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江苏省如皋中学2014届高三下学期3月阶段考试数学试题 Word版含答案



江苏省如皋中学 2014 届高三数学模拟练习四
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.选修测试历史的而考生仅需 做第 I 卷,共 160 分,考试用时 120 分钟.选修测物理的考生需做第 I 卷和第 II 卷,共 200 分 考试用时 150 分钟.

第 I 卷(必做题

共 160 分)


一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填在题中横线上。

1.设集合 A ? {?1, 0,1} , B ? {x | x2 ? x ? 0} ,则 A ? B ? 2.已知 i 是虚数单位,则
3? i 的虚部为 1? i









3.执行右面的框图,若输出结果为

1 ,则输入的实数 x 的值是 2





4.直线 l : x tan

?
5

? y ? 1 ? 0 的倾斜角 ? ?





5.甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩如茎叶图所示, 若教

练员选派两人之一参加比赛,则 能性较大. 6.已知 ? ? ( ?



的可

?
2

,0) , cos ? ?

? 4 ,则 tan( ? ? ) ? 4 5





7.将一颗骰子投掷两次分别得到点数 a , b ,则直线 ax ? by ? 0 与圆

? x ? 2?

2

? y2 ? 2 相交的概率为





8.设向量 e1 、e2 满足 | e1 |?| e2 |? 1 ,非零向量 a ? xe1 ? ye2 , x ? 0, y ? 0 ,若 x ? 2| a| ,则 e1 、

??

?? ?

? ?

?? ?

?

? ?

?? ?

?

??

?? ? e2 的夹角 ? 的最小值为





-1-

9.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? an ? 34, a2 · an ?1 ? 64, 且前 n 项和 S n ? 62 ,则项数 n ?





10.在 ?ABC 中, AC ? 7 , B ? 60? , BC 边上的高 h ? 3 3 ,则 BC ? 2
11.双曲线 x
2





2, 3?? 在其右支上, ? y 2 ? 8 的左右焦点分别是 F1,F2 ,点 Pn ? xn,yn ?? n ? 1,


且满足 P 1 F2 ? F 1 F2

Pn?1 F2 ? Pn F1 ,则 x2014 的值是





12.如图所示,互不相同的点 Ai , Bi , Ci (i ? 1,2,3,?n) 分别在以 O 为顶点的三棱 锥 的 三条 棱 上, 所有 平面 Ai Bi Ci (i ? 1,2,3,?n) 相 互平 行 ,且 所有 三棱 台

Ai Bi Ci ? Ai ?1 Bi ?1Ci ?1 的体积均相等,设 OAn ? an ,若 a1 ? 3 2 , a2 ? 2 ,则 a86 ? ▲ .
? x ? 1, (0 ? x ? 1) ? 13. 已 知 函 数 f ( x) ? ? x 1 , 设 a ? b ? 0 时 , 有 f (a) ? f (b) , 则 2 ? , ( x ? 1) ? 2 ? b ? f (a) 的取值范围是 ▲ .
14.若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的三个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线、一抛物线的 b 离心率,则 的取值范围是 ▲ . a 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. ( 本小题满分 14 分 ) 已知 O 为坐标原点,对于函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,称向量

???? ? ???? ? OM ? (a, b) 为函数 f ( x) 的伴随向量,同时称函数 f ( x) 为向量 OM 的伴随函数. ???? ? ? ?? ? (Ⅰ)设函数 g ( x) ? sin( ? x) ? 2cos ? ? x ? ,试求 g ( x) 的伴随向量 OM 的模;

2 ?2 ? ???? ? (Ⅱ) 记 ON ? (1, 3) 的伴随函数为 h( x) , 求使得关于 x 的方程 h( x) ? t ? 0 在 [0, ] 内恒有两 2 个不相等实数解的实数 t 的取值范围.

16. ( 本小题满分 14 分 )如图 , 菱形 ABCD 的边长为 4, ?BAD ? 60 , AC ? BD ? O . 将菱形
?

ABCD 沿对角线 AC 折起,得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 2 2 . (1)求 证 : OM // 平 面 ABD ; (2)求 证 : 平 面 DOM ? 平 面 ABC .

