的底数是 10,而不是没有底数. a1=a; a0=1. 师:通过练习二,你 能得到什么结论? 学生分组讨论得出 结论. 学生分组合作并抢 答. 本练习由学生独立 思考完成,从而使学生熟 悉对数式与指数式的相 互转化,加深对对数的概 念的理解.并要求每位学 生会对数式与指数式互 化.
b

规范而产生的错误.

教师启发引导学生 归纳指数式与对数式的 转换关系.

让学生了解对数式 与指数式的关系,明确 对数式与指数式形式的 区别;a,b 和 N 位置的 不同, 及它们的含义. 互 化体现了等价转化的数 学思想.



让学生在解决问题的同 时归纳总结其中的规 律,为学习对数的性质 做准备.



由学生从特殊到一 般, 归纳出对数的性质.

掌握常用对数的特 殊表示.

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新 课

(3) 因为 10-2=0.01, 所以 lg0.01=-2. 例 3 利用计算器求对数(精确到 0.000 1). lg2 001; lg0.618; lg0.004; lg396.5. 练习 3 求下列各式的值 (1) lg1+lg10+lg100; (2) lg0.1+lg0.01+lg0.001. 一、对数

学生抢答.

学习应用计算器求 对数,让学生体会常用 对数的方便性.

学生独立完成.

知识强化训练.

小 结

二、指数式与对数式的关系式 ab=N ? b=logaN 三、常用对数 以 10 为底的对数叫做常用对数, 简 记作 lg N. 必做题:教材 P108,练习 B 组第 1 题; 选做题:教材 P108,练习 B 组第 3 题.

师生共同回顾本节主要 内容,加深理解对数的概 念、牢记指对关系式.

用最简洁的语言归纳本 节课的要点,使学生更 加明确本节课的要点.

作 业

结合学生实际,书 面作业实施分层设置, 安排基本练习题和选做 题.

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4.2.2
【教学目标】

积、商、幂的对数

1. 掌握积、商、幂的对数运算法则,并会进行有关运算. 2. 培养学生的观察,分析,归纳等逻辑思维能力. 3.培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;培养合作交流等良好品质. 【教学重点】 积、商、幂的对数运算法则的应用. 【教学难点】 积、商、幂的对数运算法则的推导. 【教学方法】 本节教学采用引导发现式教学方法,并充分利用多媒体辅助教学,体现―教师为主导、学生为主体‖的 教学原则.通过教师在教学过程中的点拨启发,使学生主动思考.通过分组合作的教学方式,使学生在合 作中快乐学习,培养学生的团结协作能力和集体主义情操.通过设置三组―低台阶,小坡度‖的练习,满足各 层次学生的学习需求,从而培养学生的计算能力和学习数学的兴趣. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 1.指数式与对数式的关系: 师: 以前, 我们学习过数的 通过学生抢 b 若指数式 a =N,则 logaN=b. 加、减、乘、除、乘方、开方, 答,使全体学生回 2.指数幂的运算法则 数的加减乘除乘方开方都有自 顾有关旧知识,为 m n m+n (1) a ?a =a ; 己的运算规律和运算法则,那 对数性质的推导铺 m n mn (2) (a ) =a ; 么, 我们刚学习的对数运算有什 平道路. m m m (3) (ab) =a b . 么样的运算法则呢? 在探究积、商、 学生在教师的引导下, 明确 幂的对数过程中, 教师提出的问题后,学生抢答. 主要运用指数式与 对数式的相互转 换,因此在复习中 要强化这一知识 点. 探究 1 已知 logaM,logaN (M,N> 教师提出探究问题, 学生通 0),求 logaMN. 过小组讨论, 归纳, 探究问题的 解 设 logaM=p,logaN=q, 答案. 根据对数的定义,可得 M=ap,N=aq, 在学生探究后, 教师给出问 p q p+q 因为 MN=a a =a , 题的解答过程. 所以 loga(MN) =p+q=logaM+logaN. 探究 2 已知 N1, N2 ? Nk 都是大于 0 的数,loga(N1N2 ? Nk)等于什么? 结论: 学生解答, 分组合作. 教师

导 入

新 课

小组讨论的过 程,是一个团结协 作的过程,培养学 生的团队精神和团 结合作能力.

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loga(N1N2?Nk) =logaN1+logaN2+?+logaNk. 探究 3 已知 logaM,logaN (M,N>0). 求 loga M . N

巡视并给予指导.

解 设 logaM=p,logaN=q. 根据对数的定义,可得 M=ap,N=aq. 因为 M ap p q = =a - , N aq M N

学生通过讨论后, 教师给出 解答过程.

所以 loga

=p-q=logaM-logaN. 探究 4 新 已知 logaM (M>0),求 loga Mb. 解 设 logaM=p, 由对数的定义,可得 M=ap. 因为 Mb=(ap)b=abp, 所以 loga Mb=b p=b loga M. 即 loga Mb=b loga M. 结论: (1) logaM N=logaM+logaN. (M>0,N>0) 引申:loga(N1N2?Nk) =logaN1+logaN2+?+logaNk. (N1>0,N2>0,?Nk>0) 正因数积的对数等于各因数对数 的和. M (2) loga =logaM-logaN. N (M>0,N>0) 两个正数商的对数等于被除数的 对数减去除数的对数. (3) loga Mb=b logaM.(M>0,N>0) 正数幂的对数等于幂的指数乘以 幂的底数的对数. 例 1 用 logax,logay,logaz 表示下 列各式: (1) log a xy ; z
3 5



教师引导学生对探究问题 做总结, 并写出结论, 学生在总 结的过程中理解、记忆公式.

板书结论,有 利于学生比较记 忆. 明确各部分的 名称,通过强调各 部分的名称使学生 正确理解公式.

学生解答, 教师对学生的解 答给予评价.

(2) log a (x y );

通过练习,让 学生理解对数的运 算法则.并会熟练 应用.

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(3) log a (4) log a

x ; yz x2 y
3

. xy =loga(x y)-loga z z

z



(1) loga
3 5

=loga x+loga y-loga z; 3 5 (2) loga(x y )=loga x +loga y =3 loga x+5 loga y; (3) loga x =loga yz
1 2

x -loga(y z)

=loga x -(loga y+loga z) = (4) log a 新 x2 3
2

1 loga x-loga y-loga z; 2
- y 2 =loga(x y2 z 3 )

1

1

z
1 1


=loga x +loga y +loga z

2

3

1 1 =2 loga x+ loga y- loga z. 2 3 课 练习 1 请用 lg x,lg y,lg z, lg(x+y),lg(x-y) 表示下列各式: (1) lg(x y z); (2) lg (x+y) z; (3) lg (x2-y2) ; (4) lg 例 2 计算: 5 lg 100; 解 = lg 100 1 2 lg 100= ; 5 5
5

xy . z

2

教师用投影仪显示练习, 对 照对数的运算法则, 要求学生分 组合作,并抢答.

培养学生的竞 争意识,勇于显示 自己.

log2(47?25).

log2(47?25) =log247+log2 25 =7 log2 4+5 log2 2 =14+5 =19. 练习 2 计算 (1) log3(27?92); (2) lg 1002; (3) log2 6-log2 3; (4) lg 5+lg 2.

学生解答,对问题 3、4 要 求小组合作解决. 教师点评突出本节知识点, 突出运算法则.
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1.loga M N=loga M+loga N 小 结 2.loga M =loga M-loga N N

师生共同回顾本节主要内 容,加深理解、牢记运算律.

3.loga M b=b loga M 必做题: 教材 P110,练习 B 组第 1、2 题; 选做题: 教材 P110,练习 B 组第 3 题.

简洁明了概括 本节课的重要知 识,学生易于理解 记忆. 针对学生实 际,对课后书面作 业实施分层设置.

作 业

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4.2.3

换底公式与自然对数

【教学目标】 1. 掌握换底公式,了解自然对数,能利用换底公式求对数值. 2. 培养学生的逻辑思维能力和应用能力. 3.培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;培养合作交流等良好品质. 【教学重点】 换底公式. 【教学难点】 利用换底公式求值、化简及证明. 【教学方法】 本节采用启发引导式教学,并利用多媒体以体现“教师为主导,学生为主体”的教学原则. 通过一个特殊例子导出课题.针对本节课的特点,教师应多引导,多启发,与学生之间进行适当交流 和讨论,在应用换底公式时可设定不同层次的题目,让各层次同学都能掌握公式,从而培养学生学习数学 的兴趣和运用公式的能力. 【教学过程】 环节 教学内容 在生物科学中, 常常要研究 某种细胞的分裂问题: 某种细胞第 1 次分裂, 1个 分裂为 2 个,第二次分裂,2 个 分裂为 4 个??, 问经过多少次 分裂, 1 个这样的细胞分裂的总 数为 4 096 个? 将对数式转化为指数式: 4 096=2x. 两边取常用对数得 即 lg 4 096=lg 2x. lg 4 096=x lg 2 x= lg 4096 lg 2 师生互动 教师通过课件展示回顾 4.2.1 节 的引入实例,并提出问题. 师:该问题也就是如果知道最终 分裂得到的细胞 y = 4 096 个,我们 能否求出分裂的次数 x? 生:log2 y=x. 师: 像 log2 4 096 这样的对数值, 是不能直接从常用对数表中查出也不 能用计算器求出的.怎么办? 学生探究问题的解决方式. 师:我们可以利用计算器求常用 对数的值,那么能否将所求以 2 为底 的对数换成以 10 为底的常用对数? 师:如何换底? 设计意图 通过对数的应用 例子,提出新的问题 激发学生好奇心,提 高学生学习兴趣.

