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2016年湖南省高中数学竞赛(高二)(有答案解析)



2016 年湖南省高中数学竞赛 高二
6 月 25 日 9:00-11:00 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分。每小题提供的四个选项中只 有一项是符合题目要求的) 1.设集合 S ? ?A0 , A1 , A2 , A3 ?,在 S 上定义运算“ ? ”为: Ai ? A j ? Ak ,其中 k 为 i ? j 被 4 除的余数, i,

j ? 0,1,2,3. 则满足关系 ?x ? x ? ? A2 ? A0 的 x ?x ? S ? 的个数为

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2.一个骰子由 1-6 六个数字组成,根据如图所示三种状态显示的数字,可推得“?”的数 字是

A. 6

B. 3

C. 1

D. 2

3.设 f ( x) ? 2 x ? cos x , ?an ?是公差为 则 ? f (a3 )? ? a1a5 ?
2

? 的等差数列,f (a1 ) ? f (a2 ) ? L ? f (a5 ) ? 5? , 8

A. 0

B.

1 ? 16

C.

1 ? 8

D.

13 2 ? 16

4. 设 m, n 为 非 零 实 数 , i 为 虚 数 单 位 , z ? C , 则 方 程 z ? ni ? z ? mi ? n 与 方 程

z ? ni ? z ? mi ? ?m 的同一复平面内的图形(其中 F1 , F2 是焦点)是

1

5.给定平面向量 ?1,1? ,那么,平面向量 ?

?1? 3 1? 3 ? ? ? 2 , 2 ? 是将向量 ?1,1? 经过 ? ?
B. 顺时针旋转 1200 所得 D. 逆时针旋转 1200 所得

变换得到。

A. 顺时针旋转 600 所得 C. 逆时针旋转 600 所得

6.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手各比赛一场,但有 3 名选手各比赛了两 场之后就退出了,这样全部比赛只进行了 50 场,那么上述 3 名选手之间比赛的场数是

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 8 分,共 48 分) 7 . 规 定 : 对 于 x ? R , 当 且 仅 当 n ? x ? n ? 1(n ? N *) 时 , ?x? ? n 。 则 不 等 式

4?x? ? 36?x? ? 45 ? 0 的解集是
2

8.在三棱锥 S ? ABC 中, SA ? 4, SB ? 7, SC ? 9, AB ? 5, BC ? 6, AC ? 8 ,则三棱锥 的体积的最大值为 9.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数字 0 ,两个面上标以数字 1 ,一个面上 标以数字 2 。将这个正方体的抛掷两次,则向上的数之积的数学期望是 10.观察下列等式:
1 5 C5 ? C5 ? 23 ? 2 ; 1 5 9 C9 ? C9 ? C9 ? 2 7 ? 23 ; 1 5 9 13 C13 ? C13 ? C13 ? C13 ? 211 ? 25 ; 1 5 9 13 17 C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? 215 ? 27

。 。 。 。 。 。 由以上等式推测出一般的结论: 对于 n ? N *, C4n?1 ? C4n?1 ? C4n?1 ? L ? C4n?1 ?
1 5 9 4 n?1

2

11.方程 16 sin ?x cos ?x ? 16 x ?

1 的解的集合是 x

12. 当一个非空数集 F 满足条件 “如果 a, b ? F , 则 a ? b, a ? b, a ? b ? F , 且当 b ? 0 时,

a ? F ”时,我们称 F 就是一个数域。以下四个关于数域的命题: b
① 0 是 任 何 数 域 的 元 素 ; ② 若 数 域 F 有 非 零 元 素 , 则 2016 ? F ; ③ 集 合

P ? ?x | x ? 3k , k ? Z ?是一个数域;④有理数集是一个数域。
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号)

三、简答题(本大题共 4 个小题,满分 72 分) 13. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 0, 3 , 离心率为 , 2 2 a b

?

?

经 过椭圆 C 的 右焦 点 F 交椭圆 于 A, B 两点 ,点 A, F , B 在 直线 x ? 4 的射 影依次 是

D, K , E 。
(1)求椭圆的 C 的方程; (2)连接 AE, BD ,试探求当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点? 若是,请求出定点的坐标并给予证明;否则,说明理由。

3

14. (本小题满分 16 分)已知四边形 ABCD 是正方形, P 是边 CD 上一点(点 P 不与顶 点重合) ,延长 AP 与 BC 的延长线交于点 Q 。设 ?ABQ , ?PAD , ?PCQ 的内切圆半 径分别是 r1 , r2 , r3 。 (1)证明: r1 ? 4r2 r3 ,并指出点 P 在什么位置时等号成立; (2)若 AB ? 1, 试求证: 3 ? 2 2 ? r1 ? r2 ? r3 ?
2 2 2

2

1 。 2

15.已知函数 f ( x) ? x ln x ?

1 2 mx ? x, m ? R. 2

(1)当 m ? ?2 时,求函数 f ( x) 的所有零点; (2)若 f ( x) 有两个极值点 x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 ,求证: x1 ? x2 ? e 2 。

16



















x1 , x2 , x3 , x4











?1 1 1 1? ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 )? ?x ? x ? x ? x ? ? ? 17 。 2 3 4 ? ? 1
求证:从 x1 , x2 , x3 , x4 可任取 3 个数作为边长,共可构成 4 个不同的三角形。
4

参考答案

5

6

7

8

9

10



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