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金牌数学2015年5月25日高考导数问题常见的分类讨论(师)2



金牌数学高三数学高频考点复习资料

在高考中导数问题常见的分类讨论
(一)热点透析 由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用,所以自从导数进入高考后,立即得到普遍地 重视,在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额,许多试题放在较后的位置,且有一定的难度.. 分类讨论是中学数学的一种解题思想,如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论,这就要

求大家平时就 要有一种全局的观点,同时要有不遗不漏的观点。只有这样在解题时才能做到有的放矢。下面我想通过对导数 类题的解答的分析,来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。 (二)知识回顾 1. 函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增;如果 f′(x)<0,那么函数 y =f(x)在这个区间内单调递减. 2. 函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时, ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根; ③检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大 值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值. 3. 函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f(x)在[a,b]上单调 递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. (三)疑难解释 1. 可导函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间 上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较. 2. f′(x)>0 在(a,b)上成立是 f(x)在(a,b)上单调递增的充分条件.
业精于勤而荒于嬉,行成于思而毁于随! 1 戴氏教育集团

3. 对于可导函数 f(x),f′(x0)=0 是函数 f(x)在 x=x0 处有极值的必要不充分条件. 附件:当堂过手训练(快练五分钟,稳准建奇功!) x2+a 1. 若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a=________. x+1 2. 函数 f(x)=x3+ax-2 在(1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是________. 3. 如图是 y=f(x)导数的图象,对于下列四个判断: ①f(x)在[-2,-1]上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数; ④x=3 是 f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________.(填序号) 4. 设函数 g(x)=x(x2-1),则 g(x)在区间[0,1]上的最小值为 A.-1 B.0 2 3 C.- 9 D. 3 3 ( )

5. (2011· 辽宁)函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为 ( A.(-1,1) C.(-∞,-1) 二、高频考点专题链接 题型一. 需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。也就是要讨论导数为零的点 是否在定义域内,在定义域内要讨论它给定的区间左、中、右,以确认函数在此区间上的单调性。 例 1、已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且满足 f(0)=1, f(1)=0. (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值. 变式 1:设函数 f ? x ? ? x ? b ln ? x ? 1? ,其中 b ? 0 ,求函数 f ? x ? 的极值点。
2

)

B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞)

题型二 需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。由于求单调区间通常要解一元二次不等式,要写 出它的解,就必须知道它两根的大小,否则就要对两根大小分类讨论。求导后,导函数为零有实根(或导函数 的分子能分解因式) ,但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。求导后,导函数为零有实根 (或导函数的分子能分解因式) ,导函数为零的实根也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨 论。

业精于勤而荒于嬉,行成于思而毁于随!

2

戴氏教育集团

例 2、设函数



),其中

.当

时,求函数

的极大值和极小值

2ax ? a 2 ? 1 变式 2:已知函数 f ? x ? ? ? x ? R ? ,其中 a ? R 。 x2 ? 1
(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 2, f ? 2? 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。 题型三 对函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 是否为二次函数进行讨论或需对一元二次方程的判别式进行讨论的问题。 由于许多问题通过求导后转化为二次函数或二次不等式,它们对应的二次方程是否有解,就要对判别式讨论。 例 3、(2012 年北京高考题)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx (1) 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a、b 的值; (2) 当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值, 变式 3-1、已知函数 f ( x) ?

?

?

1 , g ( x) ? bx2 ? 3x . x?a

(Ⅰ)若曲线 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在点(1,0)处的切线斜率为 0,求 a,b 的值; (Ⅱ)当 a ? [3, ??) ,且 ab=8 时,求函数 ? ( x ) ?

g ( x) 的单调区间,并讨论函数在区间[-2,-1]上的最小值. f ( x)

变式 3-2、已知:函数 f ? x ? ?

ex (其中常数 a < 0 ).(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的定义域及单调区间; x?a
1 成立,求 a 的取值范围. 2

(Ⅱ)若存在实数 x ? ? a,0? ,使得不等式 f ? x ? ? 题型四

“曲线过一点的切线”与“曲线在该点处的切线”两个概念是不同的

? 2) 的切线方程. 例 4、求曲线 y ? 3x ? x3 的过点 A(2,

变式 4、已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 1 ( x ? R) .
3 2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)求函数 f ( x ) 在闭区间 ? 0, 2? 的最小值. 题型五 不等式两边同除一个数或式子,要讨论它的正负的问题。
kx

例 5、设函数 f ( x) ? xe (k ? 0) (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围. 变式 5、已知函数 f ( x) = (ax + 1)e x . (I)求函数 f ( x) 的单调区间;
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(Ⅱ)当 a > 0 时,求函数 f ( x) 在区间 [- 2,0] 上的最小值. 典例:(14 分)已知函数 f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值. 方法总结 方法 1. 注意单调函数的充要条件,尤其对于已知单调性求参数值(范围)时,隐含恒成立思想. 2. 求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全;含参数时,要讨论参数的大小. 3. 在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可, 不必再与端点的函数值比较. 总结 1. 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能. 2. 函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论. 3. 题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好 f′(x)=0 时的情况;区分极值点和导数为 0 的点.