导 入

提出和本节课密 切相关的问题,让学 生思考,充分发挥学 习小组的作用,展开 热烈的讨论.

=12

特殊例子的推导 学生分组讨论, 思考求 x 的思路, 找出解决问题的方法. 为学习后面的换底公 教师在学生探究的基础上给出问 式打好基础. 题的解答过程. 教师板书课题. 换底公式的证明 不做教学要求,教师 可针对学生的情况取 舍. 使学生对换底公 式的底数有清醒的认 识即大于零且不等于

一、对数的换底公式 一般地,有下面的公式 新 注意 课 logaN logbN= . logab

教师强调使用换底公式要注意的 两个问题,使学生对两项注意有深刻 b>0 且 b≠1,a>0,且 a≠1. 认识. (1) 成立前提:

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(2) 公式应用:对数换底公式的 作用在于“换底” ,这是对数恒 等变形中常用的工具. 通常换成 以 10 为底. 二、自然对数 在科学技术中常常使用以 无理数 e=2.718 28?为底的对 数, 以 e 为底的对数叫做自然对 数,记作:ln N. 探究 1.利用换底公式如何得到自然 对数和常用对数的关系? 新 2.利用计算器直接计算: ln 34≈3.526 4. 课 师:换底公式的第一次应用,换 成以 10 为底. lg N lg N ln N= ≈ . lg e 0.4343 教师指导学生使用计算器求解. 教师直接给出自然对数定义,注 意 e 是一个常数,是一个无理数.

1.

使学生了解自然 对数与常用对数的关 系,揭示数学知识的 普遍联系.

练习 1、2 学生独立完成, 教师巡 练习 1 将下列对数换成以 10 视指导. 为底的常用对数. log2 6; ln 10. 练习 2 求下列各式的值 eln x; ln e2. 练习 3、4、5 有一定难度,需要 练习 3 求值: 小组合作完成,教师巡视指导. log8 9?log27 32; log5 4?log8 5. 练习 4 化简:log5 3?log27 125. 练习 5 求证: logx y?logy z=logx z.

将例题直接转化 为练习,同时增加同 类练习,由学生自己 寻找解题方法,让学 生感觉自己是最棒 的.

小 结

1.换底公式: loga N logb N= loga b 2.自然对数:ln N 必做题: 教材 P112, 练习 A 组第 2 题, 练习 B 组第 3 题. 选做题: 教材 P112,练习 B 组第 1、2 题.

教师总结本节内容之一:换底公 点明本节课的重 式,要理解推导过程,掌握公式内容, 点知识,便于学生记 会用公式进行比较简单的计算和化 忆. 简. 面对学生实际, 对课后书面作业实施 分层设置.

作 业

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4.2.4
【教学目标】

对数函数

1. 掌握对数函数的概念,图象和性质,并会简单的应用. 2. 培养学生用数形结合的方法去解决问题.注重培养学生的观察,分析,归纳等逻辑思维能力. 3. 培养学生发现、探索、创新的精神;培养合作交流、独立思考等良好的个性品质. 【教学重点】 对数函数的图象、性质及其运用. 【教学难点】 对数函数图象和性质的发现过程,培养数形结合的思想. 【课 时】

2 课时. 【教学方法】 这节课主要采用启发式和引导发现式的教学方法,结合对数函数的特点,让学生动手做,动脑想,大 胆猜,以学生的研究为主体采用,引导发现式的教学方法并充分利用多媒体辅助教学.这样既增强学生的 参与意识又教给他们思考问题的方法,获取知识的途径,使学生学有所思,思有所得,练有所获,从而提 高学习兴趣.通过教师在教学过程中的点拨,启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来 达到对知识的发现和接受. 【教学过程】 环节 教学内容 在指数函数的引入问题中,已经得 出某种放射性物质的质量的初始值为 1, 它的剩留量与经过的年数的函数关系为 y=0.84x (x≥0), ① 其中 x 为自变量,表示经过的年数,y 为 对应的剩留量. 根据①式画出函数图象,求约经过 多少年,剩留量是原来的一半(结果保留 一位有效数字). 解:经过的年数 师生互动 设计意图 提出与对 数定义不同 的 问题引发学 生 的学习好奇 心. 使学生初 步感受对数 函 数是刻画现 实 世界的又一 重 要数学模型. 师: 根据①式, 给定一个 x 值(经 过的年数),就能计算出唯一的函数 值 y. 实际上, 在这个问题中知道的 是 y 的值, 要求的是对应的 x 值. 所 以用对数形式表示, 即 x=log0.84 y. ② 学生解题. 师: 在②式中, 对应任一个 “剩 留量 y” 都可以求出唯一的 “经过的 年数 x” .所以“经过的年数 x”是 “剩留量 y”的函数. -0.30 lg 0.5 x=log0.840.5= ≈ ≈4.0. lg 0.84 -0.08 通常我们用 x 表示自变量, 用y 即经过 4 年,剩留量是原来的一半. 表示因变量, 于是上述的函数关系, 可表示为 y=log0.84 x. 一、对数概念 一般地,把函数 y=loga x (a>0 且 a≠1) 叫对数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定 义域为(0,+∞). 板书课题. 教师引导学生联系上面“情景 问题”的表达式,请同学们思考讨 论对数函数的概念. 师:(1) 为什么规定 a>0 且 a

导 入

新 课

让学生牢 记底数大于零 且不等于 1, 真 数大于零.

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≠1? 二、对数函数的图象和性质 探索与研究: 画出函数 y=log2 x 与 y=log1 x 的图象.
2

(1) 列表(略)

(2) 为什么对数函数的定义域 是(0,+∞)? 学生讨论回答所提出的两个问 题. 将学生分为两组,各作一个函 数图象. 师:画函数图象的三个步骤是 什么? 生:列表、描点、连线. 师:列表时,我们能否利用指 数函数的解析式 1 y=2x 与 y=( )x 2 来求对应点的函数值? 学生思考教师提出的问题,并 完成列表.

通过此问 让学生进一 步 体会指数函 数 与对数函数 的 联系.

(2) 描点(略)

新 师:描点之前我们要建立直角 (3) 连线(略) 坐标系,观察你所列表格,如何建 立直角坐标系? 学生尝试回答,教师点评后,让学 对数函数的图象特征: 生建立直角坐标系并完成描点.教 (1) 图象在 y 轴的右侧; 师巡视指导. (2) 图象向上无限延伸,向下无限延伸; 师:描点后请同学们用平滑的 (3) 图象都经过点(1,0); 曲线将点连起来. (4) a=2 时,从左向右看图象逐渐上升; 学生完成作图. 1 a= 时,从左向右看图象逐渐下降. 2
对数函数图象和性质

学生自主 画图,提高 探 索问题的能 力 和思维品质 , 在作图的过 程 中让学生感 受 成功的喜悦 , 加深对图象 的 感性认识.



培养学生 观察能力.

a>1
图 象 定义域 值域 定点 单调性

0<a<1

教师展示课件中两个函数的图 象. 教师引导学生观察两个函数的 图象,分析归纳图象的特征. 培养学生 观察、分析、 归纳的能力, 养成积极实 践、科学探究 的学习态度.

教师引导学生总结归纳函数的 性质,完成左表.

例 1 求下列函数的定义域(a>0,且 a ≠1): (1) y=logax2 ;(2) y=loga(4- x). 解 (1) 要使函数有意义,必须

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x2>0,即 x≠0. 所以函数 y=logax2 的定义域是 {x| x≠0}. (2) 要使函数有意义,必须 4-x>0,即 x<4. 所以函数 y=log a(4-x)的定义域是 (-∞,4). 例 2 利用对数函数的性质, 比较下列各 组数中两个值的大小: (1) log2 3 与 log2 3.5; (2) log 0.7 1.6 与 log 0.7 1.8. 解 (1) 考查函数 y=log2 x, 它在区间(0,+∞)上是增函数. 因为 3<3.5, 所以 log2 3<log2 3.5. (2)考查对数函数 y=log0.7 x,它在 (0,+∞)上是减函数. 因为 1.6<1.8, 所以 log0.7 1.6>log0.7 1.8. 练习 1 比较大小: lg 6 lg 8; 若 lg m<lg n,则 m n; 练习 2 比较大小: log 0.56 log 0.58; 若 log 0.5 m log 0.5 n,则 m n.

学生分组探究,教师强调真数 的取值范围.

掌握性质 的基础上进行 初步的应用.

引导学生通过构造对数函数, 利用函数的单调性求解.教师在点 评时, 还可以让学生用计算器验证, 也可以利用图象法求解.

学生做练习 1、2,教师点评.

小 结 作 业

1.对数函数的定义. 2.对数函数的图象与性质. 必做题:教材 P 115,练习 A 组第 2 题; 选做题:教材 P 115,练习 B 组.

师生共同回顾本节主要内容, 加深理解对数函数的概念、图象和 性质.

简洁明了 概括本节课的 重要知识. 针对学生 实际,对课后 书面作业实施 分层设置.

