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复数代数形式的除法运算



复数代数形式的除法运算
路永宁
教学目标: 1 知识与技能: 理解并掌握复数的除法运算法则, 深刻理解除法运算是乘法运算的逆运算; 2.过程与方法:探究复数除法的法则,理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化 3.情感、态度价值观:通过复数除法运算的探究过程,使学生体会人类理性思维的作用。 教学重点:复数代数形式的除法运算。 教学难点:复数除法运算法则的探究和

运用。 教学过程: 一、复习加减及乘法运算,和共轭复数 二、复数除法运算法则: 1.探究复数除法运算法则: 问题:类比实数除法是乘法的逆运算,你能否探究复数除法的运算法则? (意图:使学生能够运用类比的思想解决问题) 设复数 a ? bi(a, b ? R) 除以 c ? di(c, d ? R) 的商为 x ? yi( x, y ? R) , 即 (a ? bi) ? (c ? di) ? x ? yi ∵ ( x ? yi)(c ? di) ? (cx ? dy) ? (dx ? cy)i ? a ? bi

由复数相等定义可知 ?

?cx ? dy ? a, ?dx ? cy ? b.

ac ? bd ? x? 2 , 2 ? ? c ? d 解这个方程组,得 ? ? y ? bc ? ad . ? c2 ? d 2 ?

于是有: (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i c2 ? d 2 c2 ? d 2

2.复数除法运算法则: (1)复数除法定义: 满足 (c ? di)( x ? yi) ? a ? bi 的复数 x ? yi( x, y ? R) 叫复数 a ? bi 除 以复数 c ? di 的商,记为: (a ? bi) ? (c ? di) 或者

a ? bi c ? di

(2)复数除法运算规则:

(a ? bi ) ? (c ? di) ?

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) c2 ? d 2 c2 ? d 2

思考:对于上述法则很难记忆,推导起来又很复杂,类比分母有理化的方法,我们能 否将

a ? bi 的分母变成实数,进而用复数乘法来解决呢? c ? di
a ? bi (a ? bi)(c ? di) [ac ? bi ? (?di)] ? (bc ? ad )i ? ? c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2
(ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? 2 ? i. c2 ? d 2 c ? d 2 c2 ? d 2

(a ? bi) ? (c ? di) ?
?

点评:上述方法是利用初中我们学习的化简无理分式时,采用的分母有理化思想方法, 而复数 c ? di 与复数 c ? di ,相当于我们初中学习的 们之积为有理数,而 (c ? di)(c ? di) ? c ? d
2 2

3 ? 2 与 3 ? 2 ,它

是正实数.所以可以分母实数化.

把这种方法叫做分母实数化法 例 1:计算 (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) 例 2:计算
王新敞
奎屯 新疆

(1 ? 4i)(1 ? i ) ? 2 ? 4i 3 ? 4i

王新敞
奎屯

新疆

例 3:已知 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? 3i ,则复数 三、巩固练习:

i z2 ? 的虚部为 z1 5

1.

2 ? (1 ? i ) 2

.

2.设 z ? 3 ? i ,则

1 等于 z

3.

a ? bi a ? bi ? 的值是 b ? ai b ? ai

四,作业 习题 5—2 ,4,6,7

附:高考真题 1. (2008 年海南卷) z ? 1 ? i,

z 2 ? 2z ? ____ z ?1
z?2 是实数,那么 z=________ 1? i


2. (2009 年陕西卷)已知 z 是纯虚数,

3. (2007 年福建卷)复数

1 等于( (1 ? i) 2
C.
2

A.

1 2

B. ?

1 2

1 i 2
) D. ? 2i )

D. ?

1 i 2

? 2i ? 5. (2007 年湖南卷)复数 ? ? 等于( ? 1+i ?
A. 4i B. ? 4i C. 2i

6. (2007 年江西卷)化简 A. 2 ? i

2 ? 4i 的结果是( (1 ? i ) 2

B. ?2 ? i

C. 2 ? i

D. ?2 ? i )

7. (2007 年全国卷 I)设 a 是实数,且

a 1? i ? 是实数,则 a ? ( 1? i 2
D. 2

A.

1 2

B. 1

C.

3 2

8. (2007 年全国卷Ⅱ)设复数 z 满足

1 ? 2i ? i ,则 z ? ( ) z

A. ?2 ? i

B. ?2 ? i

C. 2 ? i

D. 2 ? i

9.(2007 年陕西卷)在复平面内,复数 z= (A)第一象限 (B)第二象限

1 对应的点位于() 2?i

(C)第在象限 ) (D) i

(D)第四象限

10. (2007 年四川卷)复数 (A)0 (B)1

1? i 3 ? i 的值是( 1? i
(C) ?1

2i3 ?( C ) 11. (2007 年天津卷) i 是虚数单位, 1? i
A. 1 ? i B. ? 1 ? i C. 1 ? i D. ? 1 ? i . 12. (2007 年浙江卷)已知复数 z1 ? 1 ? i , z1 z2 ? 1 ? i ,则复数 z2 ? 14. (2007 年重庆卷)复数

2i 的虚部为_____. 2 ? i3



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