巩固练习(时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 若函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象可能为 ( )

2. 设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值点,则 A.a<-1 1 C.a>- e B.a>-1 1 D.a<- e

(

)

3. 函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是 A.-2 B.0 C.2 D.4

(

)

1 1 4. 若函数 f(x)= x3- ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,则实数 a 的取值 3 2 范围是 A.a≤2
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( B.5≤a≤7
4

)

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C.4≤a≤6 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

D.a≤5 或 a≥7

5. 已知 f(x)=2x3-6x2+m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为________. 6. 已知函数 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,函数 g(x)=-x3+2x2+mx+5 在(-∞,+∞)内单调递减, 则实数 m=________. 7. 函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是________. 三、解答题(共 22 分) 1 8. (10 分)已知函数 f(x)=ax2+bln x 在 x=1 处有极值 . 2 (1)求 a,b 的值;(2)求函数 y=f(x)的单调区间. 1 9. (12 分)已知函数 f(x)=ln|x| (x≠0),函数 g(x)= +af′(x) (x≠0). f′?x? (1)求函数 y=g(x)的表达式; (2)若 a>0,函数 y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是 2,求 a 的值. 拓展训练(时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. (2012· 重庆)设函数 f(x)在 R 上可导, 其导函数为 f′(x), 且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值, 则函数 y=xf′(x) 的图象可能是 ( )

2. 函数 y=xe x,x∈[0,4]的最小值为


(

)

1 A.0 B. e

4 2 C. 4 D. 2 e e

3. f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x<0 时,f(x)+x· f′(x)<0,且 f(-4)=0,则不等式 xf(x)>0 的解集为 ( A.(-4,0)∪(4,+∞) C.(-∞,-4)∪(4,+∞) 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c (x∈[-2,2])对应的曲线 C 过坐标原点,且在 x=± 1 处切线的斜率均为-1,则 f(x)的最大值和最小值之和等于________.
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)

B.(-4,0)∪(0,4) D.(-∞,-4)∪(0,4)

1 x- ?-2ln x(p 是实数),若函数 f(x)在其定义域内单调递增,则实数 p 的取值范围为______. 5. 设函数 f(x)=p? ? x? 6. 已知函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围是________. 三、解答题 7.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3bx ? c(b ? 0), 且g ( x) ? f ( x) ? 2 是奇函数.(Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间.

答案
附件:当堂过手训练(快练五分钟,稳准建奇功!) x2+a 1. 若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a=________. x+1 答案 3 解析 2x2+2x-x2-a x2+2x-a f′(x)= = .因为 f(x)在 x=1 处取极值,所以 1 是 f′(x)=0 的根,将 x=1 代 ?x+1?2 ?x+1?2

入得 a=3. 2. 函数 f(x)=x3+ax-2 在(1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是________. 答案 解析 [-3,+∞) f′(x)=3x2+a,f′(x)在区间(1,+∞)上是增函数,

则f′(x)=3x2+a≥0 在(1,+∞)上恒成立,即a≥-3x2在(1,+∞)上恒成立.∴a≥-3. 3. 如图是 y=f(x)导数的图象,对于下列四个判断: ①f(x)在[-2,-1]上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数; ④x=3 是 f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________.(填序号) 答案 ②③ 解析 ①∵f′(x)在[-2,-1]上是小于等于 0 的, ∴f(x)在[-2,-1]上是减函数; ②∵f′(-1)=0 且在 x=0 两侧的导数值为左负右正, ∴x=-1 是 f(x)的极小值点;
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③对, ④不对,由于 f′(3)≠0. 4. 设函数 g(x)=x(x2-1),则 g(x)在区间[0,1]上的最小值为 A.-1 答案 C 解析 g(x)=x3-x,由 g′(x)=3x2-1=0,解得 x1= 当 x 变化时,g′(x)与 g(x)的变化情况如下表: 3 3 ,x2=- (舍去). 3 3 B.0 2 3 C.- 9 D. 3 3 ( )

x g′(x) g(x) 所以当 x=

0

?0, 3? 3? ?


3 3 0 极小值

? 3,1? ?3 ?
+ ?

1

0

?

0

3 2 3 3 时,g(x)有最小值 g? ?=- . 3 9 3 ? ?

5. (2011· 辽宁)函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为 ( A.(-1,1) C.(-∞,-1) 答案 B 解析 设 m(x)=f(x)-(2x+4),∵m′(x)=f′(x)-2>0,∴m(x)在 R 上是增函数.∵m(-1)=f(-1)-(-2+ 4)=0,∴m(x)>0 的解集为{x|x>-1},即 f(x)>2x+4 的解集为(-1,+∞). 二、高频考点专题链接 题型一. 需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。也就是要讨论导数为零的点 是否在定义域内,在定义域内要讨论它给定的区间左、中、右,以确认函数在此区间上的单调性。 例 1、已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且满足 f(0)=1, f(1)=0. (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值. 解 (1)由 f(0)=1,f(1)=0,得 c=1,a+b=-1,则 f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex, B.(-1,+∞) D.(-∞,+∞) )