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4.3
【教学目标】

指数、对数函数的应用

1. 能够运用指数函数、对数函数知识解决某些简单的实际应用问题. 2. 通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题,培养学生分析问题,解决问题的能力和 运用数学的意识,也体现了指数函数、对数函数知识的应用价值. 3. 通过对实际问题的研究解决,渗透了数学建模的思想,提高学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 通过指数、对数函数的应用,培养学生分析、解决问题的能力和运用数学的意识. 【教学难点】 根据实际问题建立相应的指数函数和对数函数模型. 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法和分组合作的教学方法.在教学过程中,从学生身边的实例开始,引起学 生的兴趣,体会所学知识的应用和重要性,提高学生学习数学的兴趣,培养学生分析问题和解决问题的能 力.通过本节内容让学生体会指数函数与对数函数是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具,是今 后进一步学习的基础. 教师应当结合学生的专业特点, 增设有关例题, 突出数学为专业课服务的教学理念. 【教学过程】 环节 教学内容 数学来自生活,又应用于生活和 生产实践.而实际问题中又蕴涵着丰 富的数学知识,数学思想与方法.如 刚刚学过的指数、对数函数内容在实 际生活中就有着广泛的应用.今天我 们就一起来探讨几个应用问题. 一、人口统计问题 例 1 2008 年我国人口总数是 13.28 亿,如果人口的自然年增长率控制在 5 ?,问哪一年我国人口总数将超过 15 亿? 解 设 x 年后人口总数为 15 亿,由题意,得 13.28?(1+0.005)x=15. 即 (1+0.005)x= 15 . 13.28 师生互动 教师提出本节要解决的问 题. 设计意图 引导学生从身边 的、生活中的实际问 题出发,发现问题, 思考如何解决问题.

导 入

引导学生阅读题目, 找出关 键语言, 关键数据, 在教师的引 导下,将实际问题通过分析概 括,抽象为数学问题. 教师帮助学生理解题意, 分析题目, 首先让学生搞清自然 年增长率的含义, 问题可以转化 为“已知年增长率为 5?,利用 指数函数求经过几年我国人口 总数将超过 14 亿?”

新 课

体会用数学方法 将其化为函数问题 ( 或其它数学问题 ) 并 加以解决的策略.

两边取对数,得 x lg 1.005=lg 15-lg 13.28, lg 15-lg 13.28 所以 x= ≈24.4. lg 1.005 所以 25 年后,即 2033 年我国人 口总数将达到 15 亿.

让学生在运算中 体会指数函数与对数 函数的应用.

对解答过程进行

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问题解决后由教师简单小结一下解答 过程中的主要步骤: (1) 阅读理解; (2) 建立目标函数; (3) 按要求解决数学问题. 二、大气压问题 例 2 设在离海平面 x m 处的大气压 强是 y k Pa,y 与 x 的函数关系是 y =C ekx,这里 C,k 都是常量.已知 某地某天在海平面与 1 000 m 高空的 大气压强分是 101 k Pa 及 90 k Pa, 求 600 m 高空的大气压强,又求大气压 强是 96 k Pa 处的高度(结果都保留 2 位有效数字). 解 已知 y=C ek x 其中 C, k 是 待定的常数. 由已知条件, 当 x=0 时, y=101; 当 x=1 000 时,y=90, 得方程组
?101=Ce , ? k· 1000 . ? 90=Ce
k· 0

总结,以使学生掌握 解决实际应用问题的 三个步骤.

教师分析:这是物理方面 内容, 首先要利用给出函数关系 教材中的例 2 专 式,根据已知条件确定参数 C, 业性太强,阅读难度 k.本例题要求学生采用小组合 较大,故将例题替换 作模式解决. 为本例.要求学生解 答,教师巡视及时纠 正学生出现的问题. 学生在教师引导下, 自己解 答,如有问题先在小组内解决, 小组内解决不了的问题, 在全班 内解决. 让学生在解答过 程中,体会数学建模 学生体会自然对数的应用. 的一般步骤.



① ②

由①得 C=101,代入②得
1000 ek· =

90 ≈0.891 1, 101

即 1 000 k=ln 0.891 1; 1 000 k=-0.115 3. 所以 k=-1.153?10 . 所以 y 与 x 的函数关系是 y=101 e-
4 1.153?10- x
-4



当 x=600 时,得 y=101 e-
1.153?10- 4
?600

学生在解答过程 中体会现代计算技术 所带来的方便.

≈94.25,

当 y=96 时,得 96=101 e-
4 1.153?10- x

. 教师在学生解答完后, 选择 有代表性的解答过程, 利用实物 投影仪将所选解题过程进行投 影,教师进行点评.

-1.153?10-4x=ln -1.153?10
-4

96 101

x=-0.051,

104 所以 x=0.051? ≈442.32. 1.153 因此,在高 600 m 处,大气压强 为 94.25 k Pa;在高 442.32 m 处,大 气压强为 96 k Pa.

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新 课

练习 已知某细菌的生长过程满足函 数关系式 Q(t)=Q0ekt,其中 t 为时间, 单位为分钟,Q 为细菌的数量.如果 一开始的细菌数量为 1 000 只,而在 20 分钟后变为 3 000 只,求一小时后 细菌的数量.

学生结合例题进行练习.

加强练习,体会 指数函数与对数函数 在实际生活等方面的 应用.

小 结

指数函数、对数函数、幂函数在 社会学、经济学和物理学等领域中有 师生共同明确解决实际应 着广泛的应用. 用问题的步骤. 解决实际问题的步骤: 实际问题(读懂问题、抽象概 括)→建立数学模型(演算、推理)→数 学模型的解(还原说明 )→实际问题的 解. 其中读懂问题是指读出新概念、 新字母,读出相关制约,这是解决问 题的基础; 建立数学模型是指在抽象、 简化、明确变量和参数的基础上建立 一个明确的数学关系,这是解决问题 的关键. 必做题:教材 P118,习题第 4 题; 选做题:教材 P118,习题第 5 题.

总结本节主要内 容,有利于学生学习 如何运用数学知识解 决实际问题.

作 业

体现分层次教 学,让素质不同的学 生在其原有基础上都 有所发展.

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第五章 三角函数
5.1.1 角的概念的推广

【教学目标】 1.理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念,掌握角的加减运算. 2.通过观察实例,使学生认识角的概念推广的可能性和必要性,树立运动变化的观点,并由此深刻 理解任意角的概念. 3.通过教学,使学生进一步体会数形结合的思想. 【教学重点】 理解任意角(正角、负角、零角) 、终边相同的角、第几象限的角的概念,掌握终边相同的角的表示 方法和判定方法. 【教学难点】 任意角和终边相同的角的概念. 【教学方法】 本节采用教师引导下的讨论法,结合多媒体课件,带领学生发现旧概念的不足之处,进而探索新的概 念.讲课过程中,紧扣“旋转”两个字,让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 师: 初中学过的角的定义是 什么? 生:在平面内,角可以看作 一条射线绕着它的端点旋转而 成的图形. 师:如图: ∠AOB=∠BOA=120?, B 设计意图

1.复习初中学习过的角的定义. 复 习 导 入

2.提出新问题: 运动员掷链球时,旋转方向可以 是逆时针也可以是顺时针,旋转量也不 止一个平角,那如何来度量角的大小 呢? A O 初中时的角不考虑旋转方 向, 只考虑旋转的绝对量而且角 的范围在 0~360° .

复习旧知, 使学生 发现旧知识的局限性, 激发学习新知识的兴 趣.



1.任意角的概念. (1)射线的旋转方向: 逆时针方向——正角; 顺时针方向——负角; 没有旋转——零角.

教师画图说明正角,负角,

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画图时,常用带箭头的弧来表示旋 零角,以及角的始边、终边. 转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的 教师小结: 由旋转方向的不 角,又常称为转角. 同定义正负角, 由旋转量的不同 例如, 得到任意范围内的角. ∠AOB=120° ,∠BOA=-120° .

B 120° -120° O A 1. 教师画图, 学生说角的度数. 2.学生练习:画出下列各角: (1)0,360° ,720° , 1 080° ,-360° ,-720° ; (2)90° ,450° ,-270° , -630° . 学生通过自己练 习画图, 深刻体会 “旋 转”两个字的含义, 加深对任意角的概念 的理解.



(2)射线的旋转量: 当射线绕端点旋转时,旋转量可以 超过一个周角, 形成任意大小的角.角的 度数表示旋转量的大小. 例如 450° ,-630° . 2.角的加减运算. 90° -30° =90° +(-30° ) =60° . B C 30° 60° 90°

学生练习:求和并作图表示: 30° +45° ,60° -180° .

学生自己动手画 图求和,加深对旋转 变化的理解.



o

A 师:观察我们刚画过的角, ( 1 ) 0, 360° , 720° , 1080° , -360° ,-720° ; (2)90° ,450° ,-270° , -630° . 思考: 始边、 终边相同的两 个角的度数有什么关系? 学生讨论后回答:终边相同 的两个角的度数相差 360° 的整数 倍. 师:与 30°始边、终边都相 同的角有哪些?有多少个?它们 能不能统一用一个集合来表示? 得出结论. 将例 1 分解为两 个小题,边讲边练,

o 各角和的旋转量等于各角旋转量 的和. 3.终边相同的角. 所有与 α 终边相同的角构成的集合 可记为 S={x ? x = α + k?360° ,k?Z}.

例 1(1) 写出与下列各角终边相同的 角的集合.

