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江苏省苏泰州南通2010届高三第三次模拟考试(数学)



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江苏省苏泰州南通 2010 届高三第三次模拟考试(数学)

必做题部分
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 2. 有一容量为 10 的样本:2,4,7,6,5,9,7,10,3,8,则数据落在 ?

r />
5.5 , 7.5?

内的频率为 ▲ .

l 已知直线 l,m,n,平面 ? , m ? ? , n ? ? ,则“ l ? ? ”是“ l ? m , 且 ?n ”的 ▲ 条件.(填“充

分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”之一) 、 、 、 3. 已知集合

A ? ?2, , 4m ? (m ? 2)i? 7 ?

{ 3 ,且 A I B ? ? ,则 m , (其中 i 为虚数单位, m ? R ) B ? 8 } ,

的值为 ▲ . 4.
2 2 在区间[0,1]上任取两个数 a,b,则关于 x 的方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实数根的概率为 ▲ .

5. 6.

x≥0, ?tan x, f ( x) ? ? f 2 f 3π 4 ?log 2 (? x), x ? 0, 若函数 则

? ? ?? ?

▲ .

在区间 ?

?a,a? (a ? 0)

0,a? 内不间断的偶函数 f ( x) 满足 f (0) ? f (a) ? 0 , f ( x) 在区间 ? 且 上是单调函数,

则函数 y ? f ( x) 在区间 (?a,a) 内零点的个数是 ▲ . 7. 8. 执行如图所示的程序框图后,输出的结果是 ▲ .
x ? 2 ?1 x 不等式 的解集是

▲ .

y ? tan π x ? π 4 2 的图象上,则直线 AB 的方程为 ▲ . 9. 如图,点 A、B 在函数
开始

?

?

n ?6
S ?0
n ? n ?1

y 1 O A

S ?S ?n

S<15 N
输出 n

Y

B B

x

结束

(第 9 题)

第 1 页(共 12 页) (第 7 题)

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2 x2 ? y ? 1 10. 双曲线 16 9 上的点 P 到点(5, 0)的距离是 6,则点 P 的坐标是 ▲ .

11.

a 已知数列 ? n ? 为等差数列,若 a6

a5

? ?1
,则数列

? a ? 的最小项是第
n

▲ 项.

uur uur u 12. 在菱形 ABCD 中,若 AC ? 4 ,则 CA ? AB ?

▲ .

13. 已知点 P 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,PQ 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,且 y0 ? x0 ? 2 ,则

y0 x0 的取值范围是____▲____.
a1 ? 2,an ? 1 ? (n ? 2, , , ) 3 4 ??? ?a ? ?a ? an?1 数列 n 满足: ,若数列 n 有一个形如 an ? A sin(? n ? ? ) ? B 的通项
π A、B、?、? 均为实数,且 A ? 0,? ? 0,? ? 2 ,则 an ? 公式,其中

1

14.



.(只要写出一个通项公

式即可)

填空题答案
1.0.3 5.1 9. x ? y ? 2 ? 0 2.充分不必要 6.2 3.-2 7.3 10.(8, ?3 3 )
1 4. 2

8.

?x x ? ?2或0 ? x ? 1?



11.6

12.-8

?? 1 ,? 1 ? 5 13. 2
解答题参考答案

3 sin 2π n ? π ? 1 3 3 2 14.

?

?

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 1 15. (本题满分 14 分) , 3 1 m ? sin A, , sin 2 与 n ? 3, A ? 3 cos A 共线,其中 A 是△ABC 的内角. 已知向量 5 (1)求角 A 的大小;

?

?

?

?

(2)若 BC=2,求△ABC 面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状. 【解】 (1)因为 m//n,所以
sin A ? (sin A ? 3 cos A) ? 3 ? 0 2 .

?????????2 分 ????3 分

sin 2 A ? π ? 1 6 即 .
第 2 页(共 12 页)

?

?