依题意需对任意 x∈(0,1),有 f′(x)<0. 当 a>0 时,因为二次函数 y=ax2+(a-1)x-a 的图象开口向上,而 f′(0)=-a<0, 所以需 f′(1)=(a-1)e<0,即 0<a<1.
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当 a=1 时,对任意 x∈(0,1)有 f′(x)=(x2-1)ex<0,f(x)符合条件; 当 a=0 时,对任意 x∈(0,1),f′(x)=-xex<0,f(x)符合条件; 当 a<0 时,因为 f′(0)=-a>0,f(x)不符合条件. 故 a 的取值范围为 0≤a≤1. (2)因为 g(x)=(-2ax+1+a)ex, 所以 g′(x)=(-2ax+1-a)ex. (i)当 a=0 时,g′(x)=ex>0,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1,在 x=1 处取得最大值 g(1)=e. (ii)当 a=1 时,对于任意 x∈(0,1)有 g′(x)=-2xex<0,g(x)在 x=0 处取得最大值 g(0)=2,在 x=1 处取得最 小值 g(1)=0. 1-a (iii)当 0<a<1 时,由 g′(x)=0 得 x= >0. 2a 1-a 1 ①若 ≥1,即 0<a≤ 时,g(x)在[0,1]上单调递增,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a,在 x=1 处取得 2a 3 最大值 g(1)=(1-a)e. 1-a 1-a 1-a ?1-a? 1 ②若 <1,即 <a<1 时,g(x)在 x= 处取得最大值 g? =2ae ,在 x=0 或 x=1 处取得最小值. ? 2a 3 2a 2a ? 2a ? 而 g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e, e-1 1 则当 <a≤ 时,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a; 3 e+1 当 e-1 <a<1 时,g(x)在 x=1 处取得最小值 g(1)=(1-a)e. e+1
2

变式 1:设函数 f ? x ? ? x ? b ln ? x ? 1? ,其中 b ? 0 ,求函数 f ? x ? 的极值点。 解:由题意可得 f ? x ? 的定义域为 ? ?1, ?? ? , f
'

? x ? ? 2x ?

b 2x2 ? 2x ? b ' ? , f ? x ? 的分母 x ? 1 在定义域 x ?1 x ?1

? ?1, ??? 上恒为正,方程 2 x2 ? 2 x ? b ? 0 是否有实根,需要对参数 b 的取值进行讨论。
当 ? ? 4 ? 8b ? 0 ,即 b ?

1 1 2 时,方程 2 x ? 2 x ? b ? 0 无实根或只有唯一根 x ? ? ,所以 2 2

g ? x ? ? 2x2 ? 2x ? b ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立,则 f ' ? x ? ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立,所以函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ?
上单调递增,从而函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上无极值点。
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当 ? ? 4 ? 8b ? 0 ,即 b ?

1 2 时,方程 2 x ? 2 x ? b ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 有两个不相等的实根: 2

x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 。这两个根是否都在定义域 ? ?1, ?? ? 内呢?又需要对参数 b 的取值分情况 , x2 ? 2 2

作如下讨论:

当 b ? 0 时, x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1, x2 ? ? ?1 , 2 2
'

所以 x1 ? ? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? 。此时, f

? x ? 与 f ? x ? 随 x 的变化情况如下表:

由此表可知:当 b ? 0 时, f ? x ? 有唯一极小值点 x2 ?

?1 ? 1 ? 2b 。 2

当0 ? b ?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, x1 ? ? ?1, x2 ? ? ?1 , 2 2 2
'

所以 x1 ? ? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? 。此时, f

? x ? 与 f ? x ? 随 x 的变化情况如下表:

由此表可知:当 0 ? b ?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ? x ? 有一个极大值点 x1 ? 和一个极小值点 x2 ? 。 2 2 2

综上所述: 当 b ? 0 时, f ? x ? 有唯一极小值点 x ?

?1 ? 1 ? 2b ; 2

当0 ? b ? 当b ?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ? x ? 有一个极大值点 x ? 和一个极小值点 x ? ; 2 2 2

1 时, f ? x ? 无极值点。 2

点评:从以上诸例不难看出,在对含参数的导数问题的讨论时,只要把握以上三个基本讨论点,那么讨论就有了
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方向和切入点,即使问题较为复杂,讨论起来也会得心应手、层次分明,从而使问题迎刃而解。 题型二 需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。由于求单调区间通常要解一元二次不等式,要写 出它的解,就必须知道它两根的大小,否则就要对两根大小分类讨论。求导后,导函数为零有实根(或导函数 的分子能分解因式) ,但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。求导后,导函数为零有实根 (或导函数的分子能分解因式) ,导函数为零的实根也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨 论。 例 2、设函数 解: 令 由于 (1)若 ,解得 或 . ( ),其中 , .当 时,求函数 的极大值和极小值 .

,以下分两种情况讨论. ,当 变化时, 的正负如下表:

因此,函数



处取得极小值

,且 .



函数 在 处取得极大值 ,且 (2)若 ,当 变化时, 的正负如下表:

因此,函数 函数 在



处取得极小值 ,且

,且

; . 的大小分类讨论,从而分为当 a ? 0 与 a ? 0 两种情况.

处取得极大值 两根得

评析:此题需对方程 变式 2:已知函数 f ? x ? ?



2ax ? a 2 ? 1 ? x ? R ? ,其中 a ? R 。 x2 ? 1

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 2, f ? 2? 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。 解: (1)当 a ? 1 时,曲线 y ? f ? x ? 在点 2, f ? 2? 处的切线方程为 6 x ? 25y ? 32 ? 0 ;
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?

?

?

?

' (2)由于 a ? 0 ,所以 f ? x ? ?

2a ? x 2 ? 1? ? 2 x ? 2ax ? a 2 ? 1?

