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珠海市2012年高中数学竞赛(高一卷及答案)



珠海市 2012 年高中数学竞赛(高一卷) 参考答案
时间:2012 年 12 月 23 日 9:00——11:00 考室号_________座位号_____________ 注意:可以使用计算器,但不得相互借用。监考老师不回答任何与内容有关的问题. 一、填空题(每题 6 分共 60 分) 1 . 函 数 y ? g (x) 的 定 义 域 是 [?3,2) , 则 y

? g ( x 2 ) 的 定 义 域 是 _______________. (? 2 , 2 ) 2.求值: log 5 27 ? log 1
8

5 ? log 9 16 =

.-1

3. f (4 ? x) ? e x ,则 f (2 x) =_______________. e

4? 2 x

(或

e4 ) e2x

姓名________________

4. 已知函数 f (x) 是定义域为 R 的奇函数, x ? 0 时, f ( x) ? ln x ? 1 ? x 3 ; 当 则当 x ? 0 时, f ( x) ? _____________________. ? ln(? x) ? 1 ? x 3

5.函数 f (x) 的图象 C1 关于直线 y 轴对称的图象为 C2,沿 x 轴左平移 2 个单位得到 C3,若 C3 对应的函数表达式为 3 x ? 1 ,则函数 f (x) 的表达式为_______________. 3 ? x ? 1
2 6 . 方 程 x ?3x ?2 ? a 的 不 同 实 数 根 为 四 个 , 则 实 数 a 所 在 的 区 间 是

学校______________班级____________

_______________. ( , 2 ) ? ?0?

1 4

7.函数 f ( x) ? 4 ? 2
x

x?2

(?1 ? x ? 3) 的值域是_______________.[-4,32)
.3

3 x 8. 方程 x ? 3 的实数根的个数为

9. 函数 f (x) 是定义在 R 上的函数, g ( x) ? f ( x) ? f (4 ? x) ,如果 g (x) 有七个不相等的 零点,那么这七个零点之和是 .14

10.观察右式,找出规律,并给出结果: 2 ?

1 2? 2? 1 1 2 ??

?

. 1? 2

2012 年珠海市高中数学竞赛(高一卷)参考答案第- 1 –页(共 4 页)

二、解答题(共 60 分)
11.(20 分)

2 2 已知集合 A= x x ? x ? 2 ? 0 ,B= x x ? 2ax ? 5a ? 6 ? 0 ,且 A ? B ? A ,求实数 a 的

?

?

?

?

取值范围。 解:由 A ? B ? A 知, B ? A , A ? [?1,2] 1)∵在不等式 x ? 2ax ? 5a ? 6 ? 0 中,
2

? ? (?2a)2 ? 4(?5a ? 6) ? 4(a 2 ? 5a ? 6) ? 4(a ? 6)(a ?1)
当 a ? (?6,1) 时, ? ? 0 , B ? ? , A ? B ? A ,符合题意。 2)若 B 不是空集,为单点集时, ? ? 0 ,当 a ? ?6 时 B= ?? 6?,不合题意; 当 a ? 1 时,B= ? ? , A ? B ? A ; 1 ∴ a ? 1 符合题意。 3)若 B 不是空集,也不是单点集时,B 为 A 的子集,设 f ( x) ? x ? 2ax ? 5a ? 6 ,
2

?a ? 1ora ? ?6 ?? 1 ? a ? 2 ?? ? 0 ? ? f (2) ? 0 ? 7 ? ?a ? ? 3 ? f (?1) ? 0 10 则有 ? ,解得 ? 即 a ? (1, ] 10 ?? 1 ? a ? 2 9 ? ?a ? 9 ?
由 1) ,3)可知,实数的取值范围为 (?6, ,2)

10 ] 9

2012 年珠海市高中数学竞赛(高一卷)参考答案第- 2 –页(共 4 页)

12.(20 分) 已 知 函 数 y ? f ( x), x ? N , 如 果 存 在 一 个 函 数 y ? g ( x), x ? N , 且 满 足 :

f (n) ? g (n ? 1) ? g (n), n ? N ,那么有: f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? g (n ? 1) ? g (1) .
(1)当 f (n) ?

1 时,请给出相应的 g (n) ,并求 f (1) ? f (2) ? ? ? f (100) 的值; n(n ? 1)

(1)当 f (n) ? 2 n 时,请给出相应的 g (n) ,并求 f (1) ? f (2) ? ? ? f (100) 的值. 解: (1)∵ f (n) ? ∴ g (n) ? ?

1 1 1 1 1 ? ? ?? ? (? ) ? g (n ? 1) ? g (n) n(n ? 1) n n ? 1 n ?1 n

1 n

f (1) ? f (2) ? ? ? f (100) = g (2) ? g (1) ? g (3) ? g (2) ? ? ? g (101 ? g (100) ? g (101 ? g (1) = 1 ? ) )
(2) f (n) ? 2 ? 2
n n?1

1 100 ? 101 101

? 2n ? g (n ? 1) ? g (n) , g (n) ? 2n

f (1) ? f (2) ? ? ? f (100) = g (2) ? g (1) ? g (3) ? g (2) ? ? ? g (101 ? g (100) ? g (101 ? g (1) = 2101 ? 2 ) )

2012 年珠海市高中数学竞赛(高一卷)参考答案第- 3 –页(共 4 页)

13. (20 分)已知定义域为[0,1]的函数 f (x) 同时满足以下 4 个条件: (1) 对任意的 x∈[0,1],总有 f ( x) ? 0 ; (2) f (1) ? 1 ; (3)当任取 x1 , x2 ? [0,1] ,且 x1 ? x2 ? 1时,有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立; (4)存在 x0 ? [0,1] ,使得 f ( f ( x0 )) ? x0 . 求证: f ( x0 ) ? x0 . 证明:取任意 u1 ?[0,1],u2 ?[0,1] ,且 u1 ? u2 ,则有 u2 ? u1 ?[0,1] , f (u2 ? u1 ) ? 0 , 则 f (u2 ) ? f (u2 ? u1 ) ? f (u1 ) , f (u2 ) ? f (u1 ) ? f (u2 ? u1 ) ? 0 , ∴ f (u2 ) ? f (u1 ) 。 ∵ 1 ? u1 ,1 ? u2 , f (1) ? f (u1 ), f (1) ? f (u2 ) , (1) (2)有 f (u1 ) ?[0,1], f (u2 ) ?[0,1] 。 ∴ 由 和 , 1)若 f ( x0 ) ? x0 ,则有 f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ) ,即 x0 ? f ( x0 ) ,与 f ( x0 ) ? x0 矛盾; 2)若 f ( x0 ) ? x0 ,则有 f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ) ,即 x0 ? f ( x0 ) ,与 f ( x0 ) ? x0 矛盾。 由 1)与 2)知, f ( x0 ) ? x0 。

2012 年珠海市高中数学竞赛(高一卷)参考答案第- 4 –页(共 4 页)



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