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等差数列的定义及通项公式



等差数列的定义及通项公式(第 1 课时)
高级中学 数学组 杨跃
一、教学目标 1.知识目标:理解等差数列定义,掌握等差数列的通项公式. 2.能力目标:培养学生观察、归纳能力,在学习过程中,体会归纳思想和化归思想并加深认识;通过概 念的引入与通项公式的推导,培养学生分析探索能力,增强运用公式解决实际问题的能力. 3.情感目标:通过对等差数列的研究,使学生明确等

差数列与一般数列的内在联系,渗透特殊与一般的辩 证唯物主义观点,加强理论联系实际,激发学生的学习兴趣. 二、学情分析 我所教学的学生是我校相对较好的班级,经过快一年的高中数学学习,大部分学生知识经验已较为丰 富,他们的智力发展已到了形式运演阶段,具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力,但也有一部分学 生的基础较弱,学习数学的兴趣还不是很浓,所以我在授课时注重从具体的生活实例出发,注重引导、启 发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点,从而促进思维能力的进一步发展. 三、教学重点,难点

重点:①等差数列的概念;②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 难点:①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程。
四、教学过程 一.问题情境 (一)情境:观察下列问题中涉及到的数列 1、研究发现我国儿童年龄在 2-12 周岁之间,其标准的身高、体重大致成规律性变化: 年龄 身高(cm) 体重(kg) 2 84 12 3 91 14 4 98 16 5 105 18 6 112 20 … … … 11 147 30 12 (154) (32)

你能预测 12 岁儿童的身高和体重吗? (1)84,91,98,105,112,?,147,(154) (2)12,14,16,18,20,?,30,(32) 2、1896 年,雅典举行第一届现代奥运会,到 2008 年的北京奥运会已经是第 29 届奥运会。你能预测出第 31 届奥运会的时间吗? (3)1896,1900,1904,?,2008,2012,( 测姚明第七天罚球的个数吗?(9000) (二)问题:上面这些数列有何共同特征? 二.学生活动 对于数列①,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 7; 2016 ) 3、姚明刚进NBA一周前六天训练罚球的个数是:6000、6500、7000、7500、8000、8500、?、你能预

对于数列②,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 2; 对于数列③,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 4; 对于数列④,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 500; 共同特征:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差);(误:每相邻两项的差相 等-----应指明作差的顺序是后项减前项),我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 三.建构课堂教学 (一)等差数列定义: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫 等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为

an ? an?1 ? d (n ? 2 )或 an?1 ? an ? d (n ? 1) .
【注】 1、一个数列,不从第 2 项起,而是从第 3 项起或第 4 项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数, 此数列不是等差数列. 如:(1)1,3,4,5,6,……(2)-1,0,12,14,16,18,20,…… 2、一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差尽管等于一个常数,这个数列可不一定是等差数 列,因为这些常数可以不同,当常数不同时,当然不是等差数列,故定义中“同一个常数”中“同一个”十分 重要,切记不可丢掉。 3、求公差 d 时,可 d=an—a 【思考】 1、你能再举出一些等差数列的例子吗? 2、下列各组数列中哪些是等差数列,哪些不是?如果是,写出首项 a1 和公差 d , 如果不是,说明理由。 (1)1,3,5,7,?;(2)9,6,3,0,-3?;(3)-8,-6,-4,-2,0,?;(4)3,3,3,3,? (5) 1、 、 、 、 ? ;(6)15,12,10,8,6,?。 (二)等差数列通项公式 【探究 1】请试着找规律填空:1,4,7,10,13,16,( 19 ),( 22 思 考:在这个数列中,a20=?如何求解? an ? ? )??
n-1

,也可以用 d=a

n+1

-an

1 1 1 1 2 3 4 5

a2 ? 4 ? 1 ? 3 a3 ? 7 ? 4 ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 a4 ? 10 ? 7 ? 3 ? 1 ? 3 ? 3 a5 ? 13 ? 10 ? 3 ? 1 ? 4 ? 3 ?? an ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ,? a20 ? 58
【探究 2】等差数列通项公式推导一: 如果一个数列 a1 , a2 , a3 ?, an 是等差数列,它的公差是 d ,那么 该问题要是有通项公式多好呀!