-2-

17. (本小题满分 14 分)已知某公司生产品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件,须 另投入 2.7 万元,设该公司年内共生产品牌服装 x 千件并全部销售完,每 1 千件的销售收入为

R?x ?

1 ? 10.8 ? x 2 , 0 ? x ? 10 ? ? 30 万元,且 R ? x ? ? ? . 108 1000 ? ? 2 , x ? 10 ? 3x ? x

(1)写出年利润 W (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?

18. (本小题满分 16 分)如图, 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 3 ? ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 , 且经过点 (1, ) , a 2 b2 2 2 F 为椭圆的右焦点, A1 、 A2 为椭圆的左、右顶点, B 为上顶点. P 为椭圆上异于 A1 、 A2 的

任一点,点 Q 满足 FP ? FQ ? 0 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 PB ? BQ ,求 ?PA1 F 的面积; (Ⅲ)若 P 为直线 PQ 与椭圆唯一的公共点,求证: Q 点恒在一条定直线上. y P A1 O B Q

F

A2

x

-3-

19. ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 设 各 项 均 为 正 实 数 的 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 满 足 . 4S n ? (an ? 1) 2 ( n ? N * ) (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

an bm( m ? 3, m ? N ) b2 , , 是否存在正整数 t , 使 b1 , an ? t 成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)证明:存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形,其三边长为数列 {an } 中的
(Ⅱ) 设数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 三项 an1 , a n2 , a n3 .

班级_______ 准考证号(即学号)____________ 姓名_________ 考场座号(4 位)_____ --------------------------------

密-----------------------------封-------------------------线---------------------------

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

(Ⅰ)设 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) (其中 g ?( x ) 是 g ( x) 的导函数) ,求 h( x) 的最大值; (Ⅱ)求证: 当 0 ? b ? a 时,有 f (a ? b) ? f (2a) ?

1 2 x ? 2x . 2

(Ⅲ)设 k ? Z ,当 x ? 1 时,不等式 k ( x ? 1) ? xf ( x) ? 3g ?( x) ? 4 恒成立,求 k 的最大值.

b?a ; 2a

第Ⅱ卷(附加题

共 40 分)

21.【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分。解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1 几何证明选讲 在 ? ABC 的边 AB,BC,CA 上分别取 D,E,F.使得 DE=BE,FE=CE,又点 O 是△ ADF 的外心.证明:D,E,F,O 四点共圆. A
F O D -4C B

E

B.选修 4—2 矩阵与变换 二阶矩阵 M ? ? ? 有特征值 ? ? 5 ,其对应的一个特征向量 e ? ?1? ,并且矩阵 M 对应的变 ?c d ? ?? 换将点 (?1,2) 变换成点 (9, 0) ,求矩阵 M .
?a b? ?1?

C.选修 4—4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l

? 2 3 ? ? x ? 2 ? 2cos? , , ) ,圆 C 的参数方程为 ? (? 3 2 ? ? y ? ? 3 ? 2sin ? 为参数) ,判断直线 l 与圆 C 的位置关系.
上两点 M , N 的极坐标分别为 (2, 0) , (

D.选修 4—5 不等式证明选讲 设 a, b, c, d 是正数, 且 a ? b ? c ? 10 ,x2 ? y 2 ? z 2 ? 40 ,ax ? by ? cz ? 20 , 求
2 2 2

a?b?c x? y?z

的值. 22. ( 本小题满分 10 分 ) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , ?BAC ? 90? , 1 AB ? 2, AC ? 6 , 点 D 在线段 BB1 上,且 BD ? BB1 , A1C ? AC1 ? E . 3
7 ,求 AA1 的长; 7 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设平面 ADC1 ? 平面 ABC ? l ,求直线 l 与 DE 所成的角的余弦值.

(Ⅰ)设平面 ADC1 与平面 ABC 所成的锐二面角为 ? ,若 cos ? ?

-5-

23.(本小题满分 10 分)证明:对于一切正整数 n 和实数 x ,均有 x x x x n! 0 1 k n Cn ? ? Cn ? ? ? ? (?1)k Cn ? ? ? ? (?1)n Cn ? x?0 x ?1 x?k x ? n ( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? n)

-6-

模拟练习四参考答案及评分标准
1. {?1, 0} ; 2. ?2 ; 3. 10. 1 或 2; 11. 8056; 12. 8 ; 13. [ , 2) ; 14. (?2, ? ) .