?x

2

? 1?

2

1? ? ?2a ? x ? a ? ? x ? ? a? ? ? , 2 ? x2 ? 1?

由 f ' ? x ? ? 0 ,得 x1 ? ?

1 , x2 ? a 。这两个实根都在定义域 R 内,但不知它们之间的大小。因此,需对参数 a 的 a

取值分 a ? 0 和 a ? 0 两种情况进行讨论。 当 a ? 0 时,则 x1 ? x2 。易得 f ? x ? 在区间 ? ??, ? 数 f ? x ? 在 x1 ? ?

? ?

1? ? 1 ? ? , ? a, ??? 内为减函数,在区间 ? ? , a ? 为增函数。故函 a? ? a ?

1 ? 1? 2 处取得极小值 f ? ? ? ? ? a ;函数 f ? x ? 在 x2 ? a 处取得极大值 f ? a ? ? 1 。 a ? a?
1 1 ,?? ) 内为增函数,在区间 ( a ,? ) 为减函数。故函数 a a

当 a ? 0 时,则 x1 ? x2 。易得 f ? x ? 在区间 ( ??, a ) , (?

f ? x ? 在 x1 ? ?

1 ? 1? 2 处取得极小值 f ? ? ? ? ? a ;函数 f ? x ? 在 x2 ? a 处取得极大值 f ? a ? ? 1 。 a a ? ?

点评:以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点,在求解有关含参数的导数问题时,可按上述三点的顺序 对参数进行讨论。因此,对含参数的导数问题的讨论,还是有一定的规律可循的。当然,在具体解题中,可能要 讨论其中的两点或三点,这时的讨论就更复杂一些了,需要灵活把握。 题型三 对函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 是否为二次函数进行讨论或需对一元二次方程的判别式进行讨论的问题。 由于许多问题通过求导后转化为二次函数或二次不等式,它们对应的二次方程是否有解,就要对判别式讨论。
2

例 3、(2012 年北京高考题)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx (3) 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a、b 的值; (4) 当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值, 解: (?)由 ?1, c ? 为公共切点可得:?
f ( x) ? ax2 ? 1(a ? 0) ,则 f ?( x) ? 2ax , k1 ? 2a ,
g ( x) ? x3 ? bx ,则 f ?( x)=3x 2 ? b , k2 ? 3 ? b ,

? 2a ? 3 ? b ,又 f (1) ? a ? 1 , g (1) ? 1 ? b , ? a ? 1 ? 1 ? b ,即 a ? b ,代入①式可得: ?
?a ? 3 . ?b ? 3

1 2 (2)? a ? 4b ,? 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? 1 4

a a 1 a a 则 h?( x) ? 3x2 ? 2ax ? a 2 ,令 h?( x) ? 0 ,解得: x1 ? ? , x2 ? ? ;? a ? 0 ,? ? ? ? , 2 6 4 2 6

? 原函数在 ? ?? ,? ? 单调递增,在 ? ? ,? ? 单调递减,在 ? ? ,? ? ? 上单调递增 6 2 2 6
? ?
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? ?

a?

? a ?

a?

? a ?

? ?

①若 ?1≤ ? ③若 ?1 ≥?

a2 a a a ? a? , 即 a≤2 时, 最大值为 h(1) ? a ? ; ②若 ? ? ?1 ? ? , 即 2 ? a ? 6 时, 最大值为 h ? ? ? ? 1 2 2 6 4 ? 2?
a ? a? 时,即 a≥6 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 . 6 ? 2?

2? 时,最大值为 h(1) ? a ? 综上所述:当 a ? ? 0 ,
变式 3-1、已知函数 f ( x) ?

a2 ? a? ;当 a ? ? 2 , ? ?? 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 . ? 2? 4

1 , g ( x) ? bx2 ? 3x . x?a

(Ⅰ)若曲线 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在点(1,0)处的切线斜率为 0,求 a,b 的值; (Ⅱ)当 a ? [3, ??) ,且 ab=8 时,求函数 ? ( x ) ?

g ( x) 的单调区间,并讨论函数在区间[-2,-1]上的最小值. f ( x) 1 ? 2 bx ? 3 , ( x ? a) 2

解:(Ⅰ)函数 h(x)定义域为{x|x≠-a},则 h?( x) ? f ?( x) ? g ?( x) ? ?

? h(x)在点(1,0)处的切线斜率为 0,
? 1 ? b ? 3 ? 0, 4 ? ?h(1) ? 0, ? ?a ? 0, ?1 ? a ?a ? ? , 即? ,解得 ? 或? ?? 3 ?h?(1) ? 0. ?? 1 ? 2b ? 3 ? 0. ?b ? ?2, ?b ? ?6. ? 2 ? ? (1 ? a)
(Ⅱ)记 ? (x)=

g ( x) 2 ,则 ? (x)=(x+a)(bx +3x)(x≠-a), f ( x)