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(1) 45° ; (2) 135° ; 例 1(1)由学生口答,教 (3) 240° ; (4) 330° . 师给出规范的书写格式. 解 略. 4.第几象限的角. 在直角坐标系中讨论角时,通常使 角的顶点和坐标原点重合,角的始边与 x 轴的正半轴重合.这样角的大小和方向 可确定终边在坐标系中的位置 . 这样放 置的角,我们说它在坐标系中处于标准 位置. 处于标准位置的角的终边落在第 几象限,就把这个角叫做第几象限的 角.如果角的终边落在坐标轴上,就认 为这个角不属于任何象限. 例 1(2) 指出下列各角分别是第几象 例 1(2)学生口答. 限的角. (1) 45° ; (2) 135° ; (3) 240° ; (4) 330° . 例 2 写出终边在 y 轴上的角的集合. 解 终边在 y 轴正半轴上的一个角 为 90° , 终边在 y 轴负半轴上的一个角 为-90° ,因此,终边在 y 轴正半轴和负 半轴上的角的集合分别是 S1={α ? α = 90° +k· 360° ,k?Z} S2={α ? α =-90° +k· 360° ,k?Z} 所以终边在 y 轴上的角的集合为 S1∪S2={α?α=90° +k · 360° ,k?Z} ∪{α? α=-90° +k· 360° ,k?Z} ={α ? α=90° +k · 180° ,k?Z}. 讲解例 2 时, 教师结合教材 图示的平面直角坐标系, 带领学 生分析题意. 师: 角的终边落在 y 轴上包 含哪两种情况? 生: 终边落在 y 轴正半轴上 或者落在 y 轴负半轴上. 师:90° 的角终边落在 y 轴 的正半轴上吗?与它终边相同 的角的集合是什么? -90° 的角终边落在 y 轴的 负半轴上吗?与它终边相同的 角的集合是什么? 这两个集合的并集怎么求?

小步子,低台阶,学 生容易消化吸收.

例 2 难度较大, 教师应详细讲解两个 集合如何求并集.





模仿练习: 写出终边在 x 轴上的角的集合. 例 3 在 0~360° 之间,找出与下列各角 例 3 引导学生画图解决, 或 终边相同的角,并分别判定各是第几象 者用计算器解答. 限的角? (1)-120° ; (2)640° ; (3)-950° . 例 4 写出第一象限的角的集合. 解 在 0~360° 之间,第一象限的 角的取值范围是 0° <α<90° ,所以第一 象限角的集合是 {α?k · 360° <α<90° +k · 360° ,k?Z}. 教师结合平面直角坐标系 讲解例 4. 学生分组练习: (1)写出第二象限角的集合; (2)写出第三象限角的集合;

本模仿练习意在 渗透 B 组练习的解题 思路.

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(3)写出第四象限角的集合. 可增加判断题: 使学生准确 区分 0~90° 的角,锐角,小于 90° 的角,第一象限角.

小 结

1.任意角的概念. 2.角的加减运算. 3.终边相同的角的集合. 4.象限角的概念. 教材 P127,练习 A 组第 3、4 题; 练习 B 组第 1、3 题.

教师带领学生回顾本节课 的知识脉络图.

本节课概念众 多,通过梳理脉络, 帮助学生巩固知识.

作 业

巩固拓展.

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5.1.2
【教学目标】

弧度制

1. 理解弧度制的概念以及弧长公式,掌握角度制与弧度制的换算. 2. 理解角的弧度数与实数之间的一一对应关系. 3. 通过教学,使学生体会等价转化与辩证统一的思想. 【教学重点】 理解弧度制的概念,掌握弧度制与角度制的换算. 【教学难点】 理解弧度制的概念. 【教学方法】 本节课采用类比教学法,在复习角度制的基础上引入弧度制,深入探究它们之间的换算方法,使学生 认识它们之间相互联系、辩证统一的关系.通过弧度制与角度制的比较,使学生认识到弧度制的优越性, 逐步适应用弧度制度量角. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 师:初中学过角度制,1 度角 是怎么定义的? 生:把一圆周 360 等分,则 复 习 导 入 其中一份所对的圆心角是 1 度 复习初中学过的角度制. 角.且 1° =60′,1′=60″. 师:在数学和其他科学中我 们还经常用到另一种度量角的单 位制——弧度制. 复习角度制. 设计意图

1. 弧度制的度量单位——



教师引导学生考察圆心角、 弧长和半径之间的关系: 1 弧度的角. 如图,两个大小不同的同心 圆中圆心角为?,设? = n° ,则 l (1) 弧长与半径的比值 等于一 r 2πr l=n , 360 个常数,只与 ? 的大小有关, 2 π r' l' =n , 与半径长无关. 360 由此, l l' 2π = =n . r r' 360

通过说明同心圆 中弧长与半径的比值 是一个仅与圆心角 α 的大小有关的常数, 引入 1 弧度的概念.

课 O

? l'
r'

l r

所以,对于任何一个圆心角

?, 所对弧长与半径的比值是一个 仅与角? 的大小有关的常数.
这就启示我们可以用圆的半

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(2) 定义: 等于半径长的圆弧所对 径作单位去度量弧,从而得到一种 的圆心角叫做 1 弧度的角;弧度记作 rad. 2.角度制与弧度制的换算公式. 2πr 周角=360° = =2π rad, r 360° =2π rad. 平角=180° =π rad, 即 180° =π rad. 即 1° = π rad≈0.017 45 rad, 180 师举例: 若所对的弧长 l=2r, 那么圆心角的弧度数就是 2 rad; 若所对的弧长 l=3r, 那么圆心角的弧度数是多少? 生:3 rad. 若所对的弧长就是 l, 那么圆心角的弧度数是多少? 生: l rad. r 由定义出发,让 学生在教师的问题引 导下自己探究得出角 度制与弧度制之间的 换算公式和弧长公 式. 新的度量角的制度——弧度制.

180 1 rad=( )?≈57.30° =57?18? . π 由此得到 n° 与 ? rad 的换算公 式: nπ 180 ?=180 或者 n° =? · ( )° π 新 特殊角的弧度数与角度数的互 化,见教材 P 130 对应值表.

师:圆的周长所对的圆心角 是多少弧度? 生:圆的周长 l=2πr, 周角= 360° = 2πr = 2π rad ,即 r

课 例 1 把 67?30? 化成弧度. 135 解 67?30? =( )?, 2

360° =2π rad. 师:180° 等于多少弧度?90° 呢?60° ,45° ,30° 呢? 得到特殊角的角度数与弧度 数的换算.利用教材 P130 的对应 值表或者数轴来记忆特殊角的弧 度数.

例 1 和例 2 可由学生自己完 成,教师只指导书写格式. 相应的练习题的练习方式: 3π = rad. ( 1 )教师说出特殊角的角 8 度,学生说弧度; (2)教师说出特殊角的弧度 练习 1 教材 P131, 练习 A 组第 2 题. 数,学生说角度数. 3π 例2 把 rad 化成度. 5 67?30? = π 135 rad? 180 2 解 3π 180 3π rad =( )?? 5 π 5 =108° . 练习 2 教材 P131, 练习 A 组第 3、 4 题. 例 3 使用函数型计算器,把下列度 数化为弧度数或把弧度数化为度数 (精确到小数点后 4 位数) : (1)67° ,168° ,-86° ;

帮助学生熟记特 殊角的弧度数.

熟练角的弧度数 与角度数的互化.

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(2)1.2 rad,5.2 rad. 解 略. 由于角有正负,我们规定: 正角 的弧度数为正数,负角的弧度数为负 数,零角的弧度数为 0. 这种用 “弧度” 做单位来度量角 的制度叫做弧度制. 无论是用角度制还是弧度制,都 能在角的集合与实数集 R 之间建立一 一对应的关系. 3.弧长公式. 由弧度的定义,我们知道弧长 l 与半径 r 的比值等于所对圆心角 α 的 弧度数(正值),即 新 α = l ,得到 l= α· r. r

在例 4 中, 可加上 求扇形的面积一问, 为课后 B 组第 4 题 作准备.

这是弧度制下的弧长计算公式. 课 例 4 如图,⌒ AB 所对的圆心角为 60° , 半径为 5 cm,求⌒ AB 的长 l (精确到 0.1 cm).

B

60?
O

A

解 因为 60° =

π , 3

π 所以 l= αr= ?5≈5.2. 3 即⌒ AB 的长约为 5.2 cm. 小 结 本节知识点: (1)弧度制的定义; 让学生根据板书自己总结本 (2)角度制与弧度制的换算公式; 节主要内容. (3)弧长公式. 归纳整理知识点,明 确弧度制的意义.

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作 业

必做题: 教材 P 131,练习 A 组第 6 题, 练习 B 组第 1、2、3 题; 选做题: 教材 P 132,练习 B 组第 4 题.

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5.2.1
【教学目标】

任意角三角函数的定义

1. 理解并掌握任意角三角函数的定义;熟记其在各象限的符号;掌握三角函数线的定义及画法. 2.通过教学,使学生进一步体会数形结合的思想. 【教学重点】 任意角三角函数的定义. 【教学难点】 单位圆及三角函数线. 【教学方法】 本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法.在复习锐角三角函数定义的基础上,定义了任意角 的三角函数,讲练结合,使学生牢固掌握.然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三 角函数在各象限的符号,接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示,使数与形密切 结合起来,以加强学生对三角函数定义的理解. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 师: 初中时我们学过锐角三 角函数,当时是怎样定义的? 问题 1: 当我们把锐角的概 设计意图

导 入

复习锐角三角函数定义.

以旧引新.

1. 任意角的三角函数定义. y?)是角? 的终边与两个半径不同的同 心圆的交点. (r= x2+y2 , r'= x'2+y'2 ) 新 如图所示: y P 课 O r P?’ r? y? x? y x x

已知 ? 是任意角, P(x, y), P?(x?, 念推广为转角后, 我们如何定义 任意角的三角函数呢? 如左图所示, 由相似三角形 对应边成比例得, ?x ? ?x'? = , r r' 说明三角函数定 义的理论根据.