2 ; 4.
3 4

4 1 5 5? ; 9. 5; ? ; 5. 甲 ;6. ; 7. ; 8. 5 7 12 6 1 2

? ?? ? 15.(Ⅰ)∵ g ( x) ? sin( ? x) ? 2cos ? ? x ? ? 2sin x ? cos x , 2 ?2 ?
∴ OM ? (2,1) . OM ?

???? ?

???? ?

22 ? 12 ? 5 .…6 分
?
3
∵0 ? x ? ),

(Ⅱ) 由已知可得 h( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ?

?
2

, ∴

?
3

? x?

?
3

?

??
6



? ?? ?? ? ? 故 h( x) ? ?1, 2? . ∵当 x ? ?0, ? 时, 函数 h( x) 单调递增, 且 h( x) ? ? 3, 2 ? ; 当 x ? ? , ? 时, ? ? ? 6? ? 6 2?
函数 h( x) 单调递减,且 h( x) ? ?1, 2 ? .

? ∴使得关于 x 的方程 h( x) ? t ? 0 在 [0, ] 内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围为 2 …………………14 分 t?? ? 3, 2 . 16. (1)因为 O 为 AC 的中点,M 为 BC 的中点,所以 OM / / AB .

?

因为 OM ? 平 面 ABD, AB ? 平面 ABD,所以 OM // 平面 …………6 分 ABD . (2)因为在菱形 ABCD 中, OD ? AC ,所以在三棱锥 B ? ACD 中, OD ? AC . 在菱形 ABCD 1 中,AB=AD=4, ?BAD ? 60? ,所以 BD=4.因为 O 为 BD 的中点, 所以 OD ? BD ? 2 .因为 O 为 2 AC 的中点,M 为 BC 的中点,所以 OM ?

1 AB ? 2 . 因为 OD2 ? OM 2 ? 8 ? DM 2 ,所以 2

?DOM ? 90? ,即 OD ? OM .分 因为 AC ? 平面 ABC, OM ? 平面 ABC, AC ? OM ? O ,所以 OD ? 平面 ABC. 因为 OD ? 平面 DOM,所以平面 DOM ? 平面 ……………………14 分 ABC .
?? 1 2? ??10.8 ? 30 x ? x ? 2.7 x ? 10, 0 ? x ? 10 ?? ? 17.(1)由题意得 W ? ? , 即 ?? 108 ? 1000 ? x ? 2.7 x ? 10, x ? 10 ? ? ? 3x 2 ? ?? x

1 ? 8.1x ? x 3 ? 10, 0 ? x ? 10 ? 30 ? W ?? ……6 分 ?98 ? ? 1000 ? 2.7 x ? , x ? 10 ? ? ? ? 3x ? ?

1 3 x ? 10 则 30 1 81 ? x 2 ? 9 ? x ?? 9 ? x ? ∵ 0 ? x ? 10 W ? ? 8.1 ? x 2 ? ? 10 10 10 ∴当 0 ? x ? 9 时, W ? ? 0 ,则 W 递增;当 9 ? x ? 10 时, W ? ? 0 ,则 W 递减; 193 ∴当 x ? 9 时, W 取最大值 ? 38.6 万 5 元. ……………………10 分

(2)①当 0 ? x ? 10 时, W ? 8.1x ?

-7-

1000 1000 ? 1000 ? ? 2.7 x ? 38 .当且仅当 ②当 x ? 10 时, W ? 98 ? ? ? 2.7 x ? ? 98 ? 2 ? 2.7 x , 3 x 3 x 3x ? ? 100 即x? ………………………13 分 ? 10 取最大值 38. 9 综上,当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最 大.…………………14 分
? a2 ? b2 1 ?3a 2 ? 4b 2 ? 0 ? ? 3 1 x y ? ? a 2 18.(Ⅰ)∵椭圆 2 ? 2 ? 1 的离心率为 ,且经过点 (1, ) ,? ? ,即 ? 1 , 9 2 2 a b ? 1 ? 9 ?1 ? 2 ? 2 ?1 4b ?a ? ? a 2 4b 2
2 2