8 8 2 ,? ? ( x) ? ( x ? a )( x ? 3 x) (x≠-a), a a 1 1 3 1 ? ? ?( x) ? (24 x 2 ? 22ax ? 3a 2 ) ? (4 x ? 3a)(6 x ? a) ,令 ? ?( x) ? 0 ,得 x ? ? a ,或 x ? ? a , a a 4 6 3 1 ? 因为 a ??3, ??? ,? 所以 ? a ? ? a , 4 6 3 1 3 1 ? 故当 x ? ? a ,或 x ? ? a 时, ? ?( x) ? 0 ,当 ? a ? x ? ? a 时, ? ?( x) ? 0 , 4 6 4 6 3 1 3 1 ? 函数 ? (x)的单调递增区间为 (??, ?a), (?a, ? a), (? a, ??) ;单调递减区间为 (? a, ? a) , 4 6 4 6 3a 9 a 1 ? a ? [3, ??) ,? ? ? ? , ? ? ? , 4 4 6 2 a ① 当 ? ? ?2 ,即 a ? 12 时, ? ? (x)在[-2,-1]单调递增, 6 64 ? ? (x)在该区间的最小值为 ? (?2) ? ? ? 44 ? 6a , a a a a ② 当 ?2 ? ? ? ?1 时,即 6 ? a ? 12 , ? ? (x)在[-2, ? 单调递减, 在 ( ? , ?1] 单调递增, ? 6 6 6

? ab=8,所以 b ?

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12

戴氏教育集团

a 25 2 a , ? ? (x)在该区间的最小值为 ? ( ? ) ? ? 6 108 a ③当 ? ? ?1 时,即 3 ? a ? 6 时, ? ? (x)在[-2,-1]单调递减, ? ? (x)在该区间的最小值 6 8 为 ? (?1) ? ? ? 11 ? 3a , a 25 2 8 a ; 综上所述,当 3 ? a ? 6 时,最小值为 ? ? 11 ? 3a ;当 6 ? a ? 12 时,最小值为 ? 108 a 64 ? 44 ? 6a . 当 a ? 12 时,最小值为 ? a
变式 3-2、已知:函数 f ? x ? ?

ex (其中常数 a < 0 ).(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的定义域及单调区间; x?a
1 成立,求 a 的取值范围. 2

(Ⅱ)若存在实数 x ? ? a,0? ,使得不等式 f ? x ? ? 解: (Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 x x ? a , f ? ? x ? ?

?

?

e x ? x ? a ? ? e x ?1

? x ? a?

2

?

ex ? ? x ? ? a ? 1? ? ?

? x ? a?

2

.

由 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? a ? 1 .由 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? a ? 1 且 x ? a . ∴ f ? x ? 的单调递增区间为 ? a ? 1, ?? ? ,单调递减区间为 ? ??, a ? , ? a, a ? 1? . (Ⅱ)由题意可知, a ? 0 ,且 f ? x ? ? 等式 f ? x ? ?

1 ex 在 ? a, 0? 上的最小值小于等于 时,存在实数 x ? ? a,0? ,使得不 2 x?a

1 成立 2 若 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 时,
x

? a, a ? 1?
? ↘
a?1

a+1
0 极小值 .则 e
a ?1

? a ? 1,0?
+ ↗

f ? ? x? f ? x?

∴ f ? x ? 在 ? a, 0? 上的最小值为 f ? a ?1? ? e

?

1 1 ,得 a ? ln ? 1 . 2 2

若 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 时, f ? x ? 在 ? a, 0? 上单调递减,则 f ? x ? 在 ? a, 0? 上的最小值为 f ? 0 ? ? ? 由?

1 . a

1 1 ? 得 a ? ?2 (舍) . a 2 1 综上所述, a ? ln ? 1 . 2
“曲线过一点的切线”与“曲线在该点处的切线”两个概念是不同的

题型四

? 2) 的切线方程. 例 4、求曲线 y ? 3x ? x3 的过点 A(2,

错解:显然点 A 在曲线 y ? 3x ? x3 上,且 f ?( x) ? 3 ? 3x2 ,∴ f (2) ? ?9 .
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故所求切线方程为 y ? 2 ? ?9( x ? 2) ,即 9 x ? y ? 16 ? 0 . 错解反思:曲线过点 A 的切线与曲线在点 A 处的切线不同,前者既包括点 A 处的切线,也包括过点 A 但切点 为另一点的切线.因此,解题时必须理清头绪,弄清题意. 正解:设切点为 P( x0,y0 ) ,∵ y? ? 3 ? 3x2 ,

∴在点 P 处的切线方程为 y ? y0 ? (3 ? 3x02 )( x ? x0 ) .
又切线过点 A ,∴?2 ? (3x0 ? x03 ) ? (3 ? 3x02 )(2 ? x0 ) , 整理,得 x03 ? 3x02 ? 4 ? 0 ,即 ( x0 ? 1)( x0 ? 2)2 ? 0 .∴ x0 ? ?1 或 x0 ? 2 .

∴当 x0 ? ?1 时,切线方程为 y ? ?2 ,当 x0 ? 2 时,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 .
综合题 变式 4、已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 1 ( x ? R) . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)求函数 f ( x ) 在闭区间 ? 0, 2? 的最小值. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 6 x 2 ? 6ax ,因为 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,所以 f ?(1) ? 0 ,解得 a ? ?1 . (Ⅱ) f ?( x) ? 6 x( x ? a) , (1)当 ? a ? 0 时, f ?( x) ? 6 x2 ? 0 ,则 f ( x ) 在 ? ??, ??? 上为增函数;