3 sin 2 A ? 1 cos 2 A ? 1 1 ? cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 3 ? 0 2 2 2 2 2 所以 ,即 ,
???????????????????4 分 数学投稿咨询 QQ:1114962912

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因为 A? (0, π) , 所以

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11π 2A ? π ? ? π , 6 6 6 . ?????????????5 分 2A ? π ? π A? π 6 2, 3 . 故 ????????????7 分

?

?

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2 2 (2)由余弦定理,得 4 ? b ? c ? bc . ??????????????8 分



S?ABC ? 1 bc sin A ? 3 bc 2 4 ,

??????????????9 分

2 2 而 b ? c ≥2bc ? bc ? 4≥2bc ? bc≤4 , (当且仅当 b ? c 时等号成立) ????11 分

S?ABC ? 1 bc sin A ? 3 bc≤ 3 ? 4 ? 3 2 4 4 所以 . ?????????12 分 A? π 3 ,故此时△ABC 为等边三角形.?14 分 当△ABC 的面积取最大值时, b ? c .又 D 16. (本题满分 14 分)
如图, 已知四边形 ABCD 为矩形,AD ? 平面 ABE, AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE. (1)求证:AE//平面 BDF; A (2)求三棱锥 D-ACE 的体积. 【证明】 (1)设 AC I BD ? G ,连结 GF . 因为 BF ? 面 ACE , CE ? 面 ACE ,所以 BF ? CE . 因为 BE ? BC ,所以 F 为 EC 的中点. 在矩形 ABCD 中, G 为 AC 中点,所以 GF // AE . 因为 AE ? 面 BFD , GF ? 面 BFD ,所以 AE // 面 BFD . ???????????3 分 ??????5 分 ??????7 分 E (第 16 题) G B O F

C

B

(2)取 AB 中点 O ,连结 OE .因为 AE ? EB ,所以 OE ? AB . 因为 AD ? 面 ABE , OE ? 面 ABE ,所以 OE ? AD , 所以 OE ? 面 ADC . ?????????????????9 分

因为 BF ? 面 ACE , AE ? 面 ACE ,所以 BF ? AE . 因为 CB ? 面 ABE , AE ? 面 ABE ,所以 AE ? BC . 又 BF I BC ? B ,所以 AE ? 平面 BCE . 第 3 页(共 12 页) ???????????11 分 山东世纪金榜书业有限公司

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2 2 又 BE ? 面 BCE ,所以 AE ? EB .所以 AB ? AE ? BE ? 2 2 ,

OE ? 1 AB ? 2 2 .????12 分

故三棱锥 E ? ADC 的体积为
VD ? AEC ? VE ? ADC ? 1 S?ADC ? OE ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 4 3 3 2 3.

???????14 分

17 . (本题满分 15 分) 田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的 3 匹马分别为 A、B、C,田忌的 3 匹马分别为 a,b, c,6 匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为:A,a,B,b,C,c. 两人约定:6 匹马均需参赛,共赛 3 场,每场比赛双方各出 1 匹马,最终至少胜两场者为获胜. (1)如果双方均不知道对方的出马顺序,求田忌获胜的概率; (2)颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情,得知齐王第一场必出 A 马. 那么,田忌应怎样安 排马的出场顺序,才能使获胜的概率最大? 【解】记 A 与 a 比赛为(A,a) ,其它同理. (l) (方法 1)齐王与田忌赛马,有如下 6 种情况: (A,a),(B,b),(C,c)(A,a),(B,c),(C,b) ; ; (A,b),(B,c),(C,a)(A,b),(B,a),(C,c) ; ; (A,c),(B,a),(C,b)(A,c)(B,b)(C,a). ?????2 分 ; , , 其中田忌获胜的只有一种: (A,c),(B,a),(C,b).
P?1 6. 故田忌获胜的概率为

????????4 分

?????????????7 分

(方法 2)齐王与田忌赛马对局有 6 种可能: A a a b b c c B b c a c a b C c b c a b a ???????????????????????2 分 ??????4 分

其中田忌获胜的只有一种: (A,c),(B,a),(C,b).