2 ? ?a ? 4 解得 ? 2 ,∴椭圆 C 的方程为 ? ?b ? 3

x2 y2 ? ? 1. 4 3
? x12 y12 ?1 ? ? 3 , ?4 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 1 ? 1

………………4 分

(Ⅱ)由 PB ? BQ 知 B 为 PQ 的中点,故 BP ? BF ? 2 ,设 P( x1 , y1 ) , B(0,2) ,则

2 联立得 y1 ,故 y1 ? 6 ? 3 3 , ? 6 3 y1 ? 9 ? 0 ,解得 y1 ? ?3 3 ? 6 (舍负)

S?PAF ?


1 1 18 ? 9 3 AF ? y1 ? ? 3 ? (6 ? 3 3) ? . 2 2 2

………………9

x0 2 y0 2 ? ? 1( y0 ? 0) .当 PQ 的斜率不存在时,显然不符题意;故 4 3 x2 y2 ? ? 1 联立,得 设直线 PQ 方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,与椭圆 4 3 由直线 PQ 与椭圆有唯一公共点, (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k ( y0 ? kx0 ) x ? 4k 2 x02 ? 4 y02 ? 8kx0 y0 ? 12 ? 0 ,
(Ⅲ)设 P( x0 , y0 ) ,则有 得 ? ? 64k 2 ( y0 ? kx0 )2 ? 16(3 ? 4k 2 )(k 2 x02 ? y02 ? 2kx0 y0 ? 3) ? 0 ,化简得,

( x02 ? 4)k 2 ? 2 x0 y0 k ? y02 ? 3 ? 0 ,
k? 2 x0 y0 ? 4 x0 2 y0 2 ? 4( x0 2 ? 4)( y0 2 ? 3) 2( x0 ? 4)
2

?

2 x0 y0 ? 2 3x0 2 ? 4 y0 2 ? 12 2( x0 ? 4)
2

?

x0 y0 3x ? ? 0 ,故有 2 4 y0 x0 ? 4

k??

3 x0 . ………13 分 4 y0

故直线 PQ 方程为 y ? y0 ? ?

3x0 1 ? x0 ( x ? x0 ) ①,直线 FQ 方程为 y ? ( x ? 1) ②, 4 y0 y0

①②联立消去 y ,得 (4 ? x0 ) x ? 3x02 ? 4 y02 ? 4 ? 4 x0 , 16 ? 4 x0 ?x ? ? 4 ,即 Q 点恒在直线 x ? 4 上.……16 分 4 ? x0 19.(Ⅰ)由题意, 4Sn ? (an ? 1)2 ①,当 n ? 2 时,有 4Sn?1 ? (an ?1 ? 1)2 ②,②-①,得

(an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 , 从而 an ? an?1 ? 2 , 故 {an } ? an ? an?1 ? 0 , ? {an } 各项为正,
2 成公差 2 的等差数列.又 n ? 1 时, 4a1 ? (a1 ? 1) ,解得 a1 ? 1 .故

an ? 2n ? 1 .

………………………4 分

-8-

(Ⅱ) bn ?

2n ? 1 ,要使 b1 , b2 , bm 成等差数列,须 2b2 ? b1 ? bm ,即 2n ? 1 ? t 3 1 2m ? 1 4 ,整理得 m ? 3 ? ,因为 m ,t 为正整数,t 只能取 2,3,5.故 2? ? ? 2 ? t 1 ? t 2m ? 1 ? t t ?1 ?t ? 2 ?t ? 3 ?t ? 5 ,? ,? …………9 分 ? ?m ? 7 ?m ? 5 ?m ? 4
* 2 2 2

(Ⅲ) 作如下构造:an1 ? (2k ? 3) 2 ,an2 ? (2k ? 3)(2k ? 5) ,an3 ? (2k ? 5) 2 , 其中 k ? N , 它们依次为数列 {an } 中第 2k ? 6k ? 5 项,第 2k ? 8k ? 8 项,第 2k ? 10k ? 13 ,显然它 们成等比数列,且 an1 ? an2 ? an3 ,所以它们能组成三角形.由 k ? N 的任意性,知这样的
*

三角形有无穷多个. ……13 分 下面用反证法证明其中任意两个 ?A1 B1C1 和 ?A2 B2 C2 不相似:若 ?A1 B1C1 ∽ ?A2 B2 C 2 ,且

k1 ? k 2 ,则
确.