? 0 得 x ? ?a 或 x ? 0 , (2) 当 ?a ? 0 , 即 a ? 0 时, 由 f ?( x) ? 6 x( x ? a) 所以 f ( x ) 的单调增区间为 ? ??, ?a ?
和 ? 0, ??? ;由 f ?( x) ? 6 x( x ? a) ? 0 得 ? a ? x ? 0 ,所以 f ( x ) 的单调减区间为 ? ?a,0 ? ;

? 0 得 x ? ?a 或 x ? 0 ,所以 f ( x) 的单调增区间为 ? ??,0? 和 (3)当 ? a ? 0 即 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 6 x( x ? a) ? 0 ,得 0 ? x ? ? a ,所以 f ( x) 的 ? ?a, ??? ;由 f ?( x) ? 6 x( x ? a)
综上所述,当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 ? ??, ??? ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 ? ??, ?a ? 和 ? 0, ??? , f ( x ) 的单调减区间为 ? ?a,0 ? ; 当 a ? 0 时, 单调减区间为 ? 0, ?a ? .

f ( x) 的单调增区间为 ? ??,0? 和 ? ?a, ?? ? , f ( x) 的单调减区间为 ? 0, ?a ? .
(Ⅲ) (1)当 ? a ? 0 即 a ? 0 时,由(Ⅱ)可知, f ( x ) 在 ? 0, 2? 上单调递增,所以 f ( x ) 的最小值为 f (0) ? 1 ; (2)当 0 ? ? a ? 2 ,即 ?2 ? a ? 0 时,由(Ⅱ)可知, f ( x ) 在 ?0, ?a ? 上单调递减,在 ? ?a, 2? 上单调递增,
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所以 f ( x ) 的最小值为 f (?a) ? a3 ? 1; (3) 当 ? a ? 2 即 a ? ?2 时, 由 (Ⅱ) 可知, f ( x ) 在 ? 0, 2? 上单调递减, 所以 f ( x ) 的最小值为 f (2) ? 17 ? 12a . 综上所述,当 a ? 0 时, f ( x ) 的最小值为 f (0) ? 1 ; 当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x ) 的最小值为 f (?a) ? a3 ? 1; 当 a ? ?2 时, f ( x ) 的最小值为 f (2) ? 17 ? 12a . 题型五 不等式两边同除一个数或式子,要讨论它的正负的问题。

例 5、设函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围. 解: (Ⅰ) f
'

? x? ? ?1? kx? ekx , f ' ?0? ? 1, f ?0? ? 0 ,曲线 y ?
'

f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? x .

(Ⅱ)由 f

? x? ? ?1? kx? ekx ? 0 ,得 x ? ? k ? k ? 0 ? ,
? ? 1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, k?

1

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

当 x ?? ?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, ? k ? ? ? 1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, k?

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

当 x ?? ?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, ? k ?
1 ? ?1 ,即 k ? 1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增, k 1 若 k ? 0 ,则当且仅当 ? ? 1 ,即 k ? ?1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增, k
综上可知,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增时, k 的取值范围是 ? ?1,0? ? ? 0,1? .

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若 k ? 0 ,则当且仅当 ?

变式 5、已知函数 f ( x) = (ax + 1)e x . (I)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a > 0 时,求函数 f ( x) 在区间 [- 2,0] 上的最小值. 解:定义域为 R, f ( x) ? (ax ? 1) e ? (ax ? 1)(e ) ? e (ax ? a ? 1)
' ' x x ' x

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戴氏教育集团

(Ⅰ)①当 a ? 0 时, f ' ( x) ? e x ? 0 ,则 f ( x ) 的单调增区间为 (??,??)

a ?1 a ?1 ,解 f ' ( x) ? 0 得, x ? ? , a a a ?1 a ?1 ,?? ) , f ( x ) 的单调减区间为 ( ?? ,? ) 则 f ( x ) 的单调增区间为 ( ? a a a ?1 a ?1 ③当 a ? 0 时,解 f ' ( x) ? 0 得, x ? ? ,解 f ' ( x) ? 0 得, x ? ? , a a a ?1 a ?1 ) , f ( x ) 的单调减区间为 ( ? ,?? ) 则 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?? ,? a a
②当 a ? 0 时,解 f ' ( x) ? 0 得, x ? ?

?a ? 0 a ?1 a ?1 ? ) 上是减函数,在 ( ? ,0) 上是增函数,则函 (Ⅱ) ①当 ? a ? 1 时, 即 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (?2,? a a ? ? ?2 ? ? a
? a ?1 f (? ) ? ?ae 数 f ( x ) 在区间[-2,0]上的最小值为 a a ?1 a

?a ? 0 ? ②当 ? a ? 1 时, 即 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [?2,0] 上是增函数, ? ? ?2 ? ? a
则函数 f ( x ) 在区间[-2,0]上的最小值为 f (?2) ?