若齐王出马顺序还有 ACB , BAC , BCA,CAB,CBA 等五种;每种田忌有一种可以获胜. 故田忌获胜的概率为
P? 6 ?1 6?6 6 .

??????????????7 分

(2)已知齐王第一场必出上等马 A,若田忌第一场必出上等马 a 或中等马 b,则剩下二场,田忌至少 第 4 页(共 12 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

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输一场,这时田忌必败.为了使自己获胜的概率最大,田忌第一场应出下等马 c.??9 分 后两场有两种情形: ①若齐王第二场派出中等马 B,可能的对阵为: (B,a),(C,b)或(B,b),(C,a) .
1 田忌获胜的概率为 2 .

????????????????????11 分

②若齐王第二场派出下等马 C,可能的对阵为: (C,a),(B,b)或(C,b),(B,a) .
1 田忌获胜的概率也为 2 .

????????????????????13 分

1 所以,田忌按 c , a , b 或 c , b , a 的顺序出马,才能使自己获胜的概率达到最大 2 ?14 分
1 答: (l)田忌获胜的概率 6 .

1 (2)田忌按 c , a , b 或 c , b , a 的顺序出马,才能使获胜的概率达到最大为 2 ??15 分

18. (本题满分 15 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知对于任意实数 k ,直线

?

3k ? 1 x ? k ? 3 y ? 3k ? 3 ? 0

? ?

? ?

?

恒过定点 F.

设椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F,且椭圆 C 上的点到 F 的最大距离为 2 ? 3 . (1)求椭圆 C 的方程;
2 2 2 (2)设(m,n)是椭圆 C 上的任意一点,圆 O: x ? y ? r (r ? 0) 与椭圆 C 有 4 个相异公共点,试分别

判断圆 O 与直线 l1:mx+ny=1 和 l2:mx+ny=4 的位置关系. 【解】 (1)

?

3k ? 1 x ? k ? 3 y ? 3k ? 3 ? 0 ?

? ?

? ?

?

?

3x ? y ? 3 k ? x ? 3 y ? 3 ? 0

? ?

?

, ?1 分

? 3x ? y ? 3 ? 0, ? ? F ? x ? 3 y ? 3 ? 0, 得 解?

?

3,0

?.

??????????????3 分

设椭圆 C 的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a,2b,2c,
? c ? 3, ? ? ?a ? c ? 2 ? 3.. 于是 a=2,b2=1. 则由题设,知 ?
x 2 ? y 2 ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 4

????????????5 分

????????????????6 分

2 2 2 (2)因为圆 O: x ? y ? r (r ? 0) 与椭圆 C 有 4 个相异公共点,

所以 b ? r ? a ,即 1 ? r ? 2. 第 5 页(共 12 页)

?????????????8 分 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

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x ? y2 ? 1 m ? n2 ? 1,且-2≤m≤2 因为点(m,n)是椭圆 4 上的点,所以 4 .

所以

???????????????10 分 1 d1 ? ≤ ?r 1 2 m ? n2 于是圆心 O 到直线 l1 的距离 ,???????????12 分 圆心 O 到直线 l2 的距离
d2 ? 4 ≥2 ? r m2 ? n2 .

m2 ? n2 = 3 m2 ? 1 ?[1, 2] 4 .

???????????14 分

故直线 l1 与圆 O 相交,直线 l2 与圆 O 相离.??????????????15 分

19. (本题满分 16 分) 设数列{an}是由正数组成的等比数列,公比为 q,Sn 是其前 n 项和. (1)证明
Sn ? Sn? 2 ? Sn?1



bn ? 4 an ?3 ? 4 an ?1 ? 2 an , ?b ? 15 5 5 (2)设 记数列 n 的前 n 项和为 Tn,试比较 q2Sn 和 Tn 的大小.

