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1.3.2球的体积与表面积



复习回顾:
1.圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?

r

O?

l
O

r'
r'=r
上底扩大

O?

l

r'=0
上底缩小
<

br />l

r

O

r

O

2 2 ? S ? 2πr(r ? l) S台 ? π(r ? r ? r?l ? rl) S锥 ? πr(r ? l)

2.柱体、锥体、台体三者的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

S? ? S V ? 1 (S? ? S?S ? S)h S? ? 0 V ? Sh 3

1 V ? Sh 3

讲授新课

1、球的概念
与定点的距离小于或等于定长的点的集合, 叫做球体,简称球 定点叫做球的球心
半径 O

定长叫做球的半径
与定点的距离等于定长 的点的集合,叫做球面
直径

球心

2、 球的表面积
o

定理:半径为R的球的表面积是 S ? 4 ? R 2 思考:经过球心的截面圆面积是什么?它与球的 表面积有什么关系?

球的表面积等于球的大圆面积的4倍

3、 球的体积

4 3 定理:半径为R的球的体积是 V ? ?R 3

例2、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.

证明: (1)设球的半径为R, 则圆柱的底面半径为R,高为2R.
R O
2 S ? 4 ? R 球 得: S圆柱侧 ? 2?R ? 2 R ? 4?R 2

? S 球 ? S圆柱侧
2 2 2 QS ? ? ? ? ? ? 4 R 2 R 6 R 圆柱全

(2)

S 球 ? 4?R 2

? S球

2 ? S圆柱全 3

理论迁移

如图,圆柱的底面直径与高都等于 球的直径,求证: 2 (1)球的体积等于圆柱体积的 3 ; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

课堂练习

练习二
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___ 2 倍.

4 倍. 2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的___
1: 2 2 3.若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是______.
3 1 : 4. 4.若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是______

例3.钢球直径是5cm,求它的体积和表面积.

4 3 4 5 3 125 3 解 : V ? ?R ? ? ? ( ) ? ? ( cm ) 3 3 2 6 5 2 2 2 S ? 4? R ? 4? ? ( ) ? 25? ( cm ) 2 125 3 2 答 : 钢球的体积为 ? cm , 面 积 为 25? cm . 6

(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是 5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
“内径”是指内壁的直径, “外径”是指外壁直径。

解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
4 5 3 4 7 .9 ? [ ? ? ( ) ? ? x 3 ] ? 142 3 2 3

5 3 142 ? 3 x ?( ) ? ? 11 .3 2 7 .9 ? 4?
3

x ? 2 . 24

2 x ? 4 .5

答:空心钢球的内径约为4.5cm.

(变式2)把直径为5cm钢球放入一个正方体的 有盖纸盒中,至少要用多少纸?
分析:用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体

解:当球内切于正方体时用料最省时 此时棱长=直径=5cm

? S 全 ? 6 ? 5 ? 150 cm
2

2

答:至少要用纸150cm2
两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体 的各面相切.

例4.如图,正方体的棱长为a,它的各个顶点都 在球的球面上,求球的表面积和体积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方 体都是中心对称图形可知,它们中心重 合,则正方体体对角线与球的直径相等。

Q 正方体内接于球 解: ? 球的直径等于正方体的体对角线长A ?( 2 R )2 ? 3a2 ?R ?
2 2
3 2

D B O

C

a
4 3

?S ? 4 ?R ? 3 ?a 且V ? ?R ?
3

3 2

?a A1
3

D1

C1 B1

两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一 个几何体的表面上。

(变式) 球的内接长方体的长、宽、高分别为3、 2、 3 ,求此球体的表面积和体积。
分析:长方体内接于球,则由 球和长方体都是中心对称图形 可知,它们中心重合,则长方 体体对角线与球的直径相等。

Q 长方体内接于球 解: ? 球的直径等于长方体的体对角线长 ?( 2 R )2 ? 32 ? 22 ? ( 3 )2 ? 16 ? R ? 2

? S ? 4 ?R ? 16 ?且V ? ?R ? 32 ? 3
2 4 3 3

例题讲解
例3已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的 体积,表面积. 解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r,

O A
O?

Q O ?O ?

R , ?ABC是正三角形, 2

C

O ?A ?

2 3 2 3 ? AB ? ?r 3 2 3

B

例题讲解

例3.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的体积, 表面积.
解:在Rt?OO?A中,Q OA2 ? O?O 2 ? O?A2 ,
? R2 ? ( R 2 2 3 2 ) ?( ) , 2 3

4 ?R ? . 3

O A
O?