?y ? ?y'? ?y ? ?y'? = , = . r r' x x' 由于点 P,P' 在同一象限 内,所以它们的坐标符号相同, x x' y y' y y' 因此, = , = , = , r r' r r' x x' 所以三个比值 x y y , , 只依 r r x

赖于 ? 的大小,与点 P 在 ? 当角 ? 不变时,对于角 ? 的终边 上任意一点 P (x, y) , 不论点 P 在角 ? 终边上的位置无关.

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x y 的终边上的位置如何, 三个比值 , , r r y 始终等于定值.因此定义: x 角 ? 的余弦 cos ? = 角 ? 的正弦 sin ? = 角 ? 的正切 tan ? = x ; r y ; r y . x 教师引领学生识记三角函 数定义.

依照上述定义,对于每一个确定的 角 ?,都分别有唯一确定的余弦值、正 弦值、正切值与之对应,所以这三个对 应关系都是以角 ? 为自变量的函数, 分别叫做角 ? 的余弦函数、正弦函数 和正切函数. 2. 三角函数求值. 新 根据三角函数定义,可得计算三角 函数值的步骤: S1 画角:在直角坐标系中,作转 课 角等于 α; S2 找点:在角 α 的终边上任找一 点 P,使?OP?=1,并量出该点的纵坐标 和横坐标; S3 求值:根据相应三角函数的定 义,求该角的三角函数值. 例 1 已知角 ? 终边上一点 P(2,- 3),求角? 的三个三角函数值. 解 已知点 P(2,-3) ,则 r=?OP?= 22+(-3)2 = 13 , 由三角函数的定义,得 -3 y 3 13 = =- ; r 13 13 x 2 cos ? = = = 2 13 ; r 13 13 y 3 tan ? = =- ; x 2 sin ? =

依据函数定义说明角 ? 与三角函数值的对应关系.

练习: 在直角坐标系中, 画出半

通过学生自己动

径为1的圆,求出 30°,38°, 手测量,加深学生对三 128°等角的正弦、余弦和正切 的值. 角函数定义的理解,并 为学习单位圆做铺垫.

在例 1 中强调: (1) P 为角 α 的终边上任意一

强调这几点为练 习 B 组第 1、2、3 做 铺垫.

练习 1 教材 P138,练习 A 组第 1、4、 点; 5 题. (2) 求三角函数值时用到的三

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个量 x,y,r 以及三者的关系;

例 2 试确定三角函数在各象限的符号. 解 由三角函数的定义可知, y sin ?= ,角 ? 终边上点的纵坐 r 标 y 的正、负与角 ? 的正弦值同号; x cos ?= ,角 ? 终边上点的横坐 r 通过练习 1, 熟练已知 教师可通过教材 P138 练 习 A 组第 1 题中的练习让学生 自己总结出三角函数在各象限 角的终边上一点求三 角函数值的步骤.

标 x 的正、负与角 ? 的余弦值同号; 的符号. 由 tan ? = y , 则当 x 与 y 同号 x 根据三角函数的定义,及 各象限内点的坐标的符号得出 三角函数在各象限的符号, 教师 总结口诀,帮助学生记忆: + - y y + - + Ⅰ全正,Ⅱ正弦, Ⅲ正切,Ⅳ余弦. 由练习中的具体 题目到例 2 的理论分 析,由特殊到一般加 深学生对三角函数符 号的理解.

时,正切值为正,当 x 与 y 异号时, 正切值为负. 三角函数在各象限的符号如下图 所示: y + 新

O x - - sin α

O x - + cos α

O x + - tan α



练习 2 也可以用计算器直 练习 2 确定下列各三角函数值的符号: 接求出三角函数值, 然后确定符 π 4π (1)sin(- );(2)cos 130?;(3)tan . 号. 4 3 例 3 使用函数型计算器,计算下列三 角函数值: (1)sin67.5?, cos372?, tan (-86?); (2) sin1.2, cos 解 略. 3π 5π , tan . 4 6

3. 单位圆与三角函数线. 如图,以原点为圆心,半径为 1 的 圆称作单位圆. y 1

师:在任意角三角函数的 定义中,当角 ? 的终边上一点

O

(x, y) 的坐标满足 r= x2+y2 P(cos ?,sin ?) P =1 时,三角函数的正弦、余弦 ? A(1,0) 会变成什么样呢? M x 看着图示, 结合三角函数定 义讲解正弦线、 余弦线、 正切线

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的由来. 设角 ? 的终边与单位圆的交点 为 P(x,y),过点 P 作 PM 垂直于 x 轴, 则 sin ?=y,cos ?=x, 即 P(cos ?,sin ?). cos ?=x=OM;sin ?=y=MP. 于是我们把规定了方向的线段 OM,MP 分别称作角?的余弦线、正弦 学生自己动手,熟悉正弦 线. 线,余弦线的画法. 练习 3(1) 在直角坐标系的单位圆 中,分别画出 课 弦线. 设单位圆在点 A 的切线与角?的终 边或其反向延长线相交于点 T ( T ? ) , 则 y AT tan ?= = =AT ( AT? ), x OA 所以 AT ( AT? )称作角 α 的正切线. 练习 3 (2) 在直角坐标系的单位 圆中,分别画出 π 2π 和- 的正切线. 3 3 π 2π 和- 的正弦线、余 3 3

学生理解正切线 难度较大,教师要详 细讲解各个象限内的 角的正切线的做法.



学生自己动手,熟悉当角? 在不同象限时正切线的画法.

回忆本节课所学知识点: 小 (1)任意角三角函数的定义 (代数表示) . (2) 任意角三角函数值的求法(两种方 结 法) . (3) 任意角三角函数值的符号(记住口 诀) . (4)任意角三角函数的几何表示 (三角函 数线). 作 业 本节教材内容颇 教材 P 138, 练习 A 组, 练习 B 组. 多,教师可根据当堂 内容布置相应作业. 让学生叙述本节所学知识 点以及典型例题及解题步骤. 梳理知识脉络.

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5.2.2
【教学目标】

同角三角函数的基本关系式

1. 理解并掌握同角三角函数的基本关系式,会运用公式求值,化简,证明. 2. 通过教学,培养学生用方程(组)解决问题的方法,培养学生分析问题,解决问题的能力. 3. 通过学习,揭示事物间普遍联系的辨证唯物主义思想. 【教学重点】 同角三角函数的基本关系式的推导及应用(求值、化简、恒等式证明) . 【教学难点】 同角三角函数的基本关系式在解题中的灵活运用. 【教学方法】 本节主要采用讲练结合的方法.在教学过程中,要注意引导学生理解每个公式,懂得公式的来龙去 脉,并能灵活运用.课堂中,充分发挥学生的主体作用,让学生自主探究问题并解决问题,使学生熟练用 方程(组)解决问题的方法. 【教学过程】 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 推出 sin2?+cos2?=1 教师提出问题,学生回答. sin ? =tan ? cos ? 这两个基本关系 式.

复习三角函数定义、单位圆和三角函数 y 线、勾股定理. P(cos ?,sin ?) 复 1 习 sin ? 导 O cos ? x 入



在单位圆中, 由三角函数的定义和勾股 定理,可得同角三角函数的基本关系式: sin2 ?+cos2?=1; sin ? =tan ? . cos ?



师讲解: 1.sin2?,cos2? 的读法、写法. 2.让学生验证 30° ,45° ,60° 的 初步认识和 正弦,余弦,正切值满足两个关 记 忆 两 个 关 系 系式. 式,理解 ―同角‖ 3. ―同角‖的概念与角的表达形式 的含义. 无关,如:sin2 β+cos2 β=1. 4.同角的意义:一是“角相同” ; 二是“任意一个角” .

当我们知道一个角的某一三角函数值 时,利用这两个关系式和三角函数定义,就 可求出这个角的另外几个三角函数值.此 外, 还可用它们化简三角函数式和证明三角

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恒等式. 同角三角函数的基本关系式应用之一: 求值. 4 例 1 已知 sin ?= ,且 ? 是第二象限的 5 角,求 ? 的余弦和正切值. 解 由 sin2?+cos2?=1,得 cos ?=± 1-sin2? . 因为? 是第二象限角,cos ?<0, 所以 cos ?=- 4 3 1-( )2 =- , 5 5 4 5

例 1 鼓励学生自己解决,教师只 在开方时点拨符号问题. 练习:教材 P141,练习 A 组第 1(2) (3)题. 小结步骤:已知正弦(或余弦)

多练几个类 似例题的题目, 使学生熟练两个 ?根据平方关系 ??? ?? 求余弦(或正弦) 基本关系式的应 用和用方程求值 ?根据商数关系 ??? ?? 求正切. 的方法.



sin ? 4 tan ?= = =- . 3 3 cos ? - 5 例 2 已知 tan ?=- 5 ,且 ? 是第二象 限角,求? 的正弦和余弦值. 解 由题意得 sin2 ?+cos2 ?=1, ① sin ? =- 5 . cos ? ② 例 2 可在教师的引导下解决,带 领学生详细解方程组. 练习:教材 P141,练习 A 组第 1 (4)题. 小结步骤: 知正切 ??? ?? 求
解方程组







由②,得 sin ?=- 5 cos ? ,代入① 式得 6 cos2?=1, cos2?= 1 . 6 6 ,代入③式得 6 6 ) 6

余弦(或正弦) . 灵活应用公 式,加快运算速 度.为下面运用 公式化简和证明 做好知识铺垫.