1 ? 2a e2
? a ?1 a

综上: 当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间[-2,0]上最小值为 ? ae 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间[-2,0]上最小值为 反思总结:利用导数求函数最值问题 典例:(14 分)已知函数 f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值. 提示

1 ? 2a e2

(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求 f′(x)>0,f′(x)<0 的解区间,并注意定义域.(2)先研究

f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)由于解析式中含有参数 a,要对参数 a 进行分类 讨论. 解 1 (1)f′(x)= -a (x>0),[1 分] x

1 ①当 a≤0 时,f′(x)= -a>0,即函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞).[3 分] x 1 1 ②当 a>0 时,令 f′(x)= -a=0,可得 x= , x a

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1-ax 1 当 0<x< 时,f′(x)= >0; a x 1-ax 1 当 x> 时,f′(x)= <0, a x 1? 故函数 f(x)的单调递增区间为? ?0,a?, 1 ? 单调递减区间为? ?a,+∞?. [5 分]

1 (2)①当 ≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以 f(x)的最小值是 f(2)=ln 2-2a. a [9 分] 1 1 ②当 ≥2,即 0<a≤ 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以 f(x)的最小值是 f(1)=-a a 2 .[10 分] 1? 1 1 ?1 ? ③当 1< <2,即 <a<1 时,函数 f(x)在? ?1,a?上是增函数,在?a,2?上是减函数.又 f(2)-f(1)=ln 2-a, a 2 1 所以当 <a<ln 2 时,最小值是 f(1)=-a; 2 当 ln 2≤a<1 时,最小值为 f(2)=ln 2-2a.[12 分] 综上可知, 当 0<a<ln 2 时,函数 f(x)的最小值是-a; 当 a≥ln 2 时,函数 f(x)的最小值是 ln 2-2a.[14 分] 注意 (1)本题考查求函数的单调区间,求函数在给定区间[1,2]上的最值,属常规题型. (2)本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现不全面,不准确的情况. (3)思维不流畅,答题不规范,是解答中的突出问题. 方法总结 方法 1. 注意单调函数的充要条件,尤其对于已知单调性求参数值(范围)时,隐含恒成立思想. 2. 求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全;含参数时,要讨论参数的大小. 3. 在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可, 不必再与端点的函数值比较. 总结 1. 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能.
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2. 函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论. 3. 题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好 f′(x)=0 时的情况;区分极值点和导数为 0 的点.

巩固练习(时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 若函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象可能为 ( )

答案 C 解析 根据 f′(x)的符号,f(x)图象应该是先下降后上升,最后下降,排除 A,D;从适合 f′(x)=0 的点可 以排除 B. 2. 设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值点,则 A.a<-1 1 C.a>- e 答案 A 解析 ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a. ∵函数 y=ex+ax 有大于零的极值点, 则方程 y′=ex+a=0 有大于零的解, ∵x>0 时,-ex<-1,∴a=-ex<-1. 3. 函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是 A.-2 答案 C 解析 ∵f′(x)=3x2-6x,令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2. ∴f(x)在[-1,0)上是增函数,f(x)在(0,1]上是减函数. ∴f(x)max=f(x)极大值=f(0)=2. 1 1 4. 若函数 f(x)= x3- ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,则实数 a 的取值 3 2 范围是 A.a≤2
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(

)

B.a>-1 1 D.a<- e

(

)

B.0

C.2

D.4

( B.5≤a≤7
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)

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C.4≤a≤6 答案 B

D.a≤5 或 a≥7

1 1 解析 因为 f(x)= x3- ax2+(a-1)x+1, 3 2 所以 f′(x)=x2-ax+a-1, 由题意知当 1<x<4 时,f′(x)≤0 恒成立, 即 x2-ax+a-1≤0 在(1,4)上恒成立, ∴a(x-1)≥x2-1,a≥x+1(1<x<4), 所以 a≥5.同理 a≤7. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 已知 f(x)=2x3-6x2+m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为________. 答案 -37 解析 ∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2), ∴f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数, ∴当 x=0 时,f(x)=m 最大.∴m=3,从而 f(-2)=-37,f(2)=-5.∴最小值为-37. 6. 已知函数 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,函数 g(x)=-x3+2x2+mx+5 在(-∞,+∞)内单调递减, 则实数 m=________. 答案 -2 解析 若 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数, 则 m2-4=0,m=± 2. 若 g′(x)=-3x2+4x+m≤0 恒成立, 4 则 Δ=16+4×3m≤0,解得 m≤- ,故 m=-2. 3 7. 函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是________. 答案 a>2 或 a<-1 解析 ∵f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1], ∴f′(x)=3x2+6ax+3(a+2). 令 3x2+6ax+3(a+2)=0,即 x2+2ax+a+2=0. ∵函数 f(x)有极大值和极小值, ∴方程 x2+2ax+a+2=0 有两个不相等的实根.
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即 Δ=4a2-4a-8>0,∴a>2 或 a<-1. 三、解答题(共 22 分) 1 8. (10 分)已知函数 f(x)=ax2+bln x 在 x=1 处有极值 . 2 (1)求 a,b 的值; (2)求函数 y=f(x)的单调区间. 解 b 1 (1)f′(x)=2ax+ .又 f(x)在 x=1 处有极值 . x 2 1 ? ?a=2, 1 即? 解之得 a= ,b=-1. 2 ? ?2a+b=0.

1 ? ?f?1?=2, 得? ? ?f′?1?=0,

1 (2)由(1)可知 f(x)= x2-ln x,其定义域是(0,+∞), 2 1 ?x+1??x-1? 且 f′(x)=x- = . x x 由 f′(x)<0,得 0<x<1;由 f′(x)>0,得 x>1. 所以函数 y=f(x)的单调减区间是(0,1), 单调增区间是(1,+∞). 1 9. (12 分)已知函数 f(x)=ln|x| (x≠0),函数 g(x)= +af′(x) (x≠0). f′?x? (1)求函数 y=g(x)的表达式; (2)若 a>0,函数 y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是 2,求 a 的值. 解 (1)因为 f(x)=ln|x|,

所以当 x>0 时,f(x)=ln x,当 x<0 时,f(x)=ln(-x). 1 所以当 x>0 时,f′(x)= , x 1 1 当 x<0 时,f′(x)= · (-1)= . x -x a 所以当 x≠0 时,函数 y=g(x)=x+ . x a (2)由(1),知当 x>0 时,g(x)=x+ . x 所以当 a>0,x>0 时,g(x)≥2 a,当且仅当 x= a时取等号. 所以函数 y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是 2 a.