【证明】 (1)由题设知 a1>0,q>0. ???????????????1 分
2 2 2

(i)当 q=1 时,Sn=na1,于是 Sn· Sn+2- S n ?1 =na1· (n+2)a1-(n+1)2 a1 =- a1 <0, ?3 分
Sn ? a1 ?1 ? q n ? 1? q

(ii)当 q≠1 时,


? a12 ?1 ? q n ?1 ?
2

S2 于是 Sn· Sn+2- n?1

?

a12 ?1 ? q n ??1 ? q n ? 2 ?

?1 ? q ?
2

2

?1 ? q ?
2

2

2 n = ?a1 q ? 0 .

????7 分 . ?????8 分

由(i)和(ii),得 Sn· Sn+2- S n ?1 <0.所以 Sn· Sn+2< S n ?1 , (2) 方法一:
n k

Sn ? Sn? 2 ? Sn?1

bn ? 4 an ?3 ? 4 an ?1 ? 2 an ? 4 an q3 ? 4 an q ? 2 an , 15 5 5 15 5 5
n 3

????11 分

Tn= k ?1

4 ? b ? ? (15 a q
k ?1 k

? 4 ak q ? 2 ak ) ? 4 q 3 Sn ? 4 qSn ? 2 Sn 5 5 15 5 5



Sn (4q3 ? 15q2 ? 12q ? 6) 15 Tn-q2Sn= , Sn (4q(q ? 2)2 ? (q ? 2)2 ? 2) 15 = ≥2>0,
所以 Tn>q2S.
n n

?????????????13 分 ?????????????15 分

??????????????????????16 分
3

方法二:Tn=

4 ? b ? ? (15 a q
k ?1 k k ?1 k

? 4 ak q ? 2 ak ) ? 4 q 3 Sn ? 4 qSn ? 2 Sn 5 5 15 5 5

, ???11 分

第 6 页(共 12 页)

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Tn ? 4 q? 4 ? 2 2 5q 5 q Sn 15

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???????????????????13 分

4 q ? 4 ≥2 4 ? 4 ? 8 3 4 q? 4 q ? 0 ,所以 15 5q ,即 q ? 3 时取“=”号) 5q 15 5 15 (当且仅当 15 因为 ,
8 3 ? 2 ? 6 ? 8 3 ?1 5 15 因为 15 ,
Tn ?1 q 2 Sn

所以

,即 Tn>q2S.

???????????16 分

20. (本题满分 16 分)
2 * 已知函数 f ( x) ? x ? 2a cos kπ ? ln x(k ?N , a ? R ,且 a ? 0 ) .

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若 k ? 2010 ,关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax 有唯一解,求 a 的值. 【解】 (1)由已知得 x>0 且
f ?( x) ? 2 x ? (?1)k ? 2a x .

? 当 k 是奇数时, f ( x) ? 0 ,则 f(x)在(0,+ ? )上是增函数;

?????3 分

f ?( x) ? 2x ? 2a ? x 当 k 是偶数时,则
所以当 x ?

2( x ? a )( x ? a ) x .

????????5 分

? 0, a ? 时, f ?( x) ? 0 ,当 x? ? a, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 . ? 0, a ? 上是减函数,在 ? a, ?? ? 上是增函数.??????7 分

故当 k 是偶数时,f (x)在

2 * (2)若 k ? 2010 ,则 f ( x) ? x ? 2a ln x(k ?N ) .

g ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2a ? 2 ( x 2 ? ax ? a) x x 记 g (x) = f (x) – 2ax = x 2 – 2 a xlnx – 2ax, ,

若方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解;
2 ? 令 g ( x) ? 0 ,得 x ? ax ? a ? 0 .因为 a ? 0, x ? 0 ,

??????????9 分

2 2 x 1 ? a ? a ? 4a ? 0 x 2 ? a ? a ? 4a 2 2 所以 (舍去) , .

????????11 分

? 当 x ? (0, x2 ) 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 是单调递减函数; ? 当 x ? ( x2 , ??) 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上是单调递增函数.