(2k1 ? 3)(2k1 ? 5) (2k1 ? 3) 2 2k ? 5 2k1 ? 3 ? ? ,整理得 1 ,所以 k1 ? k 2 ,这与 2 2k2 ? 5) 2k2 ? 3 (2k2 ? 3)(2k2 ? 5) (2k2 ? 3)
………………………16 分
/

k1 ? k 2 矛盾,因此,任意两个三角形不相似.故原命题正
20.(1) h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? 2 , x ? ?1 所以 h?( x) ? 1 ? 1 ? ? x . x ?1 x ?1 h ( x ) 在 (?1, 0) 上单调递增, h?( x) ? 0 ; h?( x) ? 0 . 当 ?1 ? x ? 0 时, 当 x ? 0 时, 因此, 在 (0 , ? ?) 上单调递减. 因此,当 x ? 0 时, h ( x ) 取得最大值 h(0) ? 2 ; ………………………4 分 (Ⅱ)当 0 ? b ? a 时, ?1 ? 因此,有
f (a ? b) ? f (2a) ? ln a?b ? b?a? b?a . ? ln ?1 ? ?? 2a 2a ? 2a ?

b?a ? 0 .由(1)知:当 ?1 ? x ? 0 时, h( x ) ? 2 ,即 ln(1 ? x) ? x . 2a
…………………

……8 分 (Ⅲ)不等式 k ( x ?1) ? xf ( x) ? 3g / ( x) ? 4 化为 k ?

x ? 1 恒成立. x ? x ln x 2 ,令 h x ? x ? ln x ? 2 x ? 1 ,则 令 g ? x? ? ? 2 ,则 g ? ? x ? ? x ? ln x ? ? ? ? ? 2 x ?1 ? x ? 1?
h? ? x ? ? 1 ?

x ln x ? x ?2 x ?1

所以 k ?

x ? x ln x ? 2 对任意 x ?1

1 x ?1 ? ?0, x x 所以函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.因为 h ?3? ? 1 ? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,

所以方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实根 x0 ,且满足

x0 ? ?3, 4? .
所以函数 g ? x ? ? 所以 ? ? g ? x ?? ?

……………13 分

当 1 ? x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,当 x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,

x ? x ln x ? 2 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增. x ?1

min

? g ? x0 ? ?

所以 k ? ? ? g ? x ?? ? min ? x0 ? 2 ? ? 5, 6 ? .故整数 k 的最大值是

x0 ?1 ? ln x0 ? x ?1 ? x0 ? 2 ? ?2? 0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ? 5,6 ? . x0 ? 1 x0 ? 1

-9-

5.
?a

…………………16 分
b? ?a b ? ?1? ?1? ?a ? b? ?3?

第Ⅱ卷附加题参考答案 21B. 设 M ? ? ? ,则由 ? c d ? ?1? ? 3 ?1? ,得 ?c ? d ? ? ?3? ,即 a ? b ? 3, c ? d ? 3 ?c d ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 由?
? a b ? ? ?1? ?9 ? ? ? a ? 2b ? ?9 ? ? ? ? ,得 ? ? ? ? ? ? ? ? ,从而 ?a ? 2b ? 9 , ?c ? 2d ? 0 , 由 ? c d ? ? 2 ? ?0? ? ?c ? 2d ? ? 0 ?

a ? b ? 3, ?a ? 2b ? 9 , c ? d ? 3 , ?c ? 2d ? 0 解得 a ? ?1, b ? 4, c ? 2, d ? 1 ,
∴M ?? ?2
? ?1 4 ? , 1? ?