因为? 是第二象限角, 所以 cos ?=-

师:求值题目总结 1 .注意同角三角函数的基 本关系式的变形应用. 2.已知 sin ?,cos ?,tan? 中的任意一个, 可以用方程 (组) 求出其余的两个.

sin α=- 5 cos α =- 5 × (- = 30 . 6

同角三角函数的基本关系式应用之二: 化简. sin θ-cos θ 例 3 化简: . tan θ-1 sinθ-cos θ sinθ-cos θ 解 原式= = sin θ sin θ-cos θ -1 cos θ cos θ =cosθ.

教师小结化简方法: 把切函数化为弦函数. 练习: 教材 P142, 练习 A 组第 2 题,练习 B 组第 1 题.

通过讨论探 究,使学生进一 步熟练公式的各 种变形.培养学 生的发散思维, 提高综合运用知 识分析问题、解 决问题的能力.

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同角三角函数的基本关系式应用之三: 证明. 例 4 求证: (1) sin4 ?-cos4 ?=2 sin2?-1; (2) tan2 ?-sin2?=tan2? sin2?; (3) 1+sin x cos x = . cos x 1-sin x 教师提示:证明恒等式一般 从繁到简,从高次到低次.从左 向右,或从右向左,或从两头向 中间来证明. 可让 学生自己 先独立探索 证明思路,再小组讨论.教师在 证明思路和解题格式上给予指 导. 由学生完成证明,展示不同 证法,分析优劣.

证明: ( 1 ) 原 式 左 边 = (sin2? + cos2?)(sin2? - cos2?) =sin2?-cos2? 应 =sin2?-(1-sin2?) =2 sin2?-1 =右边. 4 用 因此 sin ?-cos4 ?=2 sin2 ?-1. (2)原式右边=tan2 ? (1-cos2 ?) =tan2 ?-tan2 α cos2 ? 举 sin2 ? =tan2 ?- 2 cos2 ? cos ? 例 =tan2 ?-sin2 ? =左边. 因此 tan2 ?-sin2 ? =tan2 ? sin2 ?. (3)证法 1: 因为 = 1+sin x cos x - cos x 1-sin x

对(3)作分析: 思路 1:用作差法,不管分母, 只需将分子转化为零.

cos2 x-(1-sin x)2 (1-sin x)cos x

cos2 x-cos2 x = (1-sin x)cos x =0. 所以 1+sin x cos x = . cos x 1-sin x 思路 2:利用公分母将原式的左 边和右边转化为同一种形式的 结果. 练习:教材 P 142,练习 A 组第 3 题,练习 B 组第 2 题.

cos x cos x 证法 2:因为 左边= · 1-sin x cos x = cos2 x ; (1-sin x)cos x

1+sin x 1-sin x 右边= · cos x 1-sin x = cos2 x . (1-sin x) cos x

所以 左边=右边.

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即原等式成立.

1. 同角三角函数的基本关系式 sin2?+cos2?=1, 小 结 sin ? =tan ?. cos ? 2. 求值、化简和证明题目的思路与注意事 项. 必做题: 写出同角三角函数的基本关系式, 并写 出其变形公式. 选做题: 教材 P 142,练习 B 组第 3 题. 教材课后练习 A 组已融在新课 中. 师生共同总结.

作 业

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5.2.3
【教学目标】

诱导公式

1. 理解并掌握诱导公式,会求任意角的三角函数值与证明简单的三角恒等式; 2. 了解对称变换思想在数学问题中的应用; 3. 通过教学,使学生进一步体会数形结合的思想. 【教学重点】 利用诱导公式进行三角函数式的求值、化简. 【教学难点】 诱导公式(一)、 (二) 、 (三)的推导. 【教学方法】 本节课主要采用启发诱导与讲练结合的教学方法,引导学生借助单位圆和三角函数线,充分利用对称 的性质,揭示诱导公式与同角公式之间的联系,然后讲练结合,使学生牢固掌握其应用. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 1. 教师运用多媒体展示三 复 习 导 入 1. 复习三角函数的定义、 单位圆与三角函 数线. 2. 复习对称点的知识. 角函数的定义、单位圆与三角函 数线, 提问相关问题, 学生回答. 2. 师:已知任意角 ? 的终 边与单位圆相交于点 P(x,y), 请分别写出点 P 关于 x 轴, y 轴,原点对称的点的坐标. 共同回顾,为 新课做准备. 设计意图

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1.角?与?+k?2π (k?Z)的三角函数 间的关系. 直角坐标系中,?与?+k·2π (k?Z)的 终边相同,由三角函数的定义,它们的三 角函数值相等. 新 公式(一) : sin(?+k· 2π) = sin ?; cos(?+k· 2π) = cos ? (k?Z); 课 tan(?+k· 2π) = tan ?. 例 1 求下列各三角函数的值: (1) sin 13 π 19 π ;(2) cos ;(3) tan 405?. 2 3 例 1 由学生试着完成. 教师在例 1 结束后小结公式 (一)的作用:把任意角的三角函 数转化为 0~360?之间角的三角 函数. 体会诱导公式 (一)的作用. 熟练应用公式 (一)求值. 师生共同探讨得出公式 (一)的结构特征:等号两边是 同名函数,且符号都为正.

13 π π 解 (1)sin =sin( +6 π) 2 2 π =sin =1; 2 19 π π (2) cos =cos( +6 π) 3 3 π 1 =cos = ; 3 2 (3) tan 405?=tan (45?+360?) =tan 45?=1. 2. 角? 和角-? 的三角函数间的关系. 如图 5-17,设 单位圆与 角?和角 -?的终 边的交点 分别是点 P 和点 P? . 新
M P(x,y)

练习: 教材 P146, 练习 A 组第 1 (1) (2)题,第 2(1) (2)题, 第 3(1) (2)题.

y

观察图 5-17, 教师引导学生 回答,点 P? 与点 P 的位置关
?
O

系怎样?它们的坐标之间有什
x

???

么关系?推出诱导公式(二) .

P? (x,?y)

图 5-17

容易看出,点 P 与点 P? 关于 x 轴对 称. 已知 P(cos ?,sin ?)和 P?(cos(-?),sin(-?)). 于是,得到 公式(二) :sin(-?)=-sin ?; cos(-?)= cos ?;



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tan(-?)=-tan ?.

例 2 求下列各三角函数的值: (1) sin (- π ); 6 π (2) cos(- ); 4 7π (4) sin(- ). 3 学生独立完成,并交流解题 心得. 例 2 结束后教师小结诱导公 式(二)的作用:把任意负角的三 角函数转化为正角三角函数. 练习: 教材 P146, 练习 A 组第 1 (3) (4)题,第 2(3) (4)题, 第 3(3) (4)题. 熟练应用公式 (二)求值.

π (3) tan(- ); 3

π π 1 解 (1) sin (- )=-sin =- ; 6 6 2 π π (2) cos(- )= cos = 4 4 2 ; 2

π π (3) tan(- )=-tan =- 3 ; 3 3 (4) sin(- 7π 7π )=-sin 3 3

π π 3 =-sin( +2π )=-sin =- . 3 3 2 3.角? 与? ±π 的三角函数间的关系. 如图 5-18,角 ? 与 ? ±π 的终边与 单位圆分别相交于点 P 与点 P? ,容易看 出, 点 P 与点 P? 关于原点对称, 它们的 教师用语言叙 教师引导学生观察图 5-18, 述公式,更利于学 并回答,点 P? 与点 P 的位置 生理解掌握公式特

征. 坐标互为相反数 P( x,y),P? (-x,-y), 关系怎样?它们的坐标之间有 什么关系?推出诱导公式(三) .
y

P(x,y) ?+?
O P? (-x,-y) 图 5-18 所以得到公式(三) sin (? ± ? ) =-sin ?; 课 cos (? ± ? ) =-cos ?; tan (? ± ? ) = tan ?. 4.角? 与 π -? 的三角函数间的关系.

? ?-?
x



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y

P?

??? ?
O


x

图 5-19 如图 5-19,角? 与 π-? 和单位圆 分别交于点 P 与点 P? ,由 P? 与点 P 关于 y 轴对称,可以得到? 与 π-? 之间的三 角函数关系: sin(?-?)=sin ?; cos(?-?)=-cos ?. 即 互为补角的两个角正弦值相等, 余弦 值互为相反数. 5π π 1 例如:sin = sin = ; 6 6 2 3π π 2 cos =-cos =- . 4 4 2 例 3 求下列各三角函数的值: (1) sin 4π ; 3 8π (2) cos(- ); 3 (4) sin 930?. 教师在例 3 结束后小结诱导 公式(三)的作用:把任意负角的 三角函数转化为正角的三角函 数. 利用例 4,学会 综合运用诱导公式 求任意角的三角函 教师总结解题步骤:先用诱 导公式(二)把负角的三角函数化 为正角的三角函数,然后再用诱 导公式(三)把它们化为锐角的三 角函数来求.进一步强化学生运 用公式的灵活性. 解题关键是找出题中各角 与锐角的关系,转化为求锐角的 三角函数值. 数值. 学生独立完成,并交流解题 心得. 利用例 3,熟练 运用公式(三)求三 角函数值.

10π (3) tan(- ); 3 新 解 略.

例 4 求下列各三角函数的值: 课 55π (1) sin(- ); 6 14π (3) tan(- ); 3 11π (2) cos ; 4 (4) sin870?.