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所以 2 a=2.解得 a=1. 拓展训练(时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. (2012· 重庆)设函数 f(x)在 R 上可导, 其导函数为 f′(x), 且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值, 则函数 y=xf′(x) 的图象可能是 ( )

答案 C 解析 ∵f(x)在 x=-2 处取得极小值, ∴当 x<-2 时,f(x)单调递减,即 f′(x)<0;当 x>-2 时,f(x)单调递增,即 f′(x)>0. ∴当 x<-2 时,y=xf′(x)>0;当 x=-2 时,y=xf′(x)=0; 当-2<x<0 时,y=xf′(x)<0;当 x=0 时,y=xf′(x)=0; 当 x>0 时,y=xf′(x)>0. 结合选项中图象知选 C. 2. 函数 y=xe x,x∈[0,4]的最小值为


(

)

1 A.0 B. e

4 2 C. 4 D. 2 e e y′=-e-x(x-1),

答案 A 解析

y′与 y 随 x 变化情况如下表:

x y′ y

0

(0,1) +

1 0 1 取极大值 e

(1,4) -

4

0

?

4 e4

当 x=0 时,函数 y=xe-x 取到最小值 0. 3. f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x<0 时,f(x)+x· f′(x)<0,且 f(-4)=0,则不等式 xf(x)>0 的解集为 (
业精于勤而荒于嬉,行成于思而毁于随! 21

)
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A.(-4,0)∪(4,+∞) C.(-∞,-4)∪(4,+∞) 答案 D

B.(-4,0)∪(0,4) D.(-∞,-4)∪(0,4)

解析 令 g(x)=x· f(x),则 g(x)为奇函数且当 x<0 时,g′(x)=f(x)+ x· f′(x)<0, ∴g(x)的图象的变化趋势如图所示: 所以 xf(x)>0 的解集为(-∞,-4)∪(0,4). 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c (x∈[-2,2])对应的曲线 C 过坐标原点,且在 x=± 1 处切线的斜率均为-1,则 f(x)的最大值和最小值之和等于________. 答案 0 解析 由曲线 f(x)=x3+ax2+bx+c (x∈[-2,2])过坐标原点可知 c=0. ∵f′(x)=3x2+2ax+b,由已知得
2 ? ?f′?-1?=3×?-1? +2a×?-1?+b=-1, ? 解得 a=0,b=-4, ?f′?1?=3×12+2a×1+b=-1, ?

∴f(x)=x3-4x,f(x)在 x∈[-2,2]上有最大值,最小值,且函数 f(x)=x3-4x 为奇函数,∴函数 f(x)=x3-4x 的最大值和最小值之和为 0. 1? 5. 设函数 f(x)=p? ?x-x?-2ln x(p 是实数),若函数 f(x)在其定义域内单调递增,则实数 p 的取值范围为______. 答案 [1,+∞)

px2-2x+p 解析 易知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),因为 f′(x)= ,要使 f(x)为单调增函数,须 f′(x)≥0 x2 2x 2 在(0,+∞)上恒成立,即 px2-2x+p≥0 在(0,+∞)上恒成立,即 p≥ 2 = 在(0,+∞)上恒成立, x +1 x+1 x 又 ≤1, 1 x+ x 2

所以当 p≥1 时,f(x)在(0,+∞)上为单调增函数. 6. 已知函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围是________. 答案 解析 (0,1) f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),

业精于勤而荒于嬉,行成于思而毁于随!

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显然 a>0,f′(x)=3(x+ a)(x- a), 由已知条件 0< a<1,解得 0<a<1. 三、解答题 7.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3bx ? c(b ? 0), 且g ( x) ? f ( x) ? 2 是奇函数.(Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间. 解: (Ⅰ)因为函数 g(x)=f(x)-2 为奇函数, 所以,对任意的 x∈R, g (-x)= -g (x), 3 2 即 f (-x)- 2= -f (x)+2.又 f(x)=x +ax +3bx+c, 所以-x +ax -3bx+c-2=-x -ax -3bx-c+2.所以{
3 3 2 3 2

a ? ?a,
2

c ? 2 ? ?c ? 2.

解得 a=0,c=2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)=x +3bx+2, 所以 f′(x)=3x +3b(b≠0). 当 b<0 时,由 f′(x)=0 得 x=± ? b. x 变化时,f′(x)的变化情况如下表:

x f′(x)

(-∞,+

?b )

- ?b 0

(- ? b , ? b ) -

?b
0

( ? b ,+∞) +

所以,当 b<0 时,函数 f (x)在(-∞,- ? b )上单调递增,在(- ? b , ? b )上单调递减, 在( ? b ,+∞) 上单调递增. 当 b>0 时,f′(x)>0.所以函数 f (x)在(-∞,+∞)上单调递增.

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