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3.1.1方程的根与函数的零点



3.1.1方程的根与函数的零点

思考:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?

判别式△ = b2-4ac

△>0

△=0

△<0 没有实数根
y

方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a≠0)的根
y

函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象

y
x1 0 x2 x 0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数y=f(x)的零点。

等价关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

零点存在性的探索
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象: < > f(1)___0, 在区间[-2,1]上,f(-2) __0, < 则 f(-2)·f(1) ___0 , 在区间(-2,1)上,x=-1是 x2 -2x-3 =0的一个根.
y

.
-2 -1

2

. .
1
-1 -2

.

1

0

2

3 4

x

-3 -4

.

< < > ,f(2)· 在区间 [2,4]上,f(2)___0 ,f(4)___0 f(4)___0, 在区间(2,4)上,x=3 是 x2-2x-3=0的另一个根.

y

结论:
.
0
a1

y

.
x
0

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函

数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b), 使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。
注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定 区间内存在零点。

.

.

.
b

.
a

b

x

练一练
1、如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点,则m的取 值范围是( B ) A
m>

–2

B

m<

–2

C

m >2

D

m <2

2、函数f(x)=x3-16x的零点为( A (0,0),(4,0) B 0,4

D

) D – 4 ,0,4

C (– 4 ,0), (0,0),(4,0)

3、函数f(x)= – x3 – 3x+5的零点所在的大致区间为( A ) 1 A (1,2) B ( – 2 ,0) C (0,1) D (0, ) 2

4、已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如 下的x,f(x)对应值表:

x

1

2
9

3

4

5

6

7

f(x) 23

–7 11

–5 –12 –26

那么函数在区间[1,7]上的零点至少有( C )个

A 5

B 4

C

3

D 2

2 5、方程lnx= x 必有一个根的区间是( B ) A (1,2) B (2,3) C ( 1 , 1 ) D (3, ? ? )
e

例题1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数及零点所在的 大致区间。 解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(表3-1) 和图象(图3.1—3)
x
1 2
3

4

5

6

7

8

9

f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
y 由表3-1和图3.1—3可知 14 f(2)<0,f(3)>0,即f(2)· f(3)<0, 12 10 说明这个函数在区间(2,3)内有零点。

由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是 增函数,所以它仅有一个零点,这个 零点所在的大致区间是(2,3)

8 6 4 2 0 -2 -4 -6 1

.

2

.3

..
4 5 6 7 8 9 10

.

.

.

.

.

x

归纳、小结
确定函数零点所在大致区间及零点个数的方 法、步骤: (1)作出x、f(x)的对应值表格; (2)作出y=f(x)的图象; (3)确定y=f(x)的单调性情况 (4)作出判断。

小结与思考
函数零点的定义 等价关系 函数的零点或相应方程的根的存在性以及个 数的判断

布置作业:
P92

习题3.1 第2题



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