55π π 解 (1)sin(- )=-sin( + 9π ) 6 6 =-(-sin π 1 )= ; 6 2

11π π (2)cos = cos( - + 3π ) = cos(π 4 4 π π 2 - )=-cos =- ; 4 4 2

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(3)tan(- = tan

14π π )= tan( -5π ) 3 3

π = 3 ; 3

(4)sin870?=sin(-30?+5?180?) =sin(180?-30?)=sin30?= 例 5 化简: sin(2π-α)tan(α +π)tan(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α) sin(2π-α) tan(α +π) tan(-α-π) 解 cos(π-α) tan(3π-α) = sin(-α) tanα tan(-α) -cosα tan(-α) 1 . 2 利用例 5,学会 综合运用各组诱导 教师对例 5 小结:化简时, 公式化简较复杂的 综合应用诱导公式(一)、(二)、 (三),适当地改变角的结构,使 之符合诱导公式中角的形式,是 解决问题的关键. 三角代数式.

-sinα tanα = -cosα =tan2?. 求任意角的三角函数值的步骤: 小
任意负角的 三角函数
公式(二)

任意正角的 三角函数 锐 角 三角函数

公 式 ( 一 )

师生共同总结、交流.

让学生养成自 己归纳、总结的习 惯,重视数学思想


0 到 2π 内的 三角函数
公式(三)

方法的应用.

作 业

必做题:教材 P 146,练习 B 组.

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5.3.1

正弦函数的图象和性质

【教学目标】 1. 理解并掌握正弦函数的图象和性质,会用“五点法”画出正弦函数的简图; 2. 通过教学,使学生进一步掌握数形结合研究函数的方法. 【教学重点】 正弦函数的图象和性质. 【教学难点】 用正弦线画正弦曲线,正弦函数的周期性. 【教学方法】 本节课主要采用观察分析与讲练结合的教学方法.教师借助较先进的教学手段,启发引导学生利用单 位圆中的正弦线,较精确地画出正弦曲线,然后通过观察图象,得到简单的五点作图法;通过练习,使学 生熟练五点作图法.通过设置问题引导学生观察、分析正弦线的变化情况,从诱导公式与函数图象两方面 来总结归纳正弦函数的性质;通过例题,进一步渗透数形结合研究函数的方法. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 教师要求学生在直角坐标系 复 习 复习单位圆与正弦线. 中作出单位圆,并分组分别作出 复习正弦线, 顺利引出 下面的几何法作图. π π π , , 的正弦线,小组交流. 6 3 2 这节课,将利用正弦线来做出正 弦函数 y=sin x,x?R 的图象. 1. 正弦函数的图象. 第一步:平分单位圆.在直角坐 新 标系的 x 轴上任取一点 O,以 O 为 圆心作单位圆, 从这个圆与 x 轴的交点 A 起把圆分成 12 等份. 课 第二步:作出各角的正弦线.过 圆上的各分点作 x 轴的垂线, 可以得 π π π 到对应于角 0, , , ,…,2π 6 3 2 的正弦线. 第三步:平分坐标轴.我们把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 12 等份, 标 师:将圆等分的份数越多,图 象越精确. 用正弦线画图的 方法比较复杂,所以 将它分为五个小步 骤,使学生明确画图 的方法. 设计意图

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π π π 上横坐标 0, , , ,…,2π. 6 3 2 第四步:平移正弦线.把角 x 的 正弦线向右平行移动, 使得正弦线的起 点与 x 轴上相应的点 x 重合, 则正弦 线的终点就是正弦函数图象上的点. 第五步:连线.用光滑曲线把这 些正弦线的终点连结起来,就得到正

因为 sin(?+k ? 2 π)=sin? (k?Z), 所以正弦函数 y=sin x 在 x?(-2π, 0), (2π, 4π), (4π, 6π), … 时的图象与 x? (0, 2 π)的形状完全 一样,只是位置不同. 师:观察 y=sin x,x? [0,2π] 的图象,最高点是哪个?最低点是 在教师的引导 下,让学生自己观察 出图象的最高点,最 低点,与 x 轴交点, 便于记忆五个点坐 标,同时为下节课利 用图象研究性质打基 础.

弦函数 y=sin x,x?[0,2 π]的图象. 哪个?图象与 x 轴有几个交点? 第六步:平移.我们把 y=sin x, 分别是什么? x? [0,2 π]的图象沿 x 轴平移 ±2 π, ±4 π,?就可以得到 y=sin x,x?R 的图象. π 从图象可以看出,(0,0),( , 2 3π 1),(π,0),( ,-1),(2 π,0)这 2 新 五个点在确定图象形状时起着关键的 作用. 例 1 作函数 课 y=1+sin x,x?[0,2 π] 上的简图. 解 略. 师: 复习 y=sin x, x?R 图象. (1)观察图象可知,各角的正 弦线的长度都小于或等于单位圆 半径长度 1,这表明:正弦函数的 范围是[-1,1] . 师:你能通过观察正弦函数图 象得到这个性质吗? 生:因为正弦曲线分布在两条 平行直线 y=1 和 y=-1 之间.所 以正弦函数的值域是[-1,1] . 取得最小值-1,即 ymin=-1; (2)周期性 定义:对于函数 f (x),如果存在 一个非零常数 T, 使得定义域内的每 (2)由公式 sin(x+k ? 2 π)=sin x (k?Z)可 知:当自变量 x 的值每增加或减 少 2 π 的整数倍时,正弦函数的值 师生对例 1 小结:函数 y=1+sin x,x? [0,2 π] 的图 象是由 y=sin x,x? [0,2 π]的图 象向上平移一个单位得到的. 师问: 在 x? [0, 2 π]这一区间 上,哪几个点对图象的形状起着关 键作用?有几个? 师:在精确度要求不高的情况 下, “五点法”是最常用的画正弦 函数图象的方法.

巩固“五点法”作图, 并在教师引导下发现 函数 y=1+sin x 与 y =sin x 图象间的关 系,为例 2 求函数的 最大值、最小值作准 备.

练习:教材 P154,练习 A 组第 4、5 题;练习 B 组第 3 题. 2. 正弦函数的性质. 由单位圆中的正弦线得正弦函数 的性质: (1)值域: [-1,1] π 当 y= +2 kπ,k ? Z 时,y= 2 sin x 取得最大值 1;即 y max =1;当 π y=- +2 kπ,k ? Z 时,y=sin x 2

培养学生 “看图 说话”的能力,即图 形语言、文字语言与 符号语言的转换,从 而达到从直观到抽象 的飞跃.

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一个 x 的值,都满足 f (x+T)=f (x), 重复出现. 那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零 常数T叫做这个函数的周期. 由正弦曲线图象可知,当自变 量 x 的值每增加或减少 2 π 的整数

对于一个周期函数 f (x),如果在 倍时,正弦函数的图象重复出现. 它的所有周期中存在一个最小的正 数,那么这个最小正数就叫做它的最 小正周期. 结论: 正弦函数是一个周期函数, 2 k π (k ? Z,且 k≠0)都是它的周期, (3) 师: 如何判断函数的奇偶性? 2 π 是其最小正周期. (3)奇偶性 生: 偶函数 ? f (-x)=f (x), 奇函数 ? f (-x)=-f (x), 奇函数图象关于坐标原点对称. (4)随着单位圆中正弦线的变 化,体会正弦函数的单调性.学生 (4)单调性 课 正弦函数在闭区间 总结正弦函数的单调性. 师:在正弦函数图象上,函数 教师引导学生 从诱导公式(数)和 正弦曲线(形)两个 角度探究正弦函数的 值域、周期性和奇偶 性等性质.

由公式 sin(-x)=-sin x 得知, 偶函数图象关于 y 轴对称. 正弦函数是奇函数,图象关于坐标原 点对称. 新

π π 单调性是如何体现出来的? [- +2 k π, +2 k π](k?Z)上是 2 2 π 生:正弦函数在[- +2kπ, 2 增函数;在闭区间 π 3π [ +2 k π, +2 k π](k?Z)上是 2 2 减函数. π +2kπ] (k?Z)上, 图象是上升的, 2 π 3π 在[ +2kπ, +2kπ](k?Z)上, 2 2 图象是下降的. 教师将例 2 结合函数图象讲 解,在练习后小结:函数 y=2+sin 例 2 求使函数 y=2+sin x 取最大 值和最小值的 x 的集合,并求这个 函数的最大值、最小值和周期. x, y=2-sin x 的图象与 y=sin x 的关系,求它们最大值、最小值的 规律. 利用两个例题, 使学生更好地理解函 数性质的应用,进一 步渗透数形结合的思 想.

练习:教材 P 154,练习 A 组第 1、2 题. 例 3 不求值,比较下列各对正弦值 教师将例 3 结合正弦函数图 象讲解如何比较函数值的大小,然 后再引导学生一起写出解题步骤.

的大小:

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π π (1)sin(- )与 sin(- ); 18 10 (2)sin 2π 3π 与 sin . 3 4 利用典型题目, 再次强调数形结合解 题的思想. 本节内容颇多, 教师可根据学生情况 分节与布置作业.

小 结

1.“五点法”作图; 2.正弦函数的图象和性质.

教师小结典型例题及解题规 律.

作 业

教材 P154,练习 A 组第 3、4、5 题, 练习 B 组.