………………10 分

21C. 因为直线 l 上两点直角坐标为 (2, 0) , N (0,

2 3 ) ,∴直线 l 的方程为: 3
2 3 ?3 3 ?2 3 3?9 ? 3 故直线 l 和 ?r, 2

3x ? 3 y ? 2 3 ? 0 ,圆心 (2, ? 3) ,半径 r ? 2 .∴ d ?
圆 C 相交. ………………10 分

22.依题意,可建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,设 AA1 ? h ,则
h? h? ? ? B ? 2,0,0 ? , C ? 0,6,0 ? , D ? 2,0, ? , A1 ? 0,0, h ? , C1 ? 0,6, h ? , E ? 0,3, ? . 3? 2? ? ? ?? ? (Ⅰ)设平面 ADC1 的法向量为 n2 ? ? x, y, z ? ,则 ? ???? ??? h? h ? ?? ? ?n2 ? AD ? ? x, y, z ? ? ? 2,0, 3 ? ? 2 x ? 3 z ? 0 ,取 z ? ?6 ,则 x ? y ?h , 故 n2 ? ? h, h, ?6? . ? ? ??? ? ?n? ? ???? ? 2 AC1 ? ? x, y, z ? ? ? 0,6, h ? ? 6 y ? hz ? 0 ?? ? ?? ? n1 ? n2 ?? ? ?? ? 6 7 ? ∴ cos ? ? cos ? n1 , n2 ? ? ?? , ? ?? ?= 2 7 n1 n2 1 ? 2h ? 36

解得 h ? 6 3 .∴ ………………………5 分 AA1 ? 6 3 . (Ⅱ)在平面 BCC1 B1 内,分别延长 CB、C1 D ,交于点 F ,连结 AF ,则直线 AF 为平面 ADC1 与 平面 ABC 的交线. ??? ? 1 ??? ? BF BD 1 1 1 ? ? .∴ BF ? CB , ∵ BD//CC1 , BD= BB1 = CC1 ,∴ FC CC1 3 3 3 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ∴ AF ? AB ? BF ? AB ? CB ? ? 2,0,0? ? ? 2, ?6,0? ? ? 3, ?3,0? .由(Ⅱ)知, h ? 6 3 , 2 2 ??? ? ???? ???? ? ??? ? ???? h? AF ? DE ?15 5 故 DE ? ? ?2,3, ? ? ?2,3, 3 ,∴ cos ? AF , DE ?? ??? ?? 2 . ? ???? ? 6? 8 ? AF DE 3 2 ? 4

?

?

∴ 直线 l 与 DE 所成的角的余弦值为 ?

5 5 2 ? 2. 8 8

………………………10 分 23. 证明: (1) 当 n ? 1 时, 左边= 1 ?

x 1 1 , 右边= , 等式成立; ? x ?1 x ?1 x ?1

……………2

分 (2)假设 n ? k 时,原等式成立,即 x x x k! 1 Ck0 ? ? Ck ? ? ? ? (?1)k Ckk ? ? x?0 x ?1 x ? k ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? k ) 则当 n ? k ? 1 时,左边= Ck0?1 ?
x x x 1 ?1 ? Ck ? ? ? (?1)k ?1 Ckk? ?1 ? 1 ? x?0 x ?1 x ? k ?1
- 10 -

x x x x 1 ?1 ? (Ck2 ? Ck ) ? ? ? (?1)k (Ckk ? Ckk ?1 ) ? (?1)k ?1 Ckk? 1 ? x ?1 x?2 x?k x ? k ?1 x x x 1 2 k k = 1 ? Ck ? ? Ck ? ? ? (?1) Ck x ?1 x?2 x?k x x x x 0 1 k k ?1 ?1 ?(Ck ? ? Ck ? ? ? (?1) Ck ? (?1)k ?1 Ckk? ) 1 ? x ?1 x?2 x?k x ? k ?1 k! x x ?1 x x ?1 1 x ?1 = ? (Ck0 ? ? Ck ? ? ? (?1)k ?1 Ckk ?1 ? (?1)k Ckk ? ) ( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? k ) x ? 1 x ?1 x?2 x?k x ? k ?1 k! x k! k! x ? ? ? ? (1 ? ) ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? k ) x ? 1 ( x ? 2)( x ? 3)?( x ? k ? 1) ( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? k ) x ? k ?1 (k ? 1)! =右边 ? ( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? k )( x ? k ? 1)
1 = 1 ? (Ck ? Ck0 ) ?

故当 n ? k ? 1 时,等式也成立,综上所述,原等式成 立。 ………………………10 分

- 11 -

- 12 -



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