第 7 页(共 12 页)

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? 当 x=x2 时, g ( x2 ) ? 0 , g ( x)min ? g ( x2 ) .

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??????????12 分

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因为 g ( x) ? 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) ? 0 .

? 2 ? g ( x2 ) ? 0, ? x2 ? 2a ln x2 ? 2ax2 ? 0, ? ? g ?( x2 ) ? 0, ? x22 ? ax 2 ?a ? 0, 则? 即?

??????????13 分
(*) .??14 分

两式相减得 a ln x2 ? ax2 ? a ? 0, 因为 a>0,所以 2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 设函数 h( x) ? 2ln x ? x ? 1 , 因为在 x>0 时,h (x)是增函数,所以 h (x) = 0 至多有一解. 因为 h (1) = 0,所以方程(*)的解为 x 2 = 1,从而解得

a?1 2 ????16 分

附加题部分
21. (选做题)本大题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题. 每小题 10 分,共 20 分.请 在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, C , F 是⊙ O 上的两点, OC ⊥ AB , 过点 F 作⊙ O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D .连结 CF 交 C

AB 于点 E .
2 求证: DE ? DB ? DA .

A

E O

B

D

F 【证明】连结 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90° . 所以∠OFC+∠CFD=90° . 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90° . ?????????5 分 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为 DF 是⊙O 的切线,所以 DF2=DB· DA.所以 DE2=DB· DA. ?????10 分

B. 选修 4-2:矩阵与变换

第 8 页(共 12 页)

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?2 1? ?1 2 ? ? 的特征值及对应的特征向量. 求矩阵 ? f (? ) ?
【解】特征多项式

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? ?2
?1

?1 ? (? ? 2)2 ? 1 ? ? 2 ? 4? ? 3 ? ?2



????3 分

由 f (? ) ? 0 ,解得 ?1 ? 1, ?2 ? 3 .

???????????????6 分

?? x ? y ? 0, ?x? y?0 ? ?1 ? 1 代入特征方程组,得 ?? x ? y ? 0 将 . ?1? ? ?1? 可取 ? ? 为属于特征值 ? 1=1 的一个特征向量. ??????????8 分
? x ? y ? 0, ? x? y?0 ? ?? x ? y ? 0

将 ?2 ? 3 代入特征方程组, 得

.

可取

?1? ?1? ? ?

为属于特征值 ?2 ? 3 的一个特征向量.

?2 1? ?1? ?1 2 ? ? ? , ? 有两个特征值 ?1 ? 1 ?2 ? 3 ;属于 ?1 ? 1 的一个特征向量为 ? ?1? , 综上所述,矩阵 ? ?1? ?1? ? ?

属于 ?2 ? 3 的一个特征向量为



????????????10 分

C. 选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? ? 3 t ? 2, ? 5 ? 4t ?y ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) .

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值.
2 【解】 (1)曲线 C 的极坐标方程可化为 ? ? 2? sin ? . 2 2 2 又 x ? y ? ? , x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 2 2 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 0 .

????????2 分

?????????4 分
y ? ? 4 ( x ? 2) 3 .???????6 分

(2)将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,得 令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0). 第 9 页(共 12 页)

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MC ? 5

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又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(1,0),半径 r ? 1,则 所以
MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1

. ????8 分



????????????10 分

D.选修 4-5:不等式选讲

1 ? 1 ? 1≥9. a1,a2,a3 均为正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? m ,求证 a1 a2 a3 m 设
1 1 1 3 ( 1 ? 1 ? 1 )gm ? (a1 ? a2 ? a3 )( 1 ? 1 ? 1 ) ≥3 a1 ? a2 ? a3 ? 3 3 a ? a ? a ? 9 a1 a2 a3 a1 a2 a3 1 2 3 【证明】因为 ,

当且仅当

a1 ? a2 ? a3 ? m 3 时等号成立.