4 4 4 3 256 3 V ? ?R ? ? ( ) ? ?; 3 3 3 81

C

16 64 S ? 4?R ? 4? ? ? ?. 9 9
2

B

课堂练习

练习一
8 . 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的_倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 32 3? cm3. 这个球的体积为___

3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体 的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积 之比_________. 1:2 2 :3 3

探究:若正方体的棱长为a,则: ⑴正方体的内切球的直径=a ⑶与正方体所有侧棱相切的球的直径=

2a

⑵正方体的外接球的直径=

3a

课堂练习

练习二
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 则它的外接球的表面积为_____ 9? .
3 , 5 , 15,

6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 则两球的直径之差为______ 4 . 7.将半径为1和2的两个铅球,熔成一个大铅球,那么 这个大铅球的表面积是______. 123 3?

例5、如图是一个奖杯的三视图,单位是cm, 试画出它的直观图,并计算这个奖杯的体积. (精确到0.01cm)
z/
6 15 8 18 6
11

11

y/
15

x/

解:这个奖杯的体积为 V=V正四棱台+V长方体+ V球

其中 V正四棱台 1 ? ? 5 ? (152 ? 15 ?11+112 ) ? 851.667 3 V长方体=6×8×18=864 4 3 V球 = ? ? 3 ? 113 .097 3 所以这个奖杯的体积为
V ≈ 1828.76(cm3)

课堂小结
?了解球的体积、表面积推导的基本思路: 分割→求近似和→化为标准和的方法,是 一种重要的数学思想方法—极限思想,它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用; ?熟练掌握球的体积、表面积公式: 4 3 ①V ? ?R 3 2 ②S ? 4?R

课堂小结
柱体、椎体、台体的表面积:

r

O?

l
O

r'
r ’= r
上底扩大

O?

l

r ’= 0
上底缩小

l

r

O

r

O

2 2 ? S柱 ? 2ππr(? l) S台 ? π(r ? r ? r?l ? rl) S锥 ? πr(r ? l)

高考链接
1.(2009 山东)一空间几何体 的三视图如图所示,则该几何 体的体积为( C )
2 2 2

A. 2?

?2 3

B.

4? ? 2 3

正(主)视图

2

2 侧(左)视图

2 3 2 3 D. 4? ? C. 2? ? 3 3

俯视图

【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱 锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积 为 2? ,四棱锥的底面边长为 2 ,高为 3
1 所以体积为: ? 3

? 2?

2

2 3 ? 3? 3

2 3 2? ? 所以该几何体的体积为: 3

2.(2009 辽宁)设某几何体的三视图(单位:cm) 如图所示,(尺寸的长度单位为m).则该几何体 的体积为__________ 4 m3 。

正视图
3

侧视图

俯视图

【解析】由三视图知其为三棱锥,由“主左 一样高,主俯一样长,俯左一样宽”可知高 为2,底面三角形的底面边长为4,高为3,则 所求棱锥体积为:

1 1 V ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 3 2

课堂练习
1. 圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个 正方形,那么这个圆柱的侧面积是_______ 4πS 。

r

O?

2? r

S侧 ? 2? rl ? 4? r

2 2

l
O

l

S ??r

2

2. 已知圆锥的表面积为 a ㎡,且它的侧面展 开图是一个半圆,则这圆锥的底面直径为
2 3a? ( m ) 3? ______________ 。

? l ? 2? r

? l ? 2r
2

a ? ? r (r ? l ) ? 3? r
?r ? a 3?

3. 若圆台的上、下底面半径分别是1和3,它的 侧面积是两底面积和的2倍,则圆台的母线长为 5 ___________.

r'
r

O?

S侧 ? ? r l ? ? rl ? 4? l
'

l
O

S底 ? ? r? ? ? r ? 10?
2 2

4? l ? 20? ? l ? 5

4. 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形, 则这个圆柱的全面积与侧面积的比是( A ) A.

1 ? 2? 2?
1 ? 2?

B.

1 ? 4? 4?

C.

D.

?

1 ? 4? 2?

5. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么这个 圆锥的侧面积展开图-扇形的圆心角为_______ 180 度。

6.如图,已知:三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面 BCD,侧面ABC与底面所成的角为θ。 求证:V三棱锥=?SΔABC· ADcosθ。 证明: 在平面BCD内,作DE⊥BC,垂足为E,连结AE,DE
就是AE在平面BCD上的射影。 根据三垂线定理,AE⊥BC。 ∴∠AED=θ V三棱锥=?SΔABC×AD =?×?×BC×ED×AD =?×?×BC.AE× cosθ×AD =?SΔABCADcosθ
B E θ C D A

习题答案
2 1. 3aπm。 3π

2. 1.74千克。



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