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5.3.2

余弦函数的图象和性质

【教学目标】 1. 理解并掌握余弦函数的图象和性质,会用“五点法”画出余弦函数的简图. 2. 通过教学,使学生进一步掌握数形结合研究函数的方法. 【教学重点】 余弦函数的图象和性质. 【教学难点】 余弦曲线的得出. 【教学方法】 本节课主要采用观察图象与代数分析相结合的教学方法.教师先用简单的五点法画出余弦曲线,设置 问题引导学生观察余弦曲线,结合诱导公式,得出余弦函数的性质.通过例题,进一步渗透数形结合研究函 数的方法. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图

复 习

复习诱导公式以及特殊角的余弦 函数值.

教师提问,学生作答。

为用描点法得出 余弦函数图象做准备.

余弦函数 y=cos x,x?R 1. 余弦函数的图象. 根据角 x+ k· 2π 与角 x 的余弦值相

教师利用函数观点讲解 y 与 x 间的对应关系. 师: 观察 y=cos x, x? [0, 2π]



π 的图象,最高点是哪个?最低点 等, 我们可以利用 (0, 1), ( , 0), (π, 2 是哪个?图象与 x 轴有几个交 3π -1),( ,0),(2 π,1)这五个点作 点?分别是什么? 2 师:在精确度要求不高的情 出余弦函数的简图.然后再沿 x 轴向 左、右分别平移 2π,4π,? 就可得 到 y=cos x,x?R 的图象. 余弦函数的图象叫做余弦曲线. 2. 余弦函数的性质. 由单位圆中的余弦线或余弦函数 图象,可得余弦函数的性质: (1)值域: [-1,1] 当 x=2 k π,k ? Z 时, y max =1; 师:在[0,2 π]上,图象的 最高点、最低点坐标分别是什 况下, “五点法”是最常用的画余 弦函数图象的方法.

教师用问题引导 学生观察图象,初步掌 握余弦函数图象的形 状.



每个性质先用观 察余弦函数图象的方

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当 x=(2k+1)π, k?Z 时, y min =-1. 么?在定义域 R 上呢?

法得出,所以教师注 意用问题引导学生从

(2)周期性 余弦函数是一个周期函数,2?, 4 ?, ? , -2?, -4?, ?, 2 kπ (k?Z 且 k≠0),都是它的周期,2 π 是其最 小正周期. 因为 cos(x+k?2 π)=cos x (k?Z),所以余弦函数 y=cos x 在 x ? [-2 π,0],[2 π,4 π], [4 π,6π],? 时的图象与 x? [0, 2 π] 的形状完全一样,只是位置 不同. 所以余弦函数的图象每隔 2 π 重复出现. (3)奇偶性 由公式 cos(-x)=cos x 得知,余 新 弦函数是偶函数, 图象关于 y 轴对称. (4)单调性 余弦函数在闭区间[(2 k-1)π, 课 2 k π](k?Z)上,是增函数;在闭区间 师:余弦函数图象的升降情 [2kπ,(2k+1)π](k?Z)上是减函数. 况是怎样的? 生:余弦函数在[(2k-1)π, 2 k π](k?Z)上,图象是上升的, 在[2 k π,(2k+1)π](k?Z)上, 例 1 求下列函数的最大值、最小值 图象是下降的. 教师将例 1 结合函数图象讲 解,在练习后小结:各种函数图 象与 y=cos x 图象的关系,求函 由图 5-17 亦可以看出,角?和 角-?的余弦值是相等的.

哪些方面来考察余弦 函数图象,使学生考 察时有的放矢.

教师引导学生从 诱导公式(数)和余弦 函数图象(形)两个角 度探究余弦函数的各 个性质,培养学生数形 结合的思想.

和周期. (1) y=5cos x; (2) y=-8cos(-x).

利用两个例题, 使学生深入理解余弦 函数性质,进一步渗 透数形结合的思想.

练习 1 教材 P157, 练习 A 组第 1 题. 数最大值、最小值的规律.

例 2

不求值,比较下列各对余弦值 教师将例 2 结合诱导公式和 5π 7π 与 cos ; 4 5 余弦函数图象,讲解如何比较函

的大小: (1) cos

数值的大小,然后再引导学生一 23 π 17 π (2) cos(- )与 cos(- ). 起写出解题步骤. 5 4

练习 2 教材 P157, 练习 B 组第 1 题.

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小 结

1.“五点法”作图. 2. 余弦函数的图象. 3. 余弦函数的性质. 教材 P 157,练习 A 组第 2、3 题, 练习 B 组第 2 题.

教师小结典型例题及解题规 律.

利用典型题目, 再次强调数形结合解 题的思想.

作 业

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5.3.3
【教学目标】

已知三角函数值求角

1. 理解并掌握已知三角函数值求角的方法. 2. 通过教学,培养学生观察问题,分析问题,类比解决问题的能力. 3. 通过教学,渗透数形结合的思想. 【教学重点】 已知一个角的三角函数值,求指定范围内的角. 【教学难点】 已知一个角的三角函数值,求指定范围内的角. 【教学方法】 本节课主要采用观察、启发探究、类比的教学方法.运用现代化多媒体教学手段,教师设置问题 引导学生观察分析三角函数的图象,学会已知正弦值求角,并总结出这类题的解题步骤;对于由已知 余弦值或正切值求角,可在教师的问题引导下让学生自己类比求解. 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 π 1 师:我们知道 sin = ,反 6 2 导 入 复习:特殊角的三角函数值; 诱导公式,三角函数的简图. 1 过来, 若 sin x= , 则 x 等于多 2 π 少 ?x 的值只有 吗?我们这 6 节课就来研究这个问题:已知三 角函数值求角. 1.已知正弦值,求角. 1 例 1 已知 sin x= ,且 x??0,2 π), 2 求 x 的取值集合. 新 解 1 因为 sin x= , 2 π 1 sin = 6 2 5π 教师提示 的得出,既可以 6 用诱导公式,也可以根据正弦函 数图象. 复习旧知, 导入新课. 设计意图

所以 x 是第一或第二象限的角. 课 由

π 可知符号条件的第一象限的角是 . 6 π π 1 又由 sin(π- )=sin = , 6 6 2

师小结解题步骤: 1.定象限.

小结解题步骤, 给学生做题以明确的

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5π 可知符合条件的第二象限的角是 . 6 于是所求的角 x 的取值集合为 π 5π { , }. 6 6 π π 例 2 已知角 x??- , ?,求满足 2 2 下列各式的 x 的值: (1) sin x= 3 2 ;(2) sin x= ; 2 2

2.求锐角. 3.写形式.

思路.

例 2 教师可作一个,其他让 学生自己练习.

对比例1与例 2, 使学生明确已知三角

教师对比例1与例 2,提问: 函数值求角时,所给 为什么例1有两个解,而例 2 的 题目只有一个解? 区间的重要性.

1 (3) sin x=- ; (4) sin x=0.2672. 2 π π 解 (1) 因为在?- , ?上, 2 2 sin π 3 = , 3 2 π ; 3



所以 x=

π π (2) 因为在?- , ?上, 2 2 课 sin π 2 = , 4 2 π ; 4

所以 x=

π π (3) 因为在?- , ?上, 2 2 sin(- π 1 )=- , 6 2

π 所以 x=- ; 6 (4)使用函数计算器解题. (略)

例3

已知 sin x=-0.2156, 且-180?≤x≤180?,求 x . 解 因为 sin x=-0.2156, 通过例 3,教师再次强调已知 三角函数值求角的三个步骤: 1.定象限. 2.求锐角. 3.写形式. 巩固做题步骤.

所以 x 是第三或第四象限的角. 先求符合 sin x=0.2156 的锐角 x, 使用函数计算器解得 x≈12?27. 因为 sin(-12?27? )=-sin 12?27? =-0.215 6, 且 sin(12?27?-180?)=-sin12?27?

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=-0.215 6. 所以当-180?≤x≤180?时,所求 的角分别是 -12?27? 和 -167?33?. 2.已知余弦值、正切值,求角. 例 4 已知 cos x =- 2 , 2 教师可引导学生复习已知三 角函数值求角的三个步骤: 1.定象限. 2.求锐角. 3.写形式. 在此基础上,让学生自己解决 在此,可让学生 结合余弦函数图象, 验证结论是否正确, 培养数形结合的思想.

且 x??0,2π),求 x 的取值集合. 解 2 因为 cos x =- , 2

所以 x 是第二或第三象限的角. 例 4. 又因为 cos π 2 = , 4 2 π , 4

所以符合条件的锐角是

π π 2 因为 cos(π- )=-cos =- , 4 4 2 π π 2 且 cos(π+ )=-cos =- . 4 4 2 所以符号条件的第二象限角是 3π 5π ,符号条件的第三象限角是 . 4 4 新 3π 5π 于是所求角的集合为{ , }. 4 4 例 5 已知 tan x=- 课 3 ,且 3

π π x? (- , ),求 x 的值. 2 2 解 因为 tan x=- 3 , 3

所以 x 是第四象限的角. 又因为 tan π 3 = , 6 3 π . 6

所以符号条件的锐角是

π π 又因为 tan(- )=-tan = 6 6 - 3 , 3 π 所以所求角的 x =- . 6

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本节内容: 小 结 1.已知正弦值,求角. 2.已知余弦值,正切值,求角. 两类题目的解题步骤: (1) 定象限; (2) 求锐角; (3) 写形式. 师生一起总结本节内容与解 题步骤. 通过总结,统一 各例题的解题思路.

作 业

教材 P 162,练习 A 组第 1、2、3 题;练习 B 组第 1、2 题.

本节内容颇多, 可 分为两节讲授,教师 酌情布置课后作业.

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