又因为 m ? a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,

1 ? 1 ? 1≥9. a1 a2 a3 m 所以

?????10 分

22. 必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1 1 1中 如 图 , 在 三 棱 柱 A B C? A B C , A B ? A C, 顶 点 A1 在 底 面 ABC 上 的 射 影 恰 为 点 B , 且

A B ? A C? 1A B 2 . ?
(1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小;

第 10 页(共 12 页)

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(2)在棱 B1C1 上确定一点 P,使 AP ? 14 ,并求出二面角

P ? AB ? A1 的平面角的余弦值.
【解】 (1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系, 则

C1 B1

A1

C ? 2,,?,B ? 0,,?,A1 ? 0,,?,B1 ? 0,,? 00 20 2 2 4 2
. ???? ??? ? ???? ??? ? AA ? BC ?4 1 cos? AA1,BC ? ? ????1 ??? ? ?? ? 2 8? 8 AA1 ? BC


C B A

???? AA1 ? ? 0,,? 2 2



??? ????? ? BC ? B1C1 ? ? 2, 2,? ? 0

(第 22 题) ,

π 故 AA1 与棱 BC 所成的角是 3 . ?????????4 分 ???? ???? ? P 2?, ? 2?, ? 4 2 B P ? ? B1C1 ? ? 2?, 2?,? ? 0 (2)设 1 ,则 ? .

C1 P B1

A1

z

于是

AP ? 4? 2 ? ? 4 ? 2? ? ? 4 ? 14 ? ? ?
2

1 3 ?? 2( 2 舍去) ,
x C

则 P 为棱 B1C1 的中点,其坐标为

P ?1,, ? 32 ? x, y, z

. ????6 分

A

?, 设平面 P ? AB ? A1 的法向量为 n1 ? ??? ? ?n1 ? AP ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0, ? x ? ?2 z, ? ?? ?? ? ? ??? ?2 y ? 0. ? y ? 0. ?n1 ? AB ? 0 则?
故 n1

y

B

? ? ?2, , ? 0 1

. ??????????????8 分

而平面 ABA1 的法向量是 n2=(1,0,0),则

cos? n1 , n2 ? ?

n1 ? n2 ?2 2 5 ? ?? n1 ? n2 5 5 ,

2 5 故二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是 5 .?????10 分

23.必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 f ( x) ? ln 2 (1 ? x) ? x 2 1 ? x , g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x ? 2x . 已知函数

? (1)证明:当 x ? (0, ?) 时, g ( x) ? 0 ;

(2)求函数 f ( x) 的的极值.
2 ? 【解】 (1) g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x ? 2x ,则 g ( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x .

第 11 页(共 12 页)

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令 h( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x ,则

圆您梦想
?????1 分

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h?( x) ? 2 ? 2 ? ?2 x 1? x 1? x .

? 当 ?1 ? x ? 0 时, h ( x) ? 0 , h( x) 在 (?1,0) 上为增函数. ? ? 当 x>0 时, h ( x) ? 0 , h( x) 在 (0, ?) 上为减函数. ????????3 分

? 所以 h(x)在 x=0 处取得极大值,而 h(0)=0,所以 g ( x) ? 0( x ? 0) ,
? 函数 g(x)在 (0, ?) 上为减函数. ????????????????4 分

当 x>0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 .

???????????????5 分

? (2)函数 f ( x) 的定义域是 (?1, ?) ,
f ?( x) ? 2 ln(1 ? x) x 2 ? 2 x 2(1 ? x) ln(1 ? x) ? x 2 ? 2 x ? ? 1? x (1 ? x) 2 (1 ? x) 2



????????6 分

由(1)知,
2 当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x ? 2 x ? g (0) ? 0 ,

当 x>0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,
? 所以,当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? 0 f ( x) 在(-1,0)上为增函数. ? ? 当 x>0 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ?) 上为减函数.

????????8 分

? 故函数 f ( x) 的单调递增区间为(-1,0) ,单调递减区间为 (0, ?) .

故 x=0 时 f ( x) 有极大值 0.

?????????10 分

第 12 页(共 12 页)

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