a2 ? a1 ? d ? a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d ? a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d a4 ? a3 ? d ? a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d ? ? 归纳得:an ? a1 ? (n ? 1)d
【探究 3】等差数列通项公式推到推导二: 【注】这种方法称为不完全归纳法

?a2 ? a1 ? d ?a ? a ? d ? 3 2 ? ?a4 ? a3 ? d a ? a1 ? (n ?1)d 相加得 n (n ? 1)个? ?? ? ?a ? a ? d ? n ?1 n ? 2 ? ?an ? an ?1 ? d
四、例题讲解

【叠加法】

例 1:第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行,此后每 4 年举行一次。奥运会如因故不能进行,届 数照算。 (1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式; (2)2008 年北京奥运会是第几届?2050 年举行奥运会吗? 解:(1)由题意:举行奥运会的年份构成的数列是一个以 1896 为首项,4 为公差的等差数列, ∴ an ? 1896 ? 4(n ?1) ? 1892 ? 4n(n ? N * ) (2)假设 an ? 2008, 则 2008 ? 1892 ? 4n ,得 n ? 29 假设 an ? 2050 , 2050 ? 1892 ? 4n 无正整数解。 答:所求的通项公式是 an ? 1892 ? 4n(n ? N * ) ,2008 年北京奥运会是第 29 届奥运会,2050 年不举行奥 运会。 例 2.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? 10 , a9 ? 28 ,求 a12 。 解:由题意可知: ?

?a1 ? 2d ? 10 ,解得 a1 ? 4 , d ? 3 , ?a1 ? 8d ? 28

∴ a12 ? 4 ? (12 ? 1) ? 3 ? 37 例 3.某滑轮组由直径成等差数列的 6 个滑轮组成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为 15cm 和 25cm, 分别求中间四个滑轮的直径。 解:用 ?an ? 表示滑轮的直径所构成的等差数列,则由已知得 a1 ? 15, a6 ? 25 , n ? 6 由通项公式得: a6 ? a1 ? (6 ?1)d , 即 25 ? 15 ? 5d ,∴ d ? 2 , 所以, a2 ? 17 , a3 ? 19 , a4 ? 21 , a5 ? 23 ,.

答:中间四个滑轮的直径为 17cm,19 cm,21 cm,23 cm。 例 4.已知数列的通项公式为 an ? pn ? q ,其中 p , q 是常数,且 p ? 0 ,那么这个数列是否一定是等差 数列?若是,求它的首项与公差。 解:取数列 ?an ? 中的任意相邻两项 an ?1 与 an ( n ? 2 ),

an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ?1) ? q] ? p ,
∵ p 是一个与 n 无关的常数,故 ?an ? 是等差数列,且公差是 p , 所以,这个等差数列的首项是 a1 ? p ? q ,公差是 p . 五、课堂练习 1、按下面要求分别求解。 (1)求等差数列 3,7,11,…的第 4 项与第 10。 (2)求等差数列 10,8,6,…的第 20 项。 (3)100 是不是等差数列 2,9,16,…的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由。 (4)—20 是不是等差数列 0, ? 3

1 ,—7,…的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由。 2

2、在等差数列{ an }中,(1)已知 a4 ? 10 , a7 ? 19, 求a1与d =10,(2)已知 a3 六、课堂小结(主要由学生总结,教师进行适当的补充) 本节课首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式 a 的通项公式:an=a1+(n-1)d(n≥1),并掌握 其基本应用。 七、作业 1、 P19 A组2、 3、 4;B组1
n+1

? 9, a9 ? 3, 求a12 。

-an =d(n∈N+)。其次,要会推导等差数列

2、(课外作业)已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? a7 ? ?12 , a4 ? a6 ? ?4 ,求数列 ?an ? 的通